Математическое моделирование фильтрации жидкости при переменном граничном

Размещено на http://www.allbest.ru/

Математическое моделирование фильтрации жидкости при переменном граничном

Хусаинов Исмагильян Гарифьянович, доктор наук, доцент, профессор

Башкирский государственный университет, Стерлитамакский филиал

В работе построена математическая модель, описывающая процесс фильтрации жидкости при переменном поле давления на одной из границ пласта для плоской задачи. Решение уравнения пьезопроводности получено с помощью принципа Дюамеля.

Задача исследования фильтрации жидкости с пористой средой встречается в различных областях, но в первую очередь в нефтяной промышленности [7-9].

Математическая модель изотермической однофазной фильтрации жидкости в изотропной пористой среде включает закон сохранения импульса в виде закона фильтрации Дарси, уравнение неразрывности (или закон сохранения массы), а также уравнение состояния [1-4].

В работе построена математическая модель, описывающая процесс фильтрации жидкости при переменном поле давления на одной из границ пласта для плоской задачи.

Пусть в исходном состоянии (t < 0) давление жидкости во всей проницаемой пористой среде вокруг полости постоянно и равно p'₀, а сама полость частично заполнена жидкостью и частично газом (рис. 1). В работе рассматривается полость плоской геометрии, представляющей собой трещину. В момент времени t=0 давление в полости мгновенно увеличивается до некоторого значения p₀. После этого, за счет фильтрации жидкости в окружающую пористую среду, давление в полости постепенно будет стремиться к значению p'₀. Предполагается, что газовая фаза в полости находится в специальном контейнере, который исключает ее фильтрацию через стенки в окружающую пористую среду.

При описании исследуемого процесса примем следующие допущения: давление внутри полости однородно (пренебрегаем гидростатическим перепадом давления), фильтрация газа через боковые поверхности полости и фазовые переходы отсутствуют. Внутри полости масса газа остается постоянной в течение всего процесса.

Рисунок 1. Схематическое изображение полости, окруженной пористой средой

фильтрация жидкость температурный давление

Будем полагать, что стенки полости (трещины) плоскопараллельны и расстояние между ними намного меньше, чем их линейные размеры. Фильтрация жидкости происходит только через переднюю стенку, а остальные части поверхности полости непроницаемы.

С учетом вышеизложенных допущений запишем следующую систему уравнений, описывающую исследуемый процесс.

Для полости записываем закон сохранения массы и уравнения состояния жидкости и газа. Жидкость внутри полости уменьшается вследствие фильтрации в окружающую пористую среду:

(1)

где -- определяется по формуле ,

-- плотность жидкости,

-- объемная доля газа в полости,

a -- полутолщина полости,

-- скорость фильтрации жидкости через стенки полости.

Так как сжимаемость жидкости, находящейся в полости и в пористой среде, мала, то для жидкости записываем линейное уравнение состояния [10-12]:

. (2)

Здесь p₀ -- начальное значение давления в полости.

Газ будем считать калорически совершенным. Тогда для его поведения примем политропический закон:

, (3)

где -- показатель политропы,

-- начальная объемная доля газовой фазы в полости.

Поведение жидкости вокруг полости описывается с помощью закона Дарси и уравнения пьезопроводности. Закон Дарси записывается в виде:

, (4)

где -- динамический коэффициент вязкости жидкости,

k -- коэффициент проницаемости пористой среды,

-- давление и скорость фильтрации жидкости вокруг полости. На стенке полости выполняется условие неразрывности среды

.

Поле давления вокруг полости описывается с помощью уравнения пьезопроводности:

. (5)

Здесь -- коэффициент пьезопроводности , m -- коэффициент пористости, C_l -- скорость звука в жидкости, -- начальное значение плотности жидкости.

Начальное условие для уравнения пьезопроводности (5) запишем в виде:

. (6)

На стенке полости выполняется условие непрерывности давления. Тогда граничные условия для уравнения пьезопроводности могут быть записаны в виде:

. (7)

Из принципа Дюамеля [5, 6] следует, что решение уравнения пьезопроводности с граничными условиями, зависящими от времени, можно выразить через решение соответствующей задачи, в которой граничные условия не зависят от времени. Тогда для уравнения (5) с переменным граничным условием (7) может быть получено следующее решение для описания распределения давления в пористом пласте вокруг полости:

, (8)

.

Здесь функция U(r,t) является решением уравнения пьезопроводности (5) с постоянным граничным и нулевым начальным условиями.

В решении уравнения пьезопроводности (8) переменное давление p'(t) определяется через систему уравнений (1)-(4).

В работе получена система уравнений, описывающая фильтрацию жидкости в полубесконечной пористой среде для случая, когда давление на конечной границе зависит от времени. Полученную математическую модель можно использовать при решении задач нефтегазовой отрасли.

Список литературы

1. Баренблатт, Г.И. Движение жидкостей и газов в природных пластах / Г.И. Баренблатт, В.М. Ентов, В.М. Рыжик. - М.: Недра, 1984. - 211 с.

2. Баренблатт, Г.И. Теория нестационарной фильтрации жидкости и газа / Г.И. Баренблатт, В.М. Ентов, В.М. Рыжик. - М.: Недра, 1972. - 288 с.

3. Лейбензон, Л.С. Движение природных жидкостей и газов в пористой среде / Л.С. Лейбензон - М.: ОГИЗ, 1947. - 187 с.

4. Лейбензон, Л.С. Собрание сочинений / Л.С. Лейбензон - М.: Изд. АН СССР, 1955. - Т.3. - 678 с.

5. Карташов, Э.М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел / Э.М. Карташов. - М.: Высшая школа, 2001. - 547 с.

6. Тихонов, А.Н. Уравнения математической физики / А.Н. Тихонов, А.А. Самарский. - М.: Наука, - 1972. - 736 с.

7. Хусаинов И.Г. Динамика релаксации давления в полости с плоско-параллельными стенками после ее опрессовки // Современные проблемы науки и образования. -- 2014. -- № 5; URL: http://www.science-education.ru/119-15159 (дата обращения: 31.10.2014).

8. Хусаинов И.Г. Оценка качества перфорации скважины акустическим методом // Современные проблемы науки и образования. - 2014. - № 5; URL: http://www.science-education.ru/119-14505 (дата обращения: 09.09.2014).

9. Хусаинов И.Г. Эволюция импульса давления при прохождении через пористую преграду, расположенную в воде // Фундаментальные исследования. - 2014. - № 11-12. - С. 2645-2649.

10. Хусаинова Г.Я. Исследование температурных полей при стационарном течении аномальных жидкостей // Автоматизация. Современные технологии. 2016. № 7. С. 13-16.

11. Хусаинова Г.Я. Моделирование процесса очистки пористой среды растворителями // Автоматизация. Современные технологии. 2015. № 9. С. 39-43.

12. Хусаинова Г.Я. Плоскорадиальная фильтрация несжимаемой аномальной жидкости // Современная техника и технологии. 2015. № 7 (47). С. 81-83.

Размещено на Allbest.ru