Математическое моделирование и расчет распространения направленных импульсов в неоднородных поглощающих средах

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Математическое моделирование и расчет распространения направленных импульсов в неоднородных поглощающих средах

Б.В. Скворцов, А.Н. Малышева-Стройкова, Д.Б. Скворцов Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королева

Аннотация

Импульсное зондирование применяется для исследования физико-химических свойств сред и объектов. Импульсные сигналы, взаимодействующие с контролируемой средой, неисчерпаемы по своим информационным и технологическим возможностям. Любая среда, в который распространяется и взаимодействует импульс, характеризуется комплексным волновым вектором, компоненты которого определяются его свойствами. В работе математически описывается энергетическое поле, созданное излучающим импульсом при распространении его в неоднородной поглощающей среде. Дается трехмерное математическое описание и алгоритм расчета процесса распространения направленных импульсных сигналов в неоднородных поглощающих средах. Изменение амплитуды и спектрального состава импульса, прошедшего через исследуемую среду, дает диагностическую информацию о среде.

Ключевые слова: направленный импульс, волновой вектор, неоднородная среда, распространение, математическое описание, алгоритм расчета.

энергетический сигнал импульс поглощающий

Импульсное зондирование применяется для исследования физико-химических свойств сред и объектов [1]. Импульсные сигналы, взаимодействующие с контролируемой средой или объектом, неисчерпаемы по своим информационным и технологическим возможностям. Теоретические основы распространения импульсных сигналов в различных средах рассмотрены в фундаментальных работах [2, 3], результаты которых требуют дальнейшего осмысления и развития с точки зрения возможностей и методики их практического применения.

Направленный зондирующий импульс любой физической природы и произвольной формы, действующий в какой-либо точке пространства, в общем случае является вектором (рис. 1).

а б

Рис. 1. Иллюстрация к постановке задачи распространения импульса в неподвижной среде

Импульс может быть произвольной формы и описывается выражением

, (1)

где под точкой О будем понимать координаты точки излучения (х₀, y₀, z₀). Отметим, что мы намеренно не совмещаем точку излучения с началом координат, так как среда может облучаться синхронно из нескольких точек, что может привести в дальнейшем к неточности описания. Импульс исчерпывающим образом описывается комплексной спектральной амплитудой S(jщ), которая определяется как преобразование Фурье от исходного сигнала и представляет собой набор синусоидальных сигналов разной амплитуды и фазы:

(2)

Изменение амплитуды и спектрального состава зондирующего импульса, прошедшего через исследуемую среду, дает информацию о среде или объекте. Распространяясь в среде, импульс может в общем случае изменять форму и направление, что определяется свойствами среды.

Любая среда, в которой распространяется и с которой взаимодействует направленный энергетический импульс, характеризуется комплексным волновым вектором, который согласно [2, 6] является дважды вектором - как комплексное число и как направление. Для неоднородной среды волновой вектор является функцией не только частоты, но и пространственных координат, которые для компактности представим в виде расстояния от начала координат до текущей точки:

(3)

, (4)

Модули компонентов волнового вектора определяются по формулам:

 (5)

Полный модуль волнового вектора определится:

(6)

Здесь и в дальнейшем следует различать j как мнимую часть комплексного числа; как единичные векторы декартовой системы координат; как волновой вектор.

Компоненты волнового вектора определяются свойствами среды и направленностью зондирующего импульса [2, 6]. Действительная часть волнового вектора определяет вектор фазовой скорости распространения импульса [м/сек]:

(7)

(8)

Мнимая часть определяет вектор поглощения, [1/м]:

(9)

Отметим, что именно направленность излучения требует достаточно необычной трактовки понятия коэффициента поглощения как вектора. В неоднородной среде фазовая скорость и коэффициент поглощения являются функцией координат, то есть могут менять направление.

Сущность такого описания состоит в том, что среда может иметь разные свойства по направлениям в смысле скорости распространения и коэффициента поглощения. При этом составляющие вектора (3) должны удовлетворять преобразованиям Гильберта

(10)

определяющим принципиальную возможность существования непрерывного энергетического поля и однозначное соответствие между фазовой скоростью распространения и коэффициентом поглощения энергетической волны в поглощающей среде; - формальный параметр интегрирования.

Для однородной среды

(11)

Отметим, что в классической теории волновых процессов в непоглощающих однородных средах волновой вектор определяет число длин волн, умещающихся на единице длины [1/м]. В поглощающих средах волновой вектор также имеет размерность [1/м], однако здесь его физическая трактовка больше согласуется с комплексным коэффициентом поглощения пакета энергии, распространяющегося в среде, которая по аналогии с электричеством может быть активной, проявляющейся, например, в виде нагревания среды, и реактивной, определяемой электромагнитными или квантово-механическими процессами в зоне следования импульса.

На основании (10) можно предположить, что любая поглощающая (пассивная) среда имеет строго определенную пару составляющих волнового вектора , которая может служить основой для ее идентификации. При этом координатные составляющие и частотные зависимости волнового вектора определяют многообразные возможности создания идентификационной базы сред и объектов. Отметим, что все среды кроме вакуума частотно зависимы по параметрам волнового вектора. Вакуум - это единственная среда, для которой при электромагнитных сигналах и при акустических сигналах, что не противоречит формулам(10).

В работах [5, 7] на основе творческого анализа работ [2, 3] получено аналитическое выражение, моделирующее распространение импульса в однородной поглощающей среде, которое имеет вид

(12)

где - радиус-вектор заданной точки пространства относительно точки излучения,

, (13)

- трехмерный волновой вектор, параметры которого в указанных работах предполагались не зависящими от пространственных координат;

(14)

скалярное произведение волнового вектора на радиус-вектор заданной точки пространства, ф - формальный параметр интегрирования.

В однородной среде импульс не может изменить своего направления, поэтому векторы коллинеарны, то есть совпадают по направлению.

Формула (12) предполагает, что импульс может появиться только в той точке пространства, которая лежит на направлении распространения исходного импульса. Алгоритм, программа и примеры расчетов распространения электромагнитных и акустических импульсов, разработанные по формуле (12), приведены в работе [7].

Для неоднородной среды, в которой волновой вектор является функцией координат и задается формулой (3), выражение (12), описывающее импульс в точке r пространства, отсчитываемого от точки излучения О, примет вид

(15)

(16)

в - угол между векторами .

Выражение (14) в явном и общем виде связывает параметры импульса, появившегося в заданной точке r пространства, c параметрами импульса, запущенного в точке О. Оно определяет каждую координатную составляющую импульса в заданной точке пространства, в частности для проекций на оси можно записать:

(17)

С учетом (7)-(9) равенство (15) переписывается в виде

(18)

Выражение (18) описывает в общем виде распространение импульса в неоднородных поглощающих средах с учетом направленности излучения. При этом (18) пригодно для описания распространения импульса не только в свободном пространстве, но и в волноводной системе, границы которой могут задаваться коэффициентом поглощения среды. В неоднородной среде векторы фазовой скорости и поглощения могут менять направление по координатам [2], поэтому излученный импульс может появиться не только на прямой, определяемой вектором излучения. Отметим, что параметры r и R связаны между собой через координаты x, y, z по формулам (4), (16). Если зондирующий импульс находится в начале координат, то r = R.

Выражение (18) отражает только прямолинейное движение импульса, так как скалярное произведение векторов (15) предполагает прямолинейное перемещение импульса из точки О(х₀, y₀, z₀) в точку М(х, y, z) по прямой, задаваемой вектором . Однако для элементарных приращений можно считать среду однородной, а движение импульса - прямолинейным. Если разбить всю траекторию движения луча на элементарные составляющие где l=0…n (рис. 2), то можно записать:

(19)

(20)

- фазовая скорость и коэффициент поглощения в точке R_l пространства.

Причем импульс, пришедший в точку l, считать зондирующим (исходящим) импульсом для точки l+1. Среду между точками l и l+1 считать однородной. Это будет означать, что векторы , , коллинеарны. Так последовательно, методом конечных приращений можно вычислить местоположение и форму импульса в какой-либо точке пространства с учетом изменения направления движения, определяемого свойствами среды (волновым вектором, коэффициентом поглощения и фазовой скоростью).

Таким образом, можно предложить следующий алгоритм расчета прохождения энергетического импульса в неоднородной среде.

1. Вся среда в предполагаемой зоне движения импульса описывается трехмерными массивами:

Рис. 2. Иллюстрация к алгоритму расчета распространения импульса в неоднородной среде

m=1, 2, 3, …, N .

(21)

Это означает, что в каждой точке пространства нужно задавать три составляющие фазовой скорости и поглощения.

2. Учитывая, что начальный импульс как вектор задан, по направлению вектора определяем совокупность точек пространства R, в которые может попасть зондирующий импульс.

3. На линии распространения импульса выбираем точку r₁(х₁, y₁, z₁), l=1.

4. По формуле (20) при l=1 определяем

5. Из массивов, определенных в п. 1, для точки х₁, y₁, z₁ выбираем значения

6. Определяем модуль фазовой скорости по формуле (21).

7. Предполагая, что импульс из точки l-1 в точку l распространяется линейно, по формуле (19) при l=1 находим параметры импульса

Алгоритм и программа расчета линейного распространения импульса в соответствии с формулой (19) приведены в работе [7].

8. Полученный импульс, приложенный в точке х₁, y₁, z₁, принимаем за излучающий. На линии распространения этого импульса, определенной вектором , выбираем точку l=2.

9. Возвращаемся к шагу 4 и повторяем всю процедуру с последовательным прибавлением индекса l.

Так можно вычислить форму импульса и координаты его прибытия в точку пространства.

Сигнал, вычисленный по формулам (19), в общем случае является комплексным:

. (22)

Как указано в [2, 3], физический смысл следует придавать действительной части выражения (22). Однако при анализе энергетических характеристик импульса не следует отказываться от мнимой составляющей выражения (22), так как мнимая его часть позволяет по специально разработанным алгоритмам [1] наиболее точно определить время прибытия импульса в контролируемую точку и его длительность, что чрезвычайно важно для импульсов сложной формы, каковыми они становятся после прохождения среды. Прошедший через однородную среду импульс изменяет свою форму, скорость и в точке приема несет в себе информацию о свойствах среды или об объекте. При этом важно знать амплитудный спектр принятого импульса, который определяется как прямое преобразование Фурье:

. (23)

Следует отметить, что, как правило, все приемники импульсных сигналов являются координатно-ориентированными, поэтому важно вычислять координатные составляющие прошедшего через среду импульса и соответствующие им амплитудные спектры,, .

Приведенные выражения, определяющие в общем виде форму и местоположение зондирующего импульса, прошедшего через среду, являются математической основой для исследования сред и объектов методом импульсного зондирования. Задавая параметры среды в виде волнового вектора, определяющего коэффициент поглощения и фазовую скорость распространения, с учетом направления излучающего импульса можно численно моделировать прохождение импульса в пространстве или объекте, наблюдать искажение его формы, определять место и время прибытия в какую-либо точку пространства.

Библиографический список

1. Глебович Г.В., Андриянов А.В., Введенский Ю.В. Исследование объектов с помощью пикосекундных импульсов. - М.: Радио и связь, 1984. - 256 с.

2. Гинзбург В.Л. Распространение электромагнитных волн в плазме. - М.: Наука, 1967. - 684с.

3. Вайнштейн Л.А. Распространение импульсов // Успехи физических наук. - 1976. - Т.118.- Вып. 2. - С. 339-369.

4. Никольский В.В. Электродинамика и распространение радиоволн. - М.: Наука, 1978. - 444с.

5. Скворцов Б.В., Голикова М.И., Скотников Д.А. Математическое моделирование распространения направленных импульсных сигналов в поглощающих средах // Авиакосмическое приборостроение. - 2010. - № 12. - С. 28-32.

6. Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. - М.: Наука, 1973. - С. 344.

7. Скворцов Б.В., Лезин И.А., Солнцева А.В. Математическое моделирование и расчет распространения направленных импульсов в однородных средах // Изв. СНЦ РАН. - 2011. - Т.13. - № 6. - С. 41-47.

Размещено на Allbest.ru