Решение задачи Гурса для уравнения Эйлера-Пуассона методом Вольтерра

Размещено на http://www.allbest.ru/

№42-3, 30.03.2016

Физико-математические науки

Решение задачи Гурса для уравнения Эйлера-Пуассона методом Вольтерра

Балабаева Наталья Петровна, кандидат наук, доцент, доцент

Энбом Екатерина Александровна, кандидат наук, доцент, доцент

Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики

В статье рассматривается краевая задача для уравнения Эйлера-Пуассона в трехмерной области специального вида. Основной целью статьи является демонстрация метода Вольтерра, который позволяет доказать однозначную разрешимость поставленной задачи и записать ее решение в явном виде.

Похожие материалы

Решение краевой задачи для гиперболического уравнения третьего порядка в трехмерной области

Фрактальные циклы покупки и продажи нелинейной динамической системы

Использование возможностей интеллектуальных информационных систем при организации дистанционного обучения

Искусственные нейронные сети в прогнозировании и анализе временных рядов

Практические работы по астрономии с использованием ИКТ

МЕТОД ВОЛЬТЕРРА, КРАЕВАЯ ЗАДАЧА, УРАВНЕНИЕ ЭЙЛЕРА-ПУАССОНА, УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА, ФУНКЦИЯ ВОЛЬТЕРРА

эйлер пуассон трехмерный вольтерр

В современной теории краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными важное место занимает изучение вырождающихся гиперболических и эллиптических уравнений, а также уравнений смешанного типа [1], [2]. Интерес к такого рода уравнениям объясняется теоретической значимостью полученных результатов и их многочисленными приложениями в различных разделах естествознания [3-5]. Так как вырождающиеся уравнения являются моделями реальных процессов, то это обуславливает актуальность постановки и решения для них краевых задач, которые являются предметом фундаментальных исследований [6].

Известное в классической теории уравнение

будем рассматривать в области Щ трехмерного евклидова пространства, ограниченной характеристическим конусом и кругом

Требуется найти функцию со следующими свойствами:

1) ;

2) и в Щ;

3) .

Фактически требуется решить задачу Гурса для данного уравнения третьего порядка в трехмерной области специального вида, так как именно на границе области задается известная функция.

Для решения задачи применен метод Вольтерра. В классической теории краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных функция Вольтерра известна для уравнения цилиндрических волн [7], а так же она найдена для телеграфного уравнения. Функция Вольтерра для рассматриваемого уравнения известна из работы [8], она имеет вид:

Пусть - произвольная точка области . Проведем характеристический конус и обозначим через Gобласть, ограниченную конусами S и S0. Реализация метода Вольтерра предполагает использование формулы Грина для операторов E(u) и E*(u):

где У - граница G, N - направление конормали к У, а Nx, Ny, Nz - направляющие косинусы конормали.

Поскольку функция Вольтерра имеет логарифмическую особенность на оси косинуса S0, а ее частные производные обращаются в бесконечность и на оси этого конуса и на нем самом, то формулу Грина нельзя применять к области G.

Задавшись достаточно малым числом е > 0, построим вспомогательную область Gе, ограниченную:

цилиндром r0 = е,

конусом Sц, вершина и ось которого те же, что и у конуса S0, а образующие составляют с осью угол , частью конуса S.

Пусть в формуле Грина u - есть решение задачи, а v - функция Вольтерра. Применяя эту формулу к области Gе, а затем, осуществляя в полученном тождестве предельный переход при е > 0, придем к интегральному уравнению Вольтерра первого рода:

где

S1 - часть конуса S, входящая в границу области G.

Это уравнение изучено в работе [9]. Применяя формулу его обращения, получим следующее представление решения задачи:

Здесь

D1 - проекция S1 на плоскость xOy.

Если , то построенная функция u(x,y,z) является классическим решением поставленной задачи Гурса.

Список литературы

1. Энбом Е.А. Некоторые краевые задачи для вырождающихся гиперболических уравнений третьего порядка в трехмерных областях. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Самара. 2003.

2. Энбом Е.А. Аналог задачи Коши для уравнения третьего порядка. В сборнике: Математическое моделирование и краевые задачи. Труды тринадцатой межвузовской конференции. Редколлегия: В.П. Радченко (отв. редактор), Э.Я. Раппопорт, Е.Н. Огородников, М.Н. Саушкин (отв. секретарь). 2003. С. 171-173.

3. Балабаева Н.П. Исследование устойчивости дифференциальных включений методом усреднения. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Самара. 2005.

4. Балабаева Н.П. Устойчивость нелипшицевых дифференциальных уравнений с управлением. В сборнике: Математическое моделирование и краевые задачи. Труды тринадцатой межвузовской конференции. Редколлегия: В.П. Радченко (отв. редактор), Э.Я. Раппопорт, Е.Н. Огородников, М.Н. Саушкин (отв. секретарь). 2005. С. 31-33.

5. Балабаева Н.П. Устойчивость систем дифееренциальных включений по медленным переменным. Наука и мир. 2015. Т.1. № 3 (19). С. 19-21.

6. Энбом Е.А. Решение краевой задачи для гиперболического уравнения третьего порядка в трехмерной области и его применения. Самарский научный вестник. 2014. № 4(9). С. 145-147.

7. Положий Г.Н. Уравнения математической физики. Москва: Высшая школа. 1964. 560 с.

8. Ежов А.М. О функции Вольтерра для уравнения Эйлера-Пуассона и ее применении к решению задачи Коши и характеристической задачи. Краевые задачи для уравнений математической физики. Межвузовский сборник научных трудов. Куйбышев. 1990. С. 19-26.

9. Энбом Е.А. Решение интегрального уравнения Вольтерра первого рода с непрерывным ядром. Вестник Самарского государственного педагогического университета. Самара. 2006. С. 31-41.

Размещено на Allbest.ru