Вероятностные характеристики полумарковской модели суперпозиции случайных потоков прямоугольных импульсов

Размещено на http://www.allbest.ru/

Новгородский государственный университет им. Ярослава Мудрого

Вероятностные характеристики полумарковской модели суперпозиции случайных потоков прямоугольных импульсов

Ф.В. Голик



Постановка задачи. Условия и ограничения

Рассмотрим систему, состоящую из элементов, каждый из которых может находиться в одном из двух состояний {0; 1}. Пусть состояния -го элемента описывается случайным потоком прямоугольных импульсов .

Представим суперпозицию потоков вектором, компонентами которого являются парциальные потоки :

,

Процесс находится в момент в -состоянии, если , . Во времени эти состояния описываются потоком -состояний

Поток может быть представлен произведением соответствующих комбинаций парциальных потоков и их инверсий [1]:

(1)

где .

Соотношение (1) справедливо для любых типов парциальных потоков, в том числе и зависимых. Однако в настоящей работе введены ограничения на свойства потоков , а именно полагаем что:

1) потоки стационарны, т.е. законы распределения длительностей импульсов и пауз не зависят от ;

2) существуют и заданы плотности распределения вероятностей длительностей импульсов и длительностей пауз ;

3) импульсы, принадлежащие одному и тому же потоку, не перекрываются сами с собой, т.е. функция распределения длительности пауз не имеет скачка при :

(2)

4) аналогичному условию удовлетворяет функция распределения длительности импульсов:

(3)

5) существуют математические ожидания длительностей импульсов и пауз ;

6) потоки взаимно независимы в совокупности.

Каждому состоянию можно приписать некоторое значение . Тогда многомерному потоку соответствует процесс , имеющий, например, смысл эффективности функционирования системы.

Процессы и относятся к классу полумарковских. Действительно, переходы из фазовых состояний описываются эргодической цепью Маркова, поскольку интуитивно ясно^[1], что цепь возвратна и средние времена возвращений конечны [2], а распределения времени пребывания системы в фиксированном состоянии в общем случае отличается от экспоненциального.

Полумарковский процесс задан, если известны вероятности переходов и условные распределения длительности пребывания процесса в фиксированном состоянии.

Настоящая работа посвящена определению этих характеристик для процессов, описываемых суперпозицией случайных потоков прямоугольных импульсов.

Характеристики потока -состояний

Прежде чем перейти к определению вероятностных характеристик полумарковского процесса, найдем характеристики потока , заданного соотношением (1).

Отметим, что характеристики парциальных потоков получены Н. М. Седякиным [3]. В этом параграфе мы лишь обобщим известные результаты применительно к потокам -состояний.

Учитывая независимость потоков и свойства потоков , вероятность того, что произвольный момент времени окажется в пределах основания укороченного на величину импульса потока равна:

(4)

где , вероятность попадания произвольного момента времени на основание укороченного на величину импульса () или паузы () парциального потока ;

- средняя частота следования импульсов потока ;

- плотность распределения импульсов () и пауз () потока ;

Средняя частота следования импульсов потока , укороченных на равна:

(5)

или после преобразований

(6)

При

(7)

; (8)

Средняя длительность импульсов потока , укороченных на величину :



(9)

при

(10)

Плотность распределения длительности импульса потока ;

. (11)

Таким образом все основные характеристики потока -состояний определяются через соответствующие характеристики парциальных потоков .

Условная переходная функция распределения

Определим функцию распределения времени пребывания процесса в -состоянии при условии, что выход из -состояния обусловлен переходом, возникающим в -ом парциальном потоке .

Пусть вектор фиксирует некоторое состояние процесса . Вектор задает состояние, смежное с -состоянием по -ой компоненте. Тогда индексы означают переход из -состояния в состояние .

Обозначим вектор, не содержащий -ой компоненты, т.е. .

Пусть - случайный момент времени, равномерно распределенный на полуинтервале .

Введем случайные величины:

- длина интервала, отсчитанного от точки до ближайшего справа скачка в потоке (недоскок процесса );

- длина интервала, отсчитанного от до ближайшего справа скачка суперпозиции потоков или недоскок указанного процесса;

- недоскок процесса при условии перехода из состояния в состояние .

В соответствии с формулой Пальма запишем выражения для плотностей распределения вероятностей введенных величин:

- плотность распределения недоскока :

(12)

.

- плотность распределения недоскока :



(13)

где - плотность распределения времени пребывания процесса в состоянии ;

- плотность распределения недоскока :

(14)

где - плотность распределения времени пребывания процесса в -состоянии, при условии последующего перехода в смежное состояние .

Определим вероятность одновременного выполнения неравенств:

.

Вследствие независимости величин и получим

(15)



Здесь

- одношаговая вероятность перехода из состояния в состояние .

После дифференцирования обеих частей уравнения (15) с учетом выражения (12) получим

. (16)

Здесь

Из условий (2) и (3) следует, что Поэтому

Тогда формулу (16) можно переписать в следующем виде:



, (17)

.

Найдем функцию распределения :

Обозначив , получим

Плотность распределения времени пребывания процесса в состоянии равна плотности распределения длительности импульсов потока совпадения, заданного вектором . Согласно соотношению (11) плотность равна:

(18)

Здесь



Тогда

и

(19)

Следовательно

. (20)

Математическое ожидание времени пребывания процесса в -состоянии равно средней длительности импульса совпадения, которую можно найти по формуле (9) при :

Подставив выражение для в формулу (20), получим:



(21)

Выразим функцию распределения через вероятность , определяемую выражением (4). Для этого по аналогии с (18) запишем

Тогда

(22)

Подставив выражения (21) и (22) в (17) получим формулу для искомой условной переходной функции распределения

(23)

Обозначим

(24)



Учитывая, что , получим

(25)

и окончательно

(23а)

Одношаговые переходные вероятности

Найдем вероятность перехода процесса за один шаг из состояния в смежное по -ой компоненте состояние . Знание этих вероятностей достаточно для определения матрицы переходных вероятностей, поскольку вероятности переходов в несмежные состояния, отличающиеся более чем одной компонентой, равны нулю. Это следует из условия ординарности суммарного потока точек, образованного моментами появления импульсов парциальных потоков.

Прежде чем перейти к определению вероятности , найдем функцию распределения времени пребывания процесса в состоянии, фиксируемом вектором . По аналогии с выражением (19) запишем:

(26)

Здесь



.

Найдем производную

,

или, с учетом (24)

Очевидно, что

Тогда

(26а)

Теорема. Одношаговая вероятность перехода процесса из состояния в смежное состояние равна

(27)



Для доказательства покажем допустимость и единственность представления переходных вероятностей соотношением (27).

Функция распределения времени пребывания процесса в -состоянии может быть выражена через условные переходные функции распределения:

. (28)

Подставив формулы (27) и (23а) в (28), убеждаемся, что выражение (28) тождественно равно (26а). Тем самым доказана допустимость представления переходных вероятностей соотношением (27).

Докажем, что выражение (27) задает вероятность единственным образом. Допустим, что это не так и существуют вероятности , обеспечивающие выполнение равенства

. (29)

Предположим, что . Вычитая (29) из (28), получим

Запишем систему уравнений



Величины не зависят от переменной . Следовательно

(30)

Обозначим

Тогда систему (30) можно привести к виду

(31)

или в матричной форме

(32)

Известно, что однородная система линейных уравнений имеет тривиальное решение . Для того, чтобы система имела нетривиальное решение, необходима и достаточно, чтобы ее определитель был тождественно равен нулю. Но элементы определителя - функции переменной . Равенство определителя нулю может выполняться лишь случайным образом при некоторых из полуинтервала . Поэтому можно считать, что система (32) имеет гарантированное тривиальное решение и

Тем самым доказана единственность переходных вероятностей и теорема в целом.

Заметим, что согласно (24) и (25) и переходные вероятности (27) гарантировано ненулевые. Следовательно, цепь Маркова эргодическая, что подтверждает сделанные ранее предположения.



Литература

поток прямоугольный импульс суперпозиция

1. Голик Ф.В. Вопросы теории случайных многомерных импульсных потоков. // Труды Второй Международной научно-технической конференции «Актуальные проблемы фундаментальных наук». Том 1, часть 2 «Техносфера». М. 1994.

2. Сильвестров Д.С. Полумарковские процессы с дискретным множеством состояний (основы расчета функциональных и надежностных характеристик стохастических систем). М.: Сов. радио, 1980.- 272 с.

3. Седякин Н.М. Элементы теории случайных импульсных потоков. М.: Сов. радио, -1965.

Размещено на Allbest.ru