О вычислении сингулярных интегралов при решении нелинейной задачи упругости методом граничных элементов

Размещено на http://www.allbest.ru/

О вычислении сингулярных интегралов при решении нелинейной задачи упругости методом граничных элементов

Горшков А.В.

Рассматривается один из этапов решения задачи нелинейной упругости методом граничных элементов. Соответствующее граничное интегральное уравнение решается методом последовательных приближений, основанном на тождестве Сомильяно. Существенным этапом решения является вычисление сингулярных интегралов по области и их производных по параметрам подынтегральных функций. В докладе излагается процедура вычисления этих интегралов и производных, отличная от изложенной в [1,2,3] и позволяющая получить для них аналитические выражения.

Связь интенсивности напряжений и интенсивности деформации для упругопластического тела задается в виде функции, определяемой экспериментально, или из модели:

.

Выделяя линейную часть, получим

(1)

где - девиатор тензора деформаций, - тензор деформаций, - объемная деформация, - тензор упругих постоянных, - тензор напряжений. Для простоты предполагается, что материал однородный и изотропный. Для плоской задачи индексы принимают значения 1,2. Первое слагаемое соответствует упругой деформации, второе - нелинейная поправка.

Метод граничных элементов для задач теории упругости основан на тождестве Сомильяно. Покажем построение этого тождества для нелинейной задачи. Пусть

.

уравнения равновесия, где - компоненты вектора массовых сил. Запятой обозначена производная по переменной с соответствующим индексом. Тело занимает область с границей . На части границы заданы перемещения , на части - силы , , где - компоненты вектора нормали. В дальнейшем для простоты предполагается, что массовые силы отсутствуют . Уравнения равновесия преобразуются с использованием метода взвешенных невязок:

(2)

В уравнении (2) - компонента сопряженного решения, - номер компоненты, k - направление действия единичной силы. Здесь и далее * обозначается функция влияния - решение сопряженного уравнения и связанные с ней величины, обозначения и показывают, что берутся интегралы по области по переменным и соответственно по границе. Преобразуем первое слагаемое в (2):

В первом слагаемом перешли от интеграла по области к интегралу по границе, а во втором - заменим компоненты тензора напряжения из соотношения (1):

(3)

где , и - компоненты тензоров напряжений и деформации, соответствующие функции влияния. Интегрируя снова второе слагаемое по частям, получим

(4)

Пусть неоднородность сопряженного уравнения имеет вид

,

где - дельта-функция Дирака, - точка приложения единичной силы. Для плоской задачи и - двумерные вектора. Тогда равенство (4) преобразуется к виду

(5)

Получилось нелинейное интегральное уравнение, которое решается методом последовательных приближений. Верхний индекс - номер приближения.

Для подсчета очередного приближения решения необходимо вычислять интеграл

упругость деформация уравнение интеграл

(6)

и его производные по параметрам

(7)

Подынтегральные функции сложны, и вычислить аналитически интегралы (6) и (7) в общем случае не всегда возможно. Поэтому для их вычисления используется смешанная схема, использующая подходы метода конечных элементов. Область разбивается на конечные элементы. На каждом элементе вводится система базисных функций. Для простоты будем считать, что область разбита на треугольные элементы, а базисные функции - линейные нормализованные [4]. Подынтегральные функции представляются в виде линейной комбинации базисных функций элемента и их значений в узлах.

где - k-ая базисная функция элемента n, - значение аппроксимируемой функции в k-ом узле элемента. Тогда интеграл (6) превратится в сумму

Задача вычисления интеграла (6) и его производных свелась к вычислению таблицы интегралов

(8)

и их производных по параметрам

(9)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Эти вычисления, в отличие от [1,2,3], для сингулярных случаев выполнены полностью аналитически. Если точка не принадлежит элементу , то вычисление интеграла и его производных не представляет проблем. В противном случае интеграл становится сингулярным. Рассмотрим случай, когда точка совпадает с одной из вершин треугольного элемента. Остальные случаи сводятся к нему разрезанием основного элемента на вспомогательные. В работах [1,2,3] для отделения точки от области интегрирования используется дуга окружности, а интегрирование проводится в полярной системе координат.

На элементе (рис. 1.) введем декартову локальную систему координат. Сторону элемента, противоположную точке , будем считать основанием треугольника. Ось параллельна основанию, а начало системы совпадает с одной из вершин. Обозначим эту вершину a, вторую вершину на основании - b. Обход элемента проходит так, что область остается слева.

Проведем через вершину элемента высоту и отступим на величину . Через полученную точку проведем отрезок, параллельный основанию элемента. У вершины отделится треугольник, подобный основному. Интеграл будем брать по оставшейся трапеции. Так как система координат ортогональная, то сведение кратного интеграла к повторному не вызывает проблем. Для завершения вычислений вычислим предел полученного интеграла при . Значение предела и будет равно несобственному интегралу по треугольнику. Используемая схема вычисления несобственного интеграла соответствует определению [5]. При данной схеме вычислений координаты точки входят в выражение интеграла явно и производные по ним легко вычисляются.

Предлагаемая схема обобщается на трехмерный случай.

Примеры вычисления интегралов:

Производные интегралов по

Производные интегралов по

Размещено на http://www.allbest.ru/

Здесь L - длина основания, G - модуль сдвига, - коэффициент Пуассона, - координаты особой точки.

С другой стороны, производные по параметрам можно представить как производные интеграла по "переменному объему".

На рисунке 2 показан один из элементов. Вершина с совпадает с особой точкой и имеет координаты в локальной системе . Вычисляется производная интеграла по треугольнику по переменной .

По определению производной

Сумма второго и третьего интегралов, очевидно, преобразуется в частную производную подынтегральной функции

Интеграл по области представим как последовательное интегрирование по в пределах от до , а затем по . Так как отрезок мал, то можно считать, что и интеграл примет вид

Т.е. интеграл по треугольнику фактически свелся к интегралу по границе. Интеграл по вычисляется аналогично, с учетом изменения границы - от до

В итоге производную интеграла можно представить в виде суммы

По аналогичной схеме можно построить и производную интеграла по . Но при этих преобразованиях неявно используется перестановка пределов по и по . Такая перестановка не всегда законна и может привести к ошибке. Например, в данном случае, вычисленная по геометрической схеме производная интеграла по переменой совпадает с производной, вычисленной аналитически, а для производной по такого совпадения нет.

Литература

1. Бреббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. Методы граничных элементов. М.: Мир, 1987. 524 с.

2. Теллес Ж. Применение метода граничных элементов для решения неупругих задач М.:Стройиздат, 1987. 160 с.

3. Бенерджи П., Баттерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных науках. М.: Мир, 1984. 494.

4. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред М.: Мир 1976. 464 с

5. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Наука, 2001. Т. 2. 600 с.

Размещено на Allbest.ru