Исследование нелинейных дискретных 2d систем методом векторных функций Ляпунова

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

Исследование нелинейных дискретных 2d систем методом векторных функций Ляпунова

Ю.П. Емельянова

Рассматриваются нелинейные 2D системы в виде моделей Роессера, Форназини-Маркезини и повторяющихся процессов. На основе нестандартного развития метода векторных функций Ляпунова с использованием дивергентного подхода получены достаточные условия экспоненциальной устойчивости таких систем. Эти условия распространяются на 2D модели указанных типов со случайными изменениями структуры. В линейном случае эти условия выражаются в терминах линейных матричных неравенств. Показана возможность применения полученных результатов к задачам синтеза управления с итеративным обучением при информационных нарушениях. Приводится пример.

Теория 2D систем возникла в связи с задачами обработки изображений, исследования многомерных цифровых фильтров и управления с итеративным обучением. В настоящее время выделяют следующие типы моделей таких систем: модель Роессера [7], модель Форназини-Маркезини [5,6] и модель в форме повторяющегося процесса [8].

Модель Роессера описывается следующими уравнениями состояния

где h - n1-мерная горизонтальная составляющая вектора состояния, v - n2-мерная вертикальная составляющая вектора состояния, f1, f2 - n1-мерная и n2-мерная нелинейные функции такие, что f1(0,0)=f2(0,0)=0; z - m-мерный вектор выходных переменных, g - m-мерная функция такая, что g(0,0)=0. Принятая здесь терминология берет свое начало из задач обработки изображений, в которых в середине 80-х годов впервые появились линейные модели подобного типа.

Модель Форназини-Маркезини имеет вид

где x - n-мерный вектор состояния; f1, f2 - нелинейные векторные функции, удовлетворяющие требованию f1(0)=0, f2(0)=0; такие модели впервые появились в задачах исследования двумерных цифровых фильтров.

Модель в форме повторяющегося процесса похожа на модель Роессера, но одна из независимых переменных всегда имеет конечную продолжительность равную циклу повторения [9].

где k - номер повторения; t - дискретное время на k-м повторении; xk(t) - nx-мерный вектор состояния текущего повторения; yk(t) - ny-мерный вектор профиля повторения; f1, f2 - нелинейные функции такие, что f1(0,0)=f2(0,0)=0; эта модель в первую очередь связана с задачами итеративного обучения в робототехнике.

Общим для всех этих моделей является то, что они задают частные приращения переменных и метод функций Ляпунова в его классической версии, когда используется полное приращение функции Ляпунова вдоль траектории системы, неприменим, поэтому обобщение на этот класс систем второго метода Ляпунова не является очевидным.

В данной работе предлагается нестандартное развитие метода векторной функции Ляпунова с использованием дивергенции этой векторной функции вместо полного приращения.

Экспоненциальная устойчивость нелинейных повторяющихся процессов с возможными нарушениями

Рассмотрим систему в форме нелинейного повторяющегося процесса с возможными нарушениями

(1)

где - однородная марковская цепь с конечным числом состояний и вероятностями перехода

 (2)

где и - нелинейные функции такие, что для любых Остальные обозначения соответствуют принятым ранее.

Граничные условия предполагаются заданными в виде последовательности начальных значений вектора состояния текущего повторения и начального профиля повторения:

(3)

где dk+1 и f(t) - известные векторы размерности и соответственно.

Определим норму вектора профиля повторения как

где - оператор математического ожидания.

Введем новое понятие устойчивости для рассматриваемого класса нелинейных повторяющихся процессов, имея в виду, что в случае линейных систем оно должно соответствовать известному понятию устойчивости вдоль повторений [9].

Определение 1. Система (1), (2) называется экспоненциально устойчивой по профилю повторения в среднем квадратическом, если для любых граничных условий (3) существуют постоянные и 0<z<1 такие, что

Для получения условий экспоненциальной устойчивости по профилю повторения в среднем квадратическом повторяющего процесса (1), рассмотрим следующую векторную функцию Ляпунова

(4)

где V1(x,r)>0, V2(y,r)>0, V1(0,r)=0, V2(0,r)=0.

Введем операторы Dt и Dk вдоль траекторий системы (4):

и определим оператор D как стохастический аналог оператора дивергенции раздела 2:

(5)

Справедливо следующее утверждение.

Теорема 1. Рассмотрим нелинейный повторяющийся процесс (1), (2) с граничными условиями (3). Предположим, что существуют положительные постоянные с1, с2, с3 такие, что функция (4) и её оператор D (5) вдоль траекторий системы (1), (2) удовлетворяет неравенствам

(6)

Тогда повторяющийся процесс (1), (2) экспоненциально устойчив по профилю повторения в среднем квадратическом.

Доказательство теоремы ввиду ограниченного объема работы не приводится.

Аналогичные результаты получены для систем Роессера и Форназини-Маркезини.

Синтез алгоритма управления с итеративным обучением в условиях информационных нарушений

В работах [1,7] решалась задача синтеза управления с итеративным обучением для случая обратной связи по состоянию и по выходу для одного объекта. В работах [2,3,4] результаты обобщались на случай сетевого управления с итеративным обучением множеством систем с возможными информационными нарушениями в коммуникационной структуре сети. В обоих случаях при возникновении нарушения наблюдался немонотонный характер сходимости ошибки обучения. Немонотонный характер сходимости в задачах итеративного обучения нежелателен. В данном разделе на основе полученных условий устойчивости строится алгоритм управления с итеративным обучением, снижающий отклонение от монотонной сходимости ошибки при возникновении информационных нарушений за счет переключений.

Динамика такой системы может быть описана следующей моделью в пространстве состояний:

 (7)

где - n-мерный вектор состояния; - m-мерный входной вектор управления; - p-мерный выходной вектор; - однородный марковский процесс, который моделирует возможные нарушения. Этот процесс имеет конечное число состояний , соответствующих числу возможных нарушений, с вероятностями перехода, определяемыми соотношениями (2).

Предположим, что к системе (7) применен закон управления с итеративным обучением. Тогда динамика системы (7) опишется следующим образом:

(8)

с граничными условиями

Следуя концепции итеративного обучения управление на k-м повторении (шаге) зададим в виде

(9)

где - корректирующая добавка к управлению на текущем k-м шаге для формирования управления для следующего k+1-го шага.

С учётом стохастического характера системы введем следующее определение сходимости.

Определение 2. Закон управления с итеративным обучением (9) называется сходящимся в среднем квадратическом, если для любых начальных условий и любой начальной управляющей последовательности {u0(t)} он задаёт такую ограниченную последовательность {uk(t), k=0,1,…} для системы (8), что при

Для дальнейшего анализа сходимости введем вспомогательную переменную:

Тогда в терминах переменных и система (7) c законом управления (9) будет представлена как 2D система в стандартной форме линейного дискретного повторяющегося процесса:

(10)

Рассмотрим случай, когда измерению доступен q-мерный вектор вида

где D(r), - матрица соответствующего размера, имеющая полный ранг.

В этом случае корректирующую поправку сформируем в виде

(11)

Тогда, если (11) гарантирует экспоненциальную устойчивость по профилю повторения системы (10), из теоремы 3 следует, что закон управления с итеративным обучением сходится.

Для нахождения матриц усиления стабилизирующего управления F1(i), F2(i),, воспользуемся условиями устойчивости теоремы 3.

Выберем векторную функцию Ляпунова в виде (4), где и

Стохастический оператор дивергенции D функции (4) в этом случае должен удовлетворять (6). Вычисляя этот оператор вдоль траекторий системы (10), (11), получим следующие достаточные условия экспоненциальной устойчивости по профилю повторения в среднем квадратическом в виде матричных неравенств:

(12)

где

Неравенства (12) с использованием теоремы о дополнении Шура сводятся к линейным матричных неравенств, из которых находятся матрицы усиления F1 и F2.

Пример

Рассмотрим систему (7) при

Предположим, что нарушения моделируются однородной марковской цепью r(t) с двумя состояниями, соответствующими двум возможным режимам. В первом режиме D(1)=I, во втором D(2)=0 (что соответствует пропаданию сигнала на короткий период времени). Вероятность того, что система находится в первом режиме , во втором Вычисляя матрицы усиления стабилизирующего управления, получим

(13)

Ниже представлены результаты моделирования. На рисунке 1а представлен желаемый выходной сигнал c периодом дискретизации 0,01 с. В случае, когда нарушения отсутствуют, скорость сходимости ошибки достаточно высока (см. рисунок 2). В случае возникновения информационного нарушения (пропадание сигнала) монотонность убывания ошибки нарушается (см. рисунок 3). Подобного рода скачки крайне нежелательны для задач итеративного обучения. Такого резкого скачка можно избежать, если знать момент возникновения нарушения и в этот момент совершить переключение алгоритма управления в соответствии с (13). На рисунке 3a продемонстрирован случай, когда в момент возникновения нарушения было совершено переключение, на рисунке 3б, напротив, случай, когда переключения управления произведено не было.

а) б)

Рис. 1. а) Желаемый выходной сигнал б) Выходной сигнал при отсутствии нарушений

а) б)

Рис. 2. а) Сходимость ошибки обучения в случае без нарушений б) Сходимость ошибки обучения в случае без нарушений в проекции на плоскость OyOk

а) б)

Рис. 3. Сходимость ошибки обучения с законом управления без переключений при потере сигнала на 10-м шаге в проекции на плоскость OyOk б) Сходимость ошибки обучения с переключающимся законом управления при потере сигнала на 10-м шаге в проекции на плоскость OyOk

ляпунов алгоритм векторный нелинейный

Заключение

В данной работе метод векторных функций Ляпунова развивается как единый подход к анализу устойчивости различных видов 2D-систем. Полученные условия устойчивости по форме близки к классическим результатам Н.Н. Красовского, относящимся к построению функций Ляпунова, удовлетворяющим оценкам, характерным для квадратичных форм. Использование дискретного аналога дивергенции вместо полного приращения функции Ляпунова оказалось достаточно плодотворным.

Работа проводилась при поддержке гранта РФФИ, 13-08-01092

Литература

Емельянова, Ю.П. Алгоритмы управления с итеративным обучением системами с неопределенными параметрами и возможными нарушениями // Навигация и управление движением: Материалы докладов XIII конференции молодых ученых "Навигация и управление движением". - СПб.:ГНЦ РФ ОАО "Концерн "ЦНИИ "Электроприбор", 2011. - 434 с.

Емельянова, Ю.П. Алгоритмы управления с итеративным обучением группой систем с неопределенными параметрами и возможными нарушениями // Навигация и управление движением: Материалы докладов XIII конференции молодых ученых "Навигация и управление движением". - СПб.:ГНЦ РФ ОАО "Концерн "ЦНИИ "Электроприбор", 2012, С. 484-490.

Емельянова, Ю.П. Построение алгоритмов сетевого управления с итеративным обучением на основе моделей с двумерной динамикой // Навигация и управление движением: Материалы докладов XIII конференции молодых ученых "Навигация и управление движением". - СПб.:ГНЦ РФ ОАО "Концерн "ЦНИИ "Электроприбор", 2013, с. 357-363.

Emelinova, J. Stability and Stabilization of Nonlinear 2D Markovian Jump Systems with Applications // Emelianova J., Pakshin P. et al. - Proceedings of the 11th IFAC International Workshop on Adaptation and Learning in Control and Signal Processing (ALCOSP'2013), Caen, France, 03-05 July 2013, pp. 695-700

Fornasini, E. Doubly indexed dynamical systems:state models and structural properties // E. Fornasini, G. Marchesini.- Mathematical Systems Theory. - 1978. - Vol. 12. - P. 59-72.

Fornasini, E. Stability analysis of 2D systems // E. Fornasini, G. Marchesini - IEEE Transactions on Circuits and Systems. - 1980. - Vol. 27. - P. 1210-1217.

Pakshin, P. Iterative Learning Control under Parameter Uncertainty and Failures // P. Pakshin, Emelianova J., et al. - 2012 IEEE Multi-conference on Systems and Control, Croatia, October 3-5, 2012, ISBN: 978-1-4673-4504-0.

Roesser, R.P. A discrete state-space model for linear image processing // IEEE Transactions on Automatic Control. - 1975. - Vol. AC-20. - P. 1-10.

Rogers, E. Control Systems Theory and Applications for Linear Repetitive Processes // Rogers E., Galkowski K. et. al. - Lecture Notes in Control and Inform. Sci. - 2007. - Vol. 349. - 466 p.

Размещено на Allbest.ru