Сравнительный анализ различных теорий в задачах изгиба многослойных ортотропных прямоугольных пластин

Размещено на http://allbest.ru

Конструкторско-технологический институт вычислительной техники

Институт вычислительных технологий

СО РАН

УДК 539.3

Сравнительный анализ различных теорий в задачах изгиба многослойных ортотропных прямоугольных пластин

С.К. Голушко С.В. Идимешев

г. Новосибирск

Рассматривается задача изгиба многослойной прямоугольной пластины со сторонами , и постоянной толщиной , количество слоев . Пластина закреплена на торцевых гранях и находится под распределенной поперечной нагрузкой , действующей на верхнюю грань (рис. 1).

Рис. 1. Прямоугольная слоистая пластина под действием поперечной нагрузки; - координата верхней границы -го слоя, .

Каждый слой пластины выполнен из ортотропного композиционного материала с армирующими волокнами, уложенными в одном направлении. Направление укладки волокон обозначим , а перпендикулярное ему направление . Каждый слой может быть охарактеризован следующими техническими постоянными:

где , , - модуль упругости, коэффициент Пуассона, модуль сдвига, а нижние индексы обозначают направления, которым они соответствуют.

В работе рассмотрены симметричные схемы укладки трех-, пяти-, семи- и девятислойных пластин с чередующимися углами укладки. В слоях с нечётным номерами направление укладки параллельно оси , а в слоях с четными номера параллельно оси (нумерация слоев начинается с 1).

Каждый слой пластины имеет постоянную толщину. Общая толщина четных и нечетных слоев совпадает, при этом толщины сонаправленных слоев равны между собой, т.е. толщина -го слоя для слоев с нечетными номерами, и с четными.

Для постановки задачи в рамках пространственной теории упругости на границах между слоями потребуем непрерывности перемещений , , , соотвествующих направлениям , и .

Дополнительно потребуем непрерывность компонент тензора напряжений , , , что отвечает условию “жёсткого” контакта. На верхней и нижней гранях пластины справедливы зависимости

На торцевых гранях заданы условия, соответствующие шарнирному закреплению:

Для описаной задачи в работе [1] в рамках пространственной теории упругости получено приближенное аналитическое решение методом Фурье. В настоящей работе для описанной задачи соответствующие расчеты проведены в рамках трех теорий пластин: Кирхгофа-Лява [2], Тимошенко [3] и ломаной линии [4].

Для всех теорий в качестве отсчетной поверхности выбрана срединная поверхность . Одно из основных отличий рассмотренных теорий пластин заключается в представлении распределения перемещений по толщине пластины и её зависимости от перемещений срединной поверхности. В теории ломаной линии перемещения и при фиксированных и являются кусочно-линейными функциями

где и - перемещения срединной поверхности, - углы поворота, определеннные для каждого слоя.

В теории Тимошенко углы поворота не определены для каждого слоя, но определены для срединной поверхности

где - углы поворота срединной поверхности.

В теории Кирхгофа-Лява нормаль к срединной поверхности сохраняет свойство нормальности при деформировании

Краевые условия для каждой из рассмотренных теорий имеют вид:

В численных экспериментах применялся модифицированный метод коллокаций и наименьших невязок [5].

В таблице приведены максимальных значения компонент тензора напряжений , полученные в расчетах для разных теорий при разных (). Использованы следующие значения и обозначения: , МПа, .

Дополнительно, около каждого значения, рассчитанного в рамках теорий пластин, приведена его относительная погрешность в процентах от значений пространственной теории упругости.

Для рассматриваемой постановки как видно из расчетов максимальное значение , полученное в рамках теории Кирхгофа-Лява, не зависит от . Более того, не зависит и от числа слоев , что является следствием условий постановки задачи. перемещение поверхность тензор слой пластина

Из таблицы видно, что при больших значения , т.е. в случае очень тонких пластин, все теории пластин дают результат, отличающийся от пространственной теории упругости не более чем на 0.5%. Однако, с ростом , отклонения увеличиваются.

Наиболее близкие к пространственной теории результаты дает теория ломаной линии.

При фиксированном для теории ломаной линии наблюдаются более точные результаты при больших , что связано с характером распределения перемещений по толщине, которое становится более близким к кусочно-линейному виду.

Таким образом, на основании проведенных численных экспериментов можно заключить, что из рассмотренных теорий пластин наиболее близкие к пространственной теории результаты дает теория ломаной линии. Хотя для тонких пластин , все теории дают примерно один результат.

Список литературы

1. N.J. Pagano, H.J. Hatfield Elastic Behavior of Multilayered Bidirectional Composites, AIAA Journal, 1972. Vol. 10, No. 7. P. 931-933.

2. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных оболочек. - М.: Государственное издательство физико-математической литературы. 1961. - 384 с.

3. Григоренко Я.М., Василенко А.Т. Задачи статики анизотропных неоднородных оболочек. М.: Наука, 1992.

4. Григолюк Э.И., Куликов Г.М. Многослойные армированные оболочки. М.: Машиностроение, 1988.

5. Голушко С.К., Идимешев С.В., Шапеев В.П. Разработка и применение метода коллокаций и наименьших невязок в к задачам механики анизотропных слоистых пластин // Вычислительные технологии. 2014. Т. 19, № 5. С. 24--36.

Аннотация

УДК 539.3

Сравнительный анализ различных теорий в задачах изгиба многослойных ортотропных прямоугольных пластин. К. Голушко, Spin-код: 8826-8439, e-mail: s.k.golushko@gmail.com, С.В. Идимешев, Spin-код: 3793-6120, e-mail: idimeshev@gmail.com. Конструкторско-технологический институт вычислительной техники СО РАН, г. Новосибирск. Институт вычислительных технологий СО РАН, г. Новосибирск

Решена задача изгиба многослойных прямоугольных пластин, с ортотропными слоями постоянной толщины. Численные решения получены модифицированным методом коллокаций и наименьших невязок. Проведен расчет задач изгиба трех-, пяти-, семи- и девятислойных пластин с использованием различных теорий пластин: Кирхгофа-Лява, Тимошенко и ломаной линии. Рассматриваются пластины с разными отношениями толщины к характерному размеру в плоскости. Проведено сравнение полученных численных решений с аналитическими решениями пространственной теории упругости.

Ключевые слова: многослойные ортотропные прямоугольные пластины, метод коллокаций и наименьших невязок.

Размещено на Allbest.ru