Оптимизация сетки конечных элементов при моделировании роста трещин гидроразрыва

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Основной технологией интенсификации добычи углеводородов является гидроразрыв нефтяного пласта. Он производится при помощи закачивания под высоким давлением в скважину жидкости, которая инициирует зародышевую трещину. Жидкость, оказывая давление на берега трещины, заставляет ее распространяться вглубь массива горных пород. Для поддержания трещины в открытом состоянии в жидкость гидроразрыва добавляют твердые частицы, так называемый пропант. После утечки жидкости в породу образуется высокопроницаемый канал для фильтрации нефти из пласта в скважину, что увеличивает объем добываемой нефти [1].

В математических моделях гидроразрыва ставятся три взаимосвязанные задачи: 1) описание течения вязкой жидкости в трещине; 2) расчет упругой деформации породы; 3) определение возможности и направления распространения трещины. Две последних задачи составляют предмет механики деформируемого твердого тела. При численной реализации модели гидроразрыва актуально наличие совершенных вычислительных технологий решения каждой из выше перечисленных задач. Особенно следует выделить методы расчета напряженно-деформированного состояния породного массива, учитывающие распространение трещины с выбором направления ее роста [2].

Трещина гидроразрыва моделируется плоским разрезом бесконечной высоты (рис. 1), погруженным в линейно упругую изотропную среду и ориентированным перпендикулярно направлению действия горизонтальных напряжений , порожденных боковым стеснением пород [3, 4]. Такое представление справедливо при допущении, что высота трещины значительно превосходит ее длину . В трещину закачивается ньютоновская жидкость с постоянным расходом , в результате чего трещина распространяется прямолинейно вдоль оси согласно уравнениям линейной механики хрупкого разрушения. Предполагаются выполненными условия плоской деформации.

Пусть - раскрытие трещины, - давление жидкости, - избыточное давление жидкости на берега трещины. В качестве критерия начала роста трещины примем силовой критерий разрушения Ирвина , где - коэффициент интенсивности напряжений для трещины нормального отрыва, который для симметричной трещины можно представить в виде

трещина гидроразрыв нефтяной

, (1)

- критическое значение коэффициента интенсивности напряжений или вязкость разрушения. Критерий Ирвина можно также записать как асимптотику раскрытия трещины в ее вершине

. (2)

где , - модуль Юнга, - коэффициент Пуассона.

Рис. 1. Модель трещины гидроразрыва (а); вид в плане (б)

Пусть пластина единичной толщины размером в плане м, находящаяся в условиях плоской деформации, содержит центральную внутреннюю прямолинейную трещину длиной м. Трещина моделируется двусторонним разрезом, к берегам которого приложено нормальное давление , внешние границы пластины свободны от напряжений. Геометрия пластины представлена на рис. 2, вследствие симметрии только правая половина пластины моделируется сеткой конечных элементов, ось является осью симметрии. Материал пластины изотропный линейно упругий с модулем Юнга МПа и коэффициентом Пуассона . Расчет напряженно-деформированного состояния пластины выполнялся в пакете конечноэлементного анализа MSC.Marc 2012.

Было опробовано большое число сеток прямоугольных элементов с линейной и квадратичной аппроксимацией смещений. Размеры четырех ближайших к вершине трещины элементов, которые всегда были квадратными, принимались равными , 0,1, 0,025 м. Сгущение узлов сетки к вершине трещины производилось в горизонтальном направлении и по двум вертикальным. Отношение размеров элементов у вершины и на границе области (расстояние между узлами) задавалось равным 1:25, 1:50, 1:100. На берегах трещины задавалось либо равномерное разбиение, либо незначительное сгущение 1:2,5, 1:5. На рис. 2, б, показана сетка конечных элементов с параметрами: м, сгущение к вершине 1:25, на берегах трещины сгущение 1:2,5.

На берегах трещины задавались следующие модельные распределения нормального давления в МПа:

(3)

Профили давления (3) использовались в предварительных тестовых расчетах для отработки методики расчета коэффициента интенсивности напряжений.

Рис. 2. Геометрия расчетной области (а); пример сетки конечных элементов (б)

Профиль соответствует постоянному давлению на берега трещины; профили , - линейные, причем к вершине трещины давление падает до нуля, а давление возрастает; профили , описывают квадратичное и кубическое распределение давлений соответственно, причем для профиля имеется участок отрицательного давления на берега трещины. Эпюры давлений (5) представлены на рис. 3.

Рис. 3. Эпюры давлений на берегах трещины

Коэффициент интенсивности напряжений КИН будем вычислять с помощью инвариантного J-интеграла Черепанова-Райса. Результаты расчета показаны на рис. 4. По оси абсцисс отложено отношение полудлины трещины к размеру конечного элемента у вершины трещины : точки с координатами 25, 100, 400 соответствуют линейным конечным элементам с размерами , 0,1, 0,025 м, точка 800 условно обозначает элементы с квадратичной аппроксимацией смещений с размером у вершины м. По оси ординат отложен нормированный коэффициент интенсивности напряжений , равный отношению вычисленного значения к точному. Точное значение вычислялось по формуле (1) с учетом поправки на конечные размеры пластины.

Для постоянного профиля давления ошибка при минимальном размере элемента %. Профили , - линейные, давление убывает к вершине трещины, %, а давление возрастает, поэтому погрешность % заметно больше. Квадратичный профиль давления аналогичен асимптотике раскрытия трещины у ее вершины (2), поэтому демонстрирует наименьшую ошибку % в определении КИН. Анализ полученных результатов обнаруживают общую тенденцию: наибольшая погрешность наблюдается в тех расчетах, где давление возрастает с приближением к вершине трещины. Для кубического профиля давление с приближением к вершине трещины падает до нуля, поэтому расчеты даже на грубой сетке дают высокую точность результатов %.

Рис. 4. Зависимость нормированного КИН от размеров элементов

По результатам расчетов можно сделать вывод о том, что по крайней мере для рассмотренных элементарных задач МКЭ с линейной аппроксимацией перемещений сходится к решению, которое для всех практических целей является точным. Определенная минимальная ошибка в пределах точности инженерных расчетов 3-5% обусловлена главным образом трудностями, связанными с непрямыми методами определения КИН, а не слабостью МКЭ самого по себе. На протяжении всего исследования было продемонстрировано, что точность решения чувствительна к конфигурации сетки. Были установлены несколько параметров, которые являются определяющими при построении эффективных сеток КЭ, а именно, минимальный размер элемента, расстояние между узлами в окрестности вершины трещины, степень сплюснутости отдельных элементов.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований в рамках научного проекта 14-08-00113.

Литература

1. Ибрагимов Л.Х., Мищенко И.Т., Челоянц Д.К. Интенсификация добычи нефти. - М.: Наука, 2000. - 414 с.

2. Алексеенко О.П., Есипов Д.В., Куранаков Д.С., Лапин В.Н., Черный С.Г. Двумерная пошаговая модель распространения трещины гидроразрыва // Вестник НГУ. Серия: Математика, механика, информатика. 2011. Т. 11, вып. 3. C. 36-59.

3. Желтов Ю.П., Христианович С.А. О гидравлическом разрыве нефтеносного пласта // Изв. АН СССР, Отдел технических наук. 1955. № 5. С. 3-41.

4. Geertsma J., De Klerk F. A rapid method of predicting width and extent of hydraulically induced fractures // J. of Petroleum Technology. 1969. Vol. 21. No. 12. P. 1571-1581.

Размещено на Allbest.ru