Расчет нестационарного температурного поля в трехслойной стенке с импульсными внутренними источниками теплоты

Размещено на http://www.allbest.ru/

Расчет нестационарного температурного поля в трехслойной стенке с импульсными внутренними источниками теплоты

Б.В. Аверин

Самарский государственный технический университет

443100, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244

Работа посвящена нагреву трехслойных конструкций от воздействия импульсных внутренних источников теплоты.

Ключевые слова: аналитические решения, многослойные конструкции, внутренние источники теплоты, собственные функции, собственные числа.

Рассмотрим нагрев симметричной трехслойной стенки, на внешних поверхностях которой задана переменная во времени температура.

Внешние слои стенки имеют одинаковые толщины и изготовлены из одного и того же материала.

Внутри слоев стенки действуют источники теплоты с переменной во времени интенсивностью. Учитывая симметрию задачи, ее математическая постановка формулируется в виде

трехслойный конструкция импульсный теплота

(1)

(2)

; (3)

где ;

;

;

Введем вместо новую независимую переменную по формуле

. (4)

Относительно этой переменной краевая задача (1)-(3) примет вид

(5)

(6)

; (7)

где

;

;

.

Решение краевой задачи (5)-(7) ищем в виде

, (8)

где собственные числа и соответствующие им собственные функции определяются из решения однородной краевой задачи

; (9)

; (10)

а квазистационарная составляющая находится из решения уравнения

(11)

с неоднородными граничными условиями

; . (12)

Из (10)-(9) находим

. (13)

Общее решение дифференциального уравнения с разрывными коэффициентами (9) имеет вид

(14)

Удовлетворяя (14) граничным условиям (10), получаем характеристическое уравнение для определения собственных чисел

,

которое можно представить в виде

. (15)

Отсюда находим вид собственных функций

. (16)

Подставив решение (8) и начальное условие (6) в дифференциальное уравнение (5), для определения коэффициентов и получим соответствующие выражения

; (17)

, (18)

где - норма собственных функций :

. (19)

Вычислим интеграл (19), определяющий квадрат нормы собственных функций . Умножим (9) на и результат проинтегрируем по от до .

(20)

Так как

то

Следовательно,

(21)

Сложив (20) с (21), получим

Учитывая граничные условия (10), окончательно находим

Таким образом,

(22)

Так как

,

выражения (17) и (18), определяющие значения коэффициентов и , примут вид

; (23)

. (24)

Подставляя (23) и (24), а также квазистационарное распределение температуры (13) в (8), после соответствующих преобразований получаем искомое решение задачи:

(25)

С учетом того, что , выражение (25) окончательно примет вид

(26)

где собственные функции и квадрат их нормы определяются согласно соотношениям (16) и (22) соответственно.

Распределение температуры в составной стенке (26) справедливо при любой зависимости внутренних источников теплоты от координаты и времени .

Если интенсивность внутреннего источника в пределах каждого слоя не зависит от координаты, т.е.

(27)

то можно вычислить интеграл

и придать решению (26) такой вид:

(28)

Пусть интенсивность внутреннего источника теплоты в пределах каждого слоя носит импульсный характер во времени

(29)

где - амплитуда прямоугольного импульса; ; ; - длительность импульса, -период повторения импульсов.

Предположим также, что начальное распределение в стенке равномерное, а температура на внешней ее поверхности постоянная, т.е.

; . (30)

Тогда, подставляя (29) и (30) в (28) и выполняя интегрирование по координате и времени , получаем

(31)

Представим (31) в безразмерном виде:

(32)

Где ;

;

; ,

Где ; ; ;

; ; ; ;

;

Характеристическое уравнение (15) относительно запишется следующим образом:

. (33)

При постоянных источниках теплоты решение (32) преобразуется к выражению

(34)

которое полностью совпадает с решением, полученным в [1].

Если внутренние источники теплоты в стенке отсутствуют, то температурное поле будет определяться выражением

, (35)

которое полностью совпадает с решением, полученным в [2].

Полученные решения (31), (32) и (33) позволяют установить основные закономерности формирования нестационарных температурных полей в трехслойных конструкциях, подвергающихся импульсному воздействию внутренних источников теплоты.

Библиографический список

1. Аверин Б.В. Математическое моделирование температурных полей и температурных напряжений в многослойных радиопрозрачных укрытиях мощных передающих антенн: Автореф. дис.… канд. техн. наук / М.: Госуд. акад. тонкой хим. технологии, 1999. - 22 с.

2. Лыков А.В. Теория теплопроводности. - М.: Высшая школа, 1967. - 600 с.

Размещено на Allbest.ur