Поверхностные волны над трапециевидно гофрированной поверхностью

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Известны работы, посвященные исследованию поверхностных волн в гофрированных структурах с прямоугольной формой гофра [1, 2]. Такие гофрированные структуры применяются в электронике, волноводной и антенной технике. Так, например, в круглом волноводе гофрировка стенок с глубиной гофра, равные или несколько больше четверти длины волны позволяет уменьшить потери при работе на основной волне или снять нежелательное вырождение (совпадение фазовых скоростей) волн и в многомодовом волноводе. При глубине гофра меньше, чем четверть длины волны над поверхностью распространяются замедленные электромагнитных волны, которые эффективно взаимодействуют с электронным потоком [2]. Гофрированные структуры используются также для формирования узконаправленного излучения в антеннах поверхностной волны [3].

В данной работе исследуется гофрированная поверхность с трапециевидной формой гофра (рис. 1). Цель - исследование влияния на дисперсионную характеристику поверхностной волны формы гофра, его периода и глубины. Для нахождения постоянной распространения поверхностной волны применяются два метода. Одним из них является аналитический подход, основанный на импедансном приближении, другим - численное моделирование на основе метода конечных элементов. В последнем методе весь объем решаемой задачи разбивается на множество малых конечных элементов в виде тетраэдров. В результате задача сводится к решению системы алгебраических уравнений.

Продольное сечение двумерной трапециевидной гофры изображено на рис. 1. Период гофры , ширина открытой части периода равна при , высота гофры . Обозначим .

Рис. 1. Трапециевидная гофрированная поверхность

импеданс гофрированный антенна электрический

Представим поле над гофрой ( x> )в виде поверхностной волны:

,

(1)

,

где , - продольное и поперечное волновые числа, а - волновой вектор в свободном пространстве.

Проекция электрического поля на ось пропорциональна проекции магнитного поля на ось с коэффициентом пропорциональности (равным величине импеданса), который не зависит от структуры внешнего поля:

(2)

Далее будем полагать, что внутри каждого периода гофры (при ) образуется основная стоячая волна секториального рупора, поле которой в цилиндрических координатах можно записать следующим образом:

, (3)

где и - функции Ханкеля первого и второго порядка, соответственно, - радиальная компонента в цилиндрической системе координат (рис. 2). Отношение коэффициентов к можно определить из условия равенства нулю тангенциальной компоненты поля на металлической стенке при , которое мы приближенно заменим тем же условием (предполагая, что угол раствора рупора является малым) на поверхности, образованной дугой окружности , как показано на рис.2.

Рассмотрим один период этой гофры (рис.2). Используя граничное условие для тангенциальной компоненты поля: при , находим связь между постоянными и :

(4)

Из уравнения (4) следует:

И формула (3) c учетом формулы (4) приобретает следующий вид:

(5)

Рис. 2. Один период трапециевидной гофры. Цилиндрические координаты ,,

Запишем компоненты электрического поля в цилиндрических координатах - ,, (рис.2) через комплексные амплитуды :

(6)

Для нахождения проекции используем уравнение Максвелла для комплексных амплитуд:

(7)

В цилиндрических координатах выражение для ротора электрического поля имеет следующий вид:

 (8)

Учитывая (7) и (2), для проекции получаем следующее уравнение:

и, следовательно, зависимость импеданса , который определяется из соотношения (2), от угла :

(9)

Переходя к пределу и учитывая, что

а также соотношение:

,

получим для зависимости импеданса от угла для треугольной гофры:

В декартовых координатах выражение для импеданса на поверхности выражение для импеданса будет следующим:

Далее введем понятие среднего импеданса на открытой части гофры и понятие среднего импеданса на периоде гофры . Очевидно, что средний импеданс на периоде будет отличаться множителем от среднего импеданса на открытой части гофры :

(10)

(11)

Тогда, учитывая уравнение (8) для среднего импеданса на периоде треугольной гофры получим следующее уравнение:

(12)

Общей формулой для среднего импеданса на периоде трапециевидной гофры будет следующее выражение, согласно формулам (10) и (11):

(13)

Рис. 3. Треугольная гофра при

Далее будем рассматривать треугольную гофру при (рис.3).

Приравнивая средний импеданс на периоде внутри гофры (формула (12)) импедансу поля вне гофры (формула (2)) на границе гофры , получаем для величины в случае, когда :

(14)

Тогда коэффициент замедления равен:

,

или, учитывая (9):

 (15)

В общем виде, когда :

(16)

Рассмотрим узкий треугольный профиль, когда период l мал по сравнению с глубиной гофры д:

Для среднего значения импеданса получаем следующую формулу:

(17)

Или, переходя к пределу, , и учитывая, что

,

получим для среднего импеданса выражение:

(18)

Тогда для коэффициента замедления в случае треугольной гофры получается следующая упрощенная формула:

(19)

Условием существования поверхностной волны является требование . Следовательно, при вдоль гофры может распространяться замедленная волна.

Для получения характеристик медленной волны в прямоугольной бесконечной гофре на перейдем к пределу , при для импеданса на поверхности , получаем следующее выражение:

Коэффициент замедления прямоугольной гофрированной поверхности будет равен:

(20)

Отметим, что формула (20) совпадает с формулой, приведенной в [1].

Из формул (19) и (20) видно, что при одинаковых параметрах глубины , параметра коэффициент замедления в прямоугольной гофре больше. Коэффициент замедления больше 1, т.е. гофра обладает замедляющими свойствами.

Численное моделирование было основано на методе конечных элементов. Далее приведено сравнение численных и аналитических результатов для двумерных треугольной и прямоугольной гофрированных поверхностей.

На рис. 4 и рис. 5 показано сравнение численных и аналитических значений коэффициента замедления, полученных для треугольной и прямоугольной гофры. Как видно, эти значения хорошо совпадают в большом диапазоне частот. На рис. 4 штриховой линией показаны значения численного эксперимента, полученные для гофрированной поверхности конечной проводимости (медь).

Рис. 4. Сравнение результатов, полученных численным экспериментом в программе HFSS 8 и использованием аналитической формулы (17). Глубина гофры , период ,

Рис. 5. Сравнение результатов, полученных численным экспериментом в программе HFSS 8 и использованием аналитической формулы (22). Глубина гофры , период ,

В работе получены аналитические формулы для расчета коэффициента замедления в трапециевидной гофрированной поверхности. В частном случае- случае прямоугольной гофрированной поверхности, полученные формулы совпадают с известными формулами, приведенными в литературе.

Аналитически показано, что коэффициент замедления U для прямоугольного профиля гофра больше, чем для треугольного.

Показано, что результаты расчета коэффициента замедления для двумерной гофрированной поверхности треугольного и прямоугольного профиля по аналитическим формулам хорошо совпадают с результатами численного исследования в большом диапазоне частот.

Список литературы

1. W. Rotman, “A study of Single-Surface Corrugated Guides,” Proc. IRE, 1951, vol. 39, Aug.,pp. 952-959.

2. Р.А. Силин, В.П. Сазонов ”Замедляющие системы”. Издательство “Советское радио”, 1966 г.

3. Г.З. Айзенберг, В.Г. Ямпольский, О.Н. Терешин “Антенны УКВ”. ”Связь”, 1977 г.

Размещено на Allbest.ru