До питання розв'язку проблеми систематизації математичних моделей і методів перетворення моменту інерції. Огляд і перспектива

ІНФОРМАЦІЙНІ СИСТЕМИ І МОДЕЛЮВАННЯ

Размещено на http://www.allbest.ru/

Вісник КДПУ, 2005. - Вип. 4/2005 (33)

130

Вінницький національний технічний університет

ДО ПИТАННЯ РОЗВ'ЯЗКУ ПРОБЛЕМИ СИСТЕМАТИЗАЦІЇ МАТЕМАТИЧНИХ МОДЕЛЕЙ І МЕТОДІВ ПЕРЕТВОРЕННЯ МОМЕНТУ ІНЕРЦІЇ. ОГЛЯД ТА ПЕРСПЕКТИВА

Ведміцький Ю. Г., Кухарчук В. В.

Вступ

Визначення моменту інерції тіл обертання з осьовою симетрією відносно центральної осі обертання є задачею на сьогодні і важливою, і поширеною в багатьох галузях науки та техніки [1].

На сьогодні існують два напрями визначення моменту інерції: розрахунковий [2] та експериментальний.

Оскільки геометрія об'єктів вимірювання та розподіл мас в них зазвичай бувають доволі складними, розрахунковий підхід при визначенні моменту інерції є малоефективним та неточним.

У зв'язку з цим, особливого значення набули експериментальні методи.

Питанням експериментального визначення моменту інерції присвячено багато публікацій, розроблено чимало методів та пристроїв [3 - 7]. Вони є різними за суттю, мають свої переваги, мають і недоліки.

Наразі, за умов такої різноманітності постає сукупний для існуючих методів недолік - відсутність чітко окресленої за єдиними критеріями систематизації, що суттєво гальмує можливе удосконалення методів, їх модифікацію та подальшу розробку нових методів перетворення моменту інерції.

Причину автори вбачають у відсутності єдиного підходу у формуванні математичних моделей перетворювачів моменту інерції.

Мета роботи - розгляд та застосування загальної методики математичного моделювання перетворювачів моменту інерції; огляд, систематизація та класифікація існуючих методів перетворення; створення необхідних сприятливих передумов для розробки нових перспективних методів перетворення моменту інерції.

Матеріал і результати дослідження

базуються на матеріалах доповіді “Рівняння Лагранжа як основа теорії перетворювачів” [1], де була розроблена загальна методика математичного моделювання перетворювачів моменту інерції, і являють собою її логічне продовження.

Математична модель перетворювача моменту інерції 1-го порядку. На рис. 1 наведена модель механічної частини перетворювача моменту інерції 1-го порядку, яка являє собою механічну дисипативну систему з одним накопичувачем механічної (кінетичної) енергії.

Відповідно до [1] для даної системи рівняння Лагранжа другого роду має вид:

, (1)

а рівняння руху відносно кутової швидкості обертання -

. (2)

Рисунок 1 Механічна частина перетворювача моменту інерції 1-го порядку

Загальний розв'язок цього диференціального рівняння, як відомо,

, (3)

де - деяка стала інтегрування, що визначається за незалежною початковою умовою ; - корінь характеристичного рівняння ; - окремий розв'язок неоднорідного диференціального рівняння, що є кутовою швидкістю обертання твердого тіла в усталеному режимі роботи.

Існуючі методи перетворення моменту інерції перетворювачів 1-го порядку. Необхідно зауважити, серед основних існуючих методів перетворення моменту інерції до методів даного класу відноситься лише метод самогальмування [6].

Метод самогальмування.

Суть методу полягає в тому, що в режимі самогальмування, тобто:

(4)

вимірюють спочатку кутове прискорення ротора електродвигуна спочатку з деяким зразковим моментом інерції, а потім без нього .

Рівняння руху для цієї вимірювальної процедури має вигляд:

,

де - момент механічних втрат електродвигуна та перетворювача; - вимірюваний момент інерції; - зразковий момент інерції тіла.

З цих рівнянь випливає, що:

.

Отже, визначення інформативного параметру зводиться до вимірювання кутової швидкості , її цифрового диференціювання та опосередкованого визначення .

Недоліками цього методу є невисока швидкодія та низька точність.

Відповідно до [4] час вимірювання щонайменше складається з

,

де - тривалість перехідного процесу об'єкта контролю; - час самогальмування електричної машини; - час на виконання операцій згладжування результатів вимірювання кутової швидкості; - час на виконання операції цифрового диференціювання.

Тому тривалість процедури вимірювання моменту інерції за даним методом складає ~ 5 хв., що не зовсім задовольняє вимогам замовника.

Невисока точність зумовлена двома чинниками.

Перший - це невисока точність реалізації операції цифрового диференціювання.

Другий, що більш суттєво, - це існуюча залежність моменту механічних втрат від кутової швидкості. Звідси випливає, що:

при .

Ця відмінність буде тим більшою, чим більшою буде відмінність сталої часу перехідного процесу в першому досліді від сталої часу в другому досліді і чим раніше буде проводитись процедура вимірювання після початку перехідного процесу.

Можливі методи перетворення моменту інерції перетворювачів 1-го порядку. Як бачимо, наведений існуючий метод має ряд суттєвих недоліків. Проте математична модель перетворювача, що базується на диференціальному рівнянні 1-го порядку (2) та його розв'язки (3) передбачають існування як інших нових методів цього класу, позбавлених означених недоліків, так і модифікацію даного методу.

Наприклад, в режимі самогальмування можна спочатку провести вимірювання часу повної зупинки ротора зі зразковим моментом інерції, а потім без нього .

Оскільки обертальний момент змінюється за законом (4), то початковою умовою має бути:

,

а примусовою складовою . Тоді відповідно до (3) кутова швидкість тіла обертання має змінюватися за законом (рис. 2)

.

Рисунок 2 Розв'язок рывняння руху системи 1-го порядку в режимі самогальмування

Оскільки повна зупинка ротора зі зразковим моментом інерції та без нього відбувається за однакової кутової швидкості , то:

,

звідки випливає, що:

.

Як бачимо, такий підхід хоча і має певні вади, дозволяє позбутися тих недоліків, які мають місце в існуючому методі самогальмування.

Математична модель перетворювача моменту інерції 2-го порядку. Відповідно до [1], рівнянням руху таких систем (механічна частина деяких з них показана на рис. 3) буде:

, (5)

яке отримано на підставі рівняння (1).

В залежності від співвідношення між моментом інерції та коефіцієнтами розсіювання і жорсткості можливі, як відомо, три режими роботи перетворювача:

- аперіодичний () з розв'язком

, (6)

де - примусова складова кутової швидкості; , - сталі інтегрування, що враховують незалежні початкові умови, а - корені характеристичного рівняння;

- коливальний () з розв'язком

, (7)

де ;

- критичний () з розв'язком

, (8)

де .

Рисунок 3 Механічна частина перетворювачів моменту інерції 2-го порядку

Існуючі методи перетворення моменту інерції перетворювачів 2-го порядку. Серед основних існуючих методів перетворення моменту інерції до даної групи, тобто таких, які базуються на рівняннях руху механічних систем, що мають 2-й порядок, необхідно віднести три методи: метод крутильних коливань [3, 7], прямий метод вимірювання [4], метод допоміжного маятника [3].

Всі три методи використовують коливальний режим роботи. Слід зауважити, що останній метод дещо відрізняється від двох перших, оскільки в ньому обертальний рух відбувається навколо точки, а не осі, а ротор є накопичувачем і кінетичної енергії, і потенціальної. Проте диференціальне рівняння руху має другий порядок і даний метод слід віднести до названої групи методів.

Метод допоміжного маятника.

Суть методу полягає в тому, що ротор, який встановлено на призмі, здійснює коливання як фізичний маятник. За періодом коливань маятника можна визначити момент інерції [3]:

,

де - вага ротора; - до центра тяжіння від осі обертання.

Основним і суттєвим недоліком цього методу є необхідність розбирання системи.

Крім того, результат отримано на основі лінеаризації нелінійного диференціального рівняння руху фізичного маятника і може бути застосовано за умови малих амплітуд коливань. Чим більше кут відхилення буде відрізнятися від , тим менш точним буде результат вимірювання за цим методом.

Метод крутильних коливань.

Суть методу полягає в тому, що ротор двигуна підвішують у вертикальному положенні на стальному дроті і приводять його в крутильний коливальний рух. При цьому визначається період малих крутильних коливань, який потім порівнюють з періодом коливань зразкового тіла, що має зазделегіть відомий момент інерції.

Момент інерції ротора при цьому визначають наступним чином [7]:

, (9)

де - момент інерції зразкового тіла; - період коливань зразкового тіла; - період коливань ротора, момент інерції якого визначають.

Основним і суттєвим недоліком розглянутого методу вимірювання моменту інерції є необхідність розбирання машини, що підвищує собівартість даної операції і принципово не дозволяє автоматизувати процес визначення інформативного параметра.

Крім того, як це випливає з формули (7) для коливального режиму роботи, співвідношення (9) не є точним, оскільки не враховує механічних втрат енергії в системі. І якщо для даного методу, враховуючи мале значення коефіцієнта розсіювання енергії , яким можна в межах допустимої похибки знехтувати, це не суттєво, то для різних модифікацій методу крутильних коливань, які дозволяють не розбирати електричну машину, наприклад [7], ця обставина значно зменшує точність вимірювання моменту інерції і накладає на цей процес суттєві обмеження.

Прямий метод (метод пружного гальмування).

В цьому методі пропонується вимірювати момент інерції асинхронної машини, коли її ротор загальмовано, обмотки статора заживлені симетричною напругою номінальної частоти, а до ротора випробовуваного двигуна закріплено вимірювальний важіль, що взаємодіє із сенсором зусилля [4].

Суть методу полягає в формуванні на обмотці її статора прямокутного імпульсу номінальної напруги, тривалість якого перевищує час перехідного процесу перетворювача, та в гальмуванні валу ротора через вимірювальний важіль сенсором зусилля.

При заживлених обмотках статора після завершення в перетворювачі перехідного процесу, вимірюють момент , а після знеживлення обмоток вимірюють час заспокоєння вільних коливань ротора. Тоді значення моменту інерції знаходять за формулою:

,

де - коефіцієнт заспокоєння; - постійна тяжіння; - функція перетворення сенсора зусилля; - нормована величина, що характеризує момент закінчення вільних коливань ротора.

Даний метод реалізує методологію неруйнівного контролю і має значно вищу швидкодію ( сек) та меншу похибку вимірювання () в порівнянні з вищенаведеними методами.

До недоліків даного способу визначення моменту інерції слід віднести необхідність застосування до електродвигуна під час проведення вимірювання “короткого замикання”, який є аварійним режимом роботи цього електротехнічного пристрою.

Можливі методи перетворення моменту інерції перетворювачів 2-го порядку. Аналіз рівняння (5) механічної системи та його розв'язків (6-8) показує, що принципово існують і інші можливості експериментального визначення моменту інерції, математичні моделі яких будуть базуватися на диференціальному рівнянні стану 2-го порядку.

Наприклад, якщо в режимі коливального самогальмування (рис. 5) визначити логарифмічний декремент загасання коливання механічної системи перетворювача, то на підставі (5, 7) момент інерції ротора можна розрахувати за формулою:

.

Рисунок 4 Розв'язок рівнянння руху системи 2-го порядку в режимі коливального самогальмування

Вимірювання ж часу для підвищення точності визначення моменту інерції доцільно здійснювати не в точках максимумів або мінімумів кутової швидкості, а в точках зміни напряму обертання, в яких кутова швидкість дорівнює нулю.

Математична модель перетворювача моменту інерції 3-го порядку. Відповідно до [5] для даної механічної системи (рис. 5) система рівнянь Лагранжа другого роду має вид:

,

а рівняння руху відносно кутової швидкості обертання -

Рисунок 5 Механічна частина перетворювача моменту інерції 3-го порядку з двома ступенями вільності

Існуючі та можливі методи перетворення моменту інерції перетворювачів 3-го і більш високих порядків. Що ж стосується перетворювачів моменту інерції 3-го і більш високих порядків, то ні методів, ні самих пристроїв на даний час не існує.

Висновки

В роботі розглянута та застосована загальна методика математичного моделювання перетворювачів моменту інерції. Наведені їх математичні моделі. Здійснені огляд, систематизація і класифікація існуючих та можливих методів перетворення. Створені необхідні сприятливі умови для розробки нових перспективних методів перетворення моментів інерції тіл обертання.

Література

інерція математичний перетворювач момент

1. Ведміцький Ю.Г., Кухарчук В.В. Рівняння Лагранжа як основа теорії перетворювачів моменту інерції // Вісник КДПУ. вип. 3/2005 (32). С. 89-91.

2. Фаворин М. В. Моменты инерции тел: Справочник. М.: Машиностроение, 1977. 511 с.

3. Гернет М. М., Ратобыльский В. Ф. Определение моментов инерции. М.: Машиностроение, 1985. 248 с.

4. Кухарчук В. В. Спосіб вимірювання моменту інерції ротора електричних машин //Ученые записки Симферопольского государственного университета. 1998. Спец. Выпуск. С. 214-219.

5. Кухарчук В.В., Ведміцький Ю.Г. Математична і електричні моделі перетворювача моменту інерції тіл обертання з двома ступенями вільності. // VІІІ МКУСС-2005, 2005. Вінниця. С. 69.

6. Поджаренко В.О., Кучерук В.Ю. Новий спосіб вимірювання моменту інерції електричних машин // Автоматизація технологічних процесів та промислова екологія. 1997. вип. №1. С. 23-27.

7. Потапов Л. А., Юферов Ф. М. Измерение вращающих моментов и скоростей вращения микроэлектродвигателей. М.: Энергия, 1976. 121 с.

Размещено на Allbest.ru