Динамика вантовых автодорожных мостов

Размещено на http://www.allbest.ru/

Динамика вантовых автодорожных мостов

Г.М. Кадисов

Аннотация

Рассматриваются особенности возникновения резонансных колебаний вантового моста при движении с постоянной скоростью регулярной колонны грузовых автомобилей. Результаты получены численным решением системы интегральных уравнений Вольтерра первого рода с применением предварительно найденных собственных частот и собственных форм вантового моста. Приведены примеры для характерных скоростей.

Ключевые слова: складка, пилон, ванты, колонна автомобилей, резонанс. колебание резонансный мост вантовый

Введение

Задачи о пространственных колебаниях разрезных и неразрезных балочных пролетных строениях мостов при движении по ним с постоянной скоростью или одного автомобиля или регулярной колонны грузовых автомобилей решены в [1]. Так при движении одного автомобиля по однопролетному строению наибольшее динамическое воздействие оказывается при скорости значительно меньшей критической, при которой автомобиль за время, равное половине основного периода собственных колебаний пролетного строения, успевает пройти весь пролет. При движении регулярной колонны автомобилей наибольший динамический эффект проявляется при скорости, обеспечивающей продвижение колонны на один шаг регулярности за один период свободных колебаний пролетного строения.

Основная часть. Ниже рассмотрена задача о пространственных колебаниях вантового моста при движении с постоянной скоростью регулярной колонны грузовых двухосных автомобилей. Автомобили одинаковы и движутся на равных расстояниях друг от друга. Каждый автомобиль представляет собой механическую систему с семью степенями свободы, включая кузов с тремя степенями свободы (вертикальное перемещение центра тяжести и два угловых относительно продольной и поперечной горизонтальных осей) и четыре колеса (с одной степенью свободы по вертикали каждый). Вантовый мост представлен пролетным строением в виде складчатой системы, одним пилоном и веером вант. Складчатая система снабжена абсолютно жесткими поперечными диафрагмами в местах прикрепления к вантам.

Для определения собственных частот и собственных форм вантового моста используем смешанный метод, включающий уравнения равновесия (1-3) складки, пилона, диафрагм и уравнения совместности (4) складки, пилона и вант, складки и диафрагм (5), (6):

; (1)

(4)

; (2)

; (5)

(3) . (6)

Здесь - амплитуды узловых перемещений -й гармоники складки, пилона, - усилия в вантах, - усилия взаимодействия диафрагм и складки, - перемещения складки в сечениях с абсолютно жесткими диафрагмами по направлению усилий . - вектор перемещений абсолютно жестких диафрагм, его размерность равна утроенному количеству диафрагм. - прямоугольная блочная матрица коэффициентов в уравнении равновесия диафрагм с числом блоков, равным числу диафрагм. Каждый блок этой матрицы содержит 3 строки и столько столбцов, сколько сил взаимодействия одной диафрагмы со складкой. Напомним, что , , - реакции распределенных вдоль узловых линий складки дополнительных связей от деформирования складки по -й гармонике и от усилий ,. - приведенная матрица инерционности для -й гармоники складки, - пилона; , , - аналогичные реакции в дополнительных связях пилона. Уравнение (3) выражает равенство нулю равнодействующих сил взаимодействия каждой диафрагмы со складкой. Вектор преобразуем через равнодействующие .

Примем

, ,

и подставим их в (2), (3) и с учетом ортогональности собственных форм складки и пилона выразим коэффициенты рядов:

; . (7)

Теперь уравнения совместности принимают вид:

;

, (8)

где введены обозначения:

,, () -

собственные числа, равные квадратам собственных частот складки (пилона). .

Приравнивая определитель однородной системы (8) к нулю, находим собственные значения всей системы в целом. Особенность определителя здесь состоит в том, что его полюсы соответствуют собственным числам раздельных складки и пилона, а нули - собственным числам всей конструкции. Эта особенность позволяет между каждой парой соседних полюсов последовательно вычислить нули, например, методом деления отрезка пополам, или равномерными шагами и т.п. По каждому найденному собственному числу вычисляются и , а затем вычисляется собственный вектор, часть которого содержит перемещения складки, другая - пилона.

. (9)

Для дальнейшего каждый собственный вектор нормируется.

После определения спектра собственных частот и собственных форм вантового моста в целом можно приступить к решению неоднородной системы уравнений, описывающей колебания вантового моста при движении регулярной колонны автомобилей. Активными будем считать автомобили, находящиеся в данный момент на пролетном строении. Уравнения движения кузова и колес каждого активного автомобиля и складки запишем в виде интегральных уравнений Вольтерра первого рода, затем из уравнений совместности деформаций рессор и шин, исключив основные перемещения активных автомобилей и складки, получим интегральные уравнения относительно усилий в рессорах и шинах активных автомобилей:

;

, (10)

где - вектор отклонений от статических значений усилий в рессорах (шинах) автомобиля с порядковым номером ; - статические усилия в шинах, обусловленные весом кузова и колес; - диагональные матричные интегральные операторы типа Вольтерра первого рода, определяющие перемещения кузова, колеса, рессоры и шины соответственно; - скалярный интегральный оператор типа Дюамеля, соответствующий -й собственной форме упругой системы с учетом затухания; - матрица приведения усилий в рессорах к главным центральным осям кузова; - матрица-строка ординат -й собственной формы в точках контакта упругой системы с шинами экипажа с номером ; - множество порядковых номеров активных экипажей; - число учитываемых собственных форм; - номер последнего активного на текущий момент экипажа. Буква "" верхнего индекса указывает на операцию транспонирования. Количество скалярных уравнений и число неизвестных в системе (10) равно числу вязкоупругих элементов всех активных экипажей.

Полученные интегральные уравнения с применением кусочно-линейной интерполяции усилий в рессорах и шинах сводятся к рекуррентной системе алгебраических уравнений, в результате решения которой получаем для каждого фиксированного момента времени значения усилий в рессорах и шинах каждого активного автомобиля. Имея эти значения, получаем коэффициенты разложения узловых линий складки по собственным формам, что позволяет для каждого момента времени получить эпюру перемещений узловых линий пролетного строения или, например, график изменения во времени перемещений группы точек характерного поперечного сечения. При малой скорости движения колонны автомобилей наибольшие перемещения характерного сечения оказываются во время движения первых автомобилей в колонне, затем по мере продвижения колонны по пролетному строению колебания происходят с меньшими амплитудами относительно статического состояния. Резонанс проявляется при так называемой критической скорости, при которой колонна проходит дистанцию между смежными автомобилями за время, равное периоду свободных колебаний пролетного строения.

В качестве примера рассмотрим расчетную схему вантового моста (Рис.1). Балка жесткости представлена складкой, ее узловые линии пронумерованы (Рис.2). Абсолютно жесткие поперечные диафрагмы расположены в местах прикрепления вант. Материал балки жесткости - сталь (Е=2.06е 08 КПа, =7.85 т/м 3). Толщина листов 0.035 м. Пилон из железобетона (Е=3.07е 07 КПа, А=6.25 м 2. Jx=5.875м 4, Jy=11.75 м 4, = 2.45 т/м 3). Площадь сечения каждой ванты - 0.09 м 3, Е=1.95е 08 КПа.

На рис.3 показаны узловые линии балки жесткости первых четырех собственных форм вантового моста. В первой и третьей собственных формах узловые линии соответствуют изгибу балки жесткости в вертикальной плоскости симметрично относительно продольной оси моста, во второй и четвертой - деформациям кручения. Первой собственной форме соответствует собственная частота рад/сек. Критической назовем скорость v*, при которой один автомобиль успевает преодолеть за половину основного периода свободных колебаний вантового моста расстояние, равное длине пролетного строения.

Колонна состоит из 21-го одинакового грузового автомобиля и движется вдоль узловых линий 2 и 3. Параметры каждого автомобиля в колонне приняты как в [1, с.165]. База автомобиля 4.0 м. Расстояние между центрами следующих друг за другом автомобилей равно 18.0 м. Отметим, что при скорости v** = 0.125v* колонна продвигается на шаг регулярности за половину основного периода свободных колебаний. На рис.4,5 приведены виброграммы точек, расположенных на узловых линиях 2 и 3 в среднем поперечном сечении складки (балки жесткости), при различных постоянных скоростях движения колонны. При входе колонны на пролетное строение, когда первый автомобиль еще не достиг конца пролетного строения, наблюдаются неустановившиеся колебания, но после них на рис.4 можно видеть биения, а на рис. 5 неустойчивость колебаний с наибольшим прогибом.

Резонансные кривые - графики максимальных выгибов и прогибов в зависимости от параметра скорости движения регулярной колонны - представлены на рис.6. Параметр скорости отсчитывается по горизонтальной оси так 32v/v**.

Интересно отметить, что при скорости v = 0.0742178 v* (рис.4) коэффициент динамичности (отношение максимального прогиба к статическому) равен 1,479. Все вычисления выполнены с учетом диссипации энергии (для складки логарифмический декремент равен 0.01). Для оценки влияния диссипации на рис.7 приведена виброграмма при декременте, равном 0.16, (сравнить с рис.5). Следует отметить, что для снижения значительных резонансных колебаний автодорожных вантовых мостов требуется устанавливать дополнительные демпфирующие устройства.

Библиографический список

1. Кадисов, Г.М. Динамика и устойчивость сооружений: учеб. пособие. - 2-е изд. - М. : Изд-во АСВ, 2007. - 272 с.

Размещено на Allbest.ru