Уравнения динамики треугольной и квадратной кристаллических решёток

Размещено на http://www.allbest.ru/

Уравнения динамики треугольной и квадратной кристаллических решёток

А.Е.Осокина

И.Е. Беринский

Существует множество способов моделирования структуры материалов. В частности, свойства микроструктуры материала определяются геометрией его кристаллической решётки. С развитием твердотельных физики и электроники стало необходимо всё чаще и точнее описывать процессы, протекающие в кристаллах. Большинство из этих материалов имеют сложную кристаллическую решётку. На данный момент подходы для описания динамики таких систем развиты недостаточно, поэтому в данной работе рассматривались более простые двумерные решётки: треугольная и квадратная, с целью развития методов описания структур материалов. Двумерные материалы, в частности, графен, имеют большие перспективы применения в электронике.

Примеры кристаллических решёток

Целью данной работы является вывод и решение уравнений движения двумерной квадратной и треугольной решётки с одинаковым типом частиц. В статье [1] рассматриваются треугольная и квадратная решётки, для которых получены уравнения движения с использованием уравнений Лагранжа второго рода. В данной работе используется другой подход, основанный на тензорной записи выражений для компонент силы. Полученные в результате дискретные уравнения сравниваются, затем проводится их континуализация для получения уравнений движения эквивалентной сплошной среды.

При исследовании движения частиц в решётках подразумевается, что атомы можно считать материальными точками, соединёнными между собой линейными пружинами.

Квадратная двумерная решётка.

Рассматривается взаимодействие частицы (i, j) с 4 ближайшими соседними частицами: (i +1, j), (i-1, j), (i, j +1), (i, j-1). (Рисунок 1)

Рисунок 1

Первый способ заключается в выражении силы через тензор жёсткости:

Рассмотрев получившееся выражение покомпонентно, получим уравнения:

Решение уравнения ищется в виде суперпозиции волн: [4]

кристаллический решетка квадратный треугольный

В процессе решения становится ясно, что удобнее всего выбрать периодические граничные условия Борна-Кармана, заключающиеся в том, что мы требуем периодичности функции по каждой из координат. [2]

Получим, в итоге, следующие [3]выражения для частот:

;

Разложив компоненты уравнений в ряд Тейлора до 2 порядка [5], получим континуальные выражения:

Второй способ вывода - через уравнения Лагранжа 2 рода, для этого запишем выражения для кинетической и потенциальной энергий.

Подставив выражения для всех производных, получим из системы

следующие уравнения:

Сравнив их с выражениями, полученными первым способом, увидим, что они совпадают, следовательно, решениями являются выражения:

,

Треугольная двумерная решётка. (Рисунок 2)

Рисунок 2

Выражение для вектора силы через тензор жёсткости будет выглядеть следующим образом:

Рассмотрев покомпонентно этот тензор, получим систему[1]:

Континуальные уравнения в этом случае имеют вид:

(u и v здесь-континуальные составляющие, соответствующие дискретным смещениям x и y.)

В результате было получены уравнения, описывающие динамику двумерной квадратной решётки и найдены его решения. Получено выражение для треугольной кристаллической решётки. Помимо дискретных, также найдены континуальные уравнения для квадратной и треугольной решёток. В дальнейшем планируется получение решения уравнения треугольной решётки и моделирование более сложных решёток, в частности, гексагональной двумерной и трёхмерных решёток.

Литература

1. Метрикин А.В. «Higher-order continua derived from discrete media: continualisation aspects and boundary conditions.»

2. Ашкрофт. «Физика твердого тела» (т.2) стр. 122-130.

3. А.В. Окомельков. «Спектр нормальных волн в двумерной решётке нейтральных атомов»

4. А.В. Порубов, И.В Андрианов. «Nonlinear waves in diatomic crystals.»

5. Борн М., Кунь Х. «Динамическая теория кристаллических решёток» стр. 70-77.

Размещено на Allbest.ru