Сопротивление движению колеса

Размещено на http://www.allbest.ru/

Сопротивление движению колеса

А.В. Костарев

Аннотация

Рассмотрена общая модель сопротивления движению деформируемого колеса по деформируемой опорной поверхности. Показано, что сопротивление приводится не только к моменту, но и к силе. Установлено, что традиционная модель трения качения описывает только сопротивление качению деформируемого колеса по абсолютно твердой опорной поверхности.

Ключевые слова: момент трения качения, сила сопротивления дороги

На деформируемое колесо со стороны деформируемой опорной поверхности (дороги) (Рис.1) действуют нормальные и касательные распределенные реакции. Касательные реакции являются силами трения.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Системы нормальных реакций и сил трения являются плоскими, а значит, имеют равнодействующие N и Fтр соответственно (Рис.3). Линия действия равнодействующей сил трения Fтр проходит несколько ниже линии контакта и наклонена к дороге под малым углом, который при начале движения центра колеса принимает максимальное значение ??.

Ввиду односторонности связи, линия действия нормальной реакции N пересекает линию контакта в некоторой точке А, смещенной в сторону, обусловленную действием нагрузки. Линия действия реакции N наклонена против действия нагрузки под малым углом, который при начале движения центра колеса принимает максимальное значение . Расстояние назовем коэффициентом сопротивления дороги. Ввиду малости углов и ?? положим

Линия действия реакции N в общем случае смещена относительно центра колеса так, что ее момент препятствует вращению колеса, обусловленному нагрузкой. При начале вращения колеса смещение достигает предельного значения k, которое называется коэффициентом трения качения.

В осях (х, у) уравнения движения колеса радиуса r, массы m, и момента инерции J под действием нагрузки на ось Р, силы F и момента М имеют вид:

(3)

Рассмотрим чистое качение колеса:

(4)

Из уравнения (2):

Из уравнений (1,3,4) находим силу трения и ускорение

Полагая что и

(5)

находим:

Положив, что величины одного порядка малости,

введя обозначение

деформируемый опорный трение

и отбросив малые величины, получим приближенный результат:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Составим теперь из (1-4) приближенные уравнения движения колеса, приняв в них (5).

Отсюда

(7)

Где

При чистом качении получаем тот же результат (6), что и из точных уравнений после учета малых. Отсюда следует, что задачи о движении колеса по горизонтальной дороге можно решать на основе приближенных уравнений (7) и Рис.3.

Электронный справочник DPVA [11] приводит следующие коэффициенты трения качения в см:

Табл.1

Таблица показывает, что для пары материалов разной твердости, например дерево-сталь, коэффициент сопротивления деформируемой дороги качению твердого колеса значительно превосходит коэффициент трения качения деформируемого колеса по твердой дороге. Это подтверждает различную природу сопротивлений.

Понять какое именно сопротивление характеризуют момент трения качения Mтк и сила сопротивления Fc легче, если рассмотреть два предельных случая, когда одно из контактирующих тел является абсолютно твердым.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Абсолютно твердая дорога. В этом случае коэффициент сопротивления дороги k1 = 0, нормальная реакция N=Р, вертикальна и смещена на коэффициент трения качения k . В центре колеса С реакция N приводится к силе -Р и моменту трения качения Mтк (Рис.4). Таким образом, коэффициент трения качения k характеризует сопротивление вращению колеса, которое не зависит от движения центра колеса.

Именно этот случай рассматривается в традиционной модели трения качения [1, с. 78-79], [2, c. 89-90], [3, c. 252-253], [4, c.238], [5, c. 201], [6, c.103], [7, c.185], [8, c.255], [9, c. 98-99], [10], [12, c.121] . К сожалению, в большинстве источников модель снабжена неверным рисунком вида Рис.5

Сочетание Рис.5 с моделью момента трения качения приводит к парадоксам при малой силе трения скольжения Fтр<<1. Центр ведущего колеса (F = 0) вынужден двигаться под действием сколь угодно малой силы Fтр, преодолевая сопротивление дороги.

Ведомое колесо (M = 0) вынужденно вращаться в обратную сторону под действием силы N.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Свободно пущенное вдоль абсолютно гладкой дороги колесо (M, F, f = 0) не может останавиться, несмотря на сопротивление опорной поверхности.

Абсолютно твердое колесо. В этом случае коэффициент трения качения k = 0, реакция N проходит через центр колеса (Рис.2) и вызывает силу сопротивления Fc (Рис 5). Таким образом, коэффициент сопротивления дороги k1 характеризует сопротивление поступательному перемещению колеса, которое не зависит от вращения колеса.

Выводы

Для любой пары материалов существует два коэффициента сопротивления: коэффициент трения качения k, характеризующий момент сопротивления, и коэффициент сопротивления дороги k1 , характеризующий силу сопротивления.

Таблицы коэффициентов трения качения следует пересмотреть, экспериментально определив коэффициенты k и k1.

В курсах теоретической механики традиционную модель трения качения следует сопровождать рисунком Рис.4 b и дополнить моделью сопротивления дороги.

Литература

1. Лойцянский Л.Г., Лурье А.И. Курс теоретической механики, т.1. М.: Наука, 1982. 352с.

2. Бутенин Н.В., Лунц Я.Л., Меркин Д.Р. Курс теоретической механики. СПб: Лань, 1998. 729с.

3. Никитин Н.Н. Курс теоретической механики. М.: Высшая школа, 2003, 719с.

4. Курс теоретической механики. // Под ред. Колесникова К.С. М.: МГТУ, 2000. 735с.

5. Яблонский А.А. Курс теоретической механики. Ч.II.М.: Высшая школа, 1971.488 с.

6. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики. М.: Наука, 1967. 478с.

7. Гернет М.М. Курс теоретической механики. М.: Высшая школа.1987. 344 с.

8. Бать М.И., Джанелидзе Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая механика в примерах и задачах, т.2. М.: Наука, 1966. 663с.

9. Машиностроение. Энциклопедия. Динамика и прочность машин. Теория механизмов и машин. Т. I-3// Под ред. Колесникова К.С. 1994. 534с.

10. Illinois Institute of Technology Coaching: Rolling Friction.

11. URL: http://www.youtube.com/watch?v=9lO-AIcq0yI (дата обращения: 24.12.2009).

12. Электронный справочник DPVA.

URL: http://www.dpva.info/Guide/GuidePhysics/Frication/FrictionOfRolling/

13. (дата обращения: 14.12.2009).

14. Аппель П. Теоретическая механика. Том 2. ? М.: Физматлит, 1960. ? 487 с.

Размещено на Allbest.ru