Использование сингулярного элемента графовой модели упругой среды при анализе напряженно-деформированного состояния компактного образца

Размещено на http://www.allbest.ru/

Волгоградский государственный технический университет

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СИНГУЛЯРНОГО ЭЛЕМЕНТА ГРАФОВОЙ МОДЕЛИ УПРУГОЙ СРЕДЫ ПРИ АНАЛИЗЕ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ КОМПАКТНОГО ОБРАЗЦА

А.А. Тырымов

При определении характеристик трещиностойкости и испытаниях на вязкость разрушения используется прямоугольный компактный образец с краевой трещиной. Образец нагружается двумя растягивающими силами, приложенными к контурам круговых отверстий, симметрично расположенных относительно линии трещины. Для вычисления коэффициента интенсивности напряжений у вершины трещины в таких конструкциях применялись методы конечных элементов, граничных коллокаций, преобразования Фурье [1-3].

В настоящей работе внимание сосредоточено на возможностях построенного на основе графовой модели сингулярного элемента, предназначенного для расчета напряженно-деформированного состояния в окрестности особых точек разреза, вблизи остроконечных включений и других сингулярных точек и линий. Используется элементарная ячейка прямоугольного элемента с восемью степенями свободы [4].

Моделируя сингулярный характер распределения напряжений и деформаций у вершины трещины, аппроксимируем неизвестные деформации в пределах прямоугольного элемента следующими выражениями:

,

, ,

где - расстояние от произвольной точки элемента до вершины трещины. Предполагается, что начало локальной декартовой системы координат располагается в вершине трещины, а сама трещина лежит на оси Ох. Значения коэффициентов в формулах (1) удается выразить через деформации сторон элемента. В результате относительные деформации внутри четырёхугольного элемента можно выразить через абсолютные деформации его сторон , где элементы матрицы [L] зависят от упругих свойств среды и являются функциями координат точек элемента.

Использование равенства энергии деформации непрерывного элемента среды и энергии элементарной ячейки, соответствующей этому элементу

,

равенства и обобщенного закона Гука для изотропного материала позволяет представить уравнение элементарной ячейки в виде

,

где - матрица жесткости элемента.

Таким образом, графовый метод позволяет построить линейную (соответствует квадратичной функции перемещений) или сингулярную аппроксимацию деформаций на четырехузловом прямоугольном элементе с 8 степенями свободы. В традиционном подходе метода конечных элементов (МКЭ) для такой аппроксимации необходимо применение элемента с 8 узлами (16 степеней свободы). В результате определяющая система уравнений графового метода содержит примерно в 3 раза уравнений меньше по сравнению с системой, выведенной традиционным способом МКЭ.

В качестве примера использования сингулярного элемента рассмотрим прямоугольную пластину с внешней границей Г0 , краевым прямолинейным разрезом Г1 и двумя круговыми отверстиями с границей Г2. Геометрические характеристики пластины таковы: высота H=1,2W, ширина L = 1,25W, радиус круговых отверстий R=0,125W, а их центры имеют координаты (W; ±0,275W). В приводимых ниже расчетах принято W=48 мм. Упругие характеристики материала взяты такими: модуль упругости E = 200000 МПа, коэффициент Пуассона ? = 0,3. Трещина перпендикулярна стороне пластины с размером Н, расположена на оси симметрии Ох и задается условием Г1={x:W-А?x?1,25W}. Изучалось плоское напряженное состояние образца. В виду симметрии рассматривалась половина всей области. Граничные условия задачи заданы следующим образом: на горизонтальной оси вне контура разреза =0, границы Г0 и Г1 свободны от напряжений, на границе Г2 действует растягивающая сила P=50 МПа. Исследуемая область разбивалась на 680 элементов. В окрестности трещины использовались 2 сингулярных элемента с размером 0,25х0,2 мм. Во всех других элементах применялась линейная аппроксимация деформаций. В приводимых ниже расчетах при моделировании сингулярности напряжений использована корневая особенность вида r-0,5. Расчетная схема и пример деформированного состояния пластины показаны на рисунке.

Расчетная схема и деформированная сетка

В механике разрушения существенную роль играют коэффициенты интенсивности напряжений (КИН). КИН является тем параметром, который позволяет оценивать локальное поле напряжений в вершине трещины. Другим важным достоинством КИН является использование его для получения оценок энергии, которая освобождается при единичном продвижении трещины в теле.

В таблице приведены в зависимости от отношения A/W значения нормированного коэффициента интенсивности напряжений .

Во второй строке таблицы приведены данные из работы [3], в третьей - значения, полученные графовым методом с использованием сингулярного элемента и применением инвариантного интеграла Черепанова-Райса. Как видно из таблицы результаты расчетов хорошо согласуются, наибольшее расхождение для длинных трещин не превосходит два процента.

трещиностойкость сингулярный деформированный разрез

Список литературы

1. Морозов Е.М., Никишков Г.П. Метод конечных элементов в механике разрушения. М.: Наука, 1980. 256 с.

2. Srawley J.E., Gross B. Stress intensity factors for bent and compact specimens// Engng. Fract. Mech. 1972. 4, № 3. p. 587-589.

3. Civelek M.B., Erdogan F. Crack problems sor a rectangular plate and an infinite strip// Int. Journ. of Fracture. 1982, 19, № 2, p. 139-159.

4. Кузовков Е.Г., Тырымов А.А. Графовые модели в плоской и осесимметричной задачах теории упругости. Волгоград: ИУНЛ ВолгГТУ, 2010. 128 с.

Размещено на Allbest.ru