Методы стохастической интерпретации уравнения Шредингера и их приложения

Размещено на http://www.allbest.ru/

Методы стохастической интерпретации уравнения Шредингера и их приложения

Модели квантовой механики являются парадоксальными с позиций классической физики. Это всегда вызывало множество дискуссий об их адекватности и стимулировало попытки найти их классические или квазиклассические аналоги и замены. Одной из наиболее продвинутых в данной области является т.н. стохастическая интерпретация [1-3].

Пионерской и одной из наиболее значительных работ данного направления является статья [2]. В этой работе рассмотрено броуновское движение системы частиц массы m под действием стохастических колебаний среды с коэффициентом диффузии

стохастический квантомеханический уравнение

.

Внешние силы, действующие на частицы, подчиняются закону Ньютона и состоят из двух компонент, одна из которых определяется потенциалами взаимодействия частиц и внешними полями, другая, описывающая колебания среды, носит случайный (шумовой) характер. Получена система уравнений движения частиц, аналогичных уравнению Ланжевена, которая посредством усреднения по ансамблю, сведена к одному уравнению для функции распределения плотности частиц . Затем вводятся определенные предположения о характере случайной силы. Для ее описания используется выражение, содержащее осциллирующие экспоненты, то есть неявно предполагается, что тепловой шум носит фазовый характер. После этого замена

сводит это уравнение к уравнению Шредингера для . Гипотеза броуновского движения позволяет вычислить уровни энергии квантово-механических систем как состояния динамического равновесия между стохастическим воздействием тепловых колебаний среды и сдерживающим действием потенциальных сил. При этом частицы обладают классическими траекториями, а волновая функция является лишь результатом усреднения по ансамблю. Утверждается, что экспериментальное различие между построенной теорией и квантовой механикой обнаружить невозможно [3].

В работе [1] обсуждается доказательство утверждения о том, что поведение голономной нерелятивистской системы может быть описано в терминах уравнения Ланжевена в евклидовом (мнимом) времени, так что для определенных начальных условий различные стохастические корреляторы совпадут (после их усреднения по стохастической силе) с квантово-механическими корреляторами. Уравнение Фоккера-Планка, которое следует из этого уравнения Ланжевена, эквивалентно уравнению Шредингера в евклидовом времени, если гамильтониан является эрмитовым, динамика описывается потенциальными силами, вакуумное состояние нормируемо и имеется энергетическая щель между вакуумным и первым возбужденным состояниями. Эти условия необходимы для доказательства предельной и эргодической теорем. Для трех точно решаемых моделей с нелинейными уравнениями Ланжевена показано, что соответствующие уравнения Шредингера удовлетворяют всем перечисленным выше условиям и приводят к локальным линейным уравнениям Фоккера-Планка с производными не выше второго порядка [1,2].

В рассматриваемых моделях исходным является уравнение Ланжевена:

,

где m - масса частицы, x - пространственная координата, t - время, F₀(x) - систематическая сила, - коэффициент трения, F(t) - шумовой член силы, обычно предполагается гауссовским со следующими значениями среднего и корреляционной функции:

,

где b - некоторая постоянная.

Часто рассматривается упрощенный вариант уравнения Ланжевена без члена систематической силы:

.

Несмотря на сделанные в работах [1-3] заявления, стохастическая интерпретация не является общепризнанной теорией и отсутствуют известные примеры ее эффективных приложений.

Законы распределения решений уравнений Ланжевена относительно хорошо известны. Для свободных частиц, как правило, они соответствуют нормальному закону распределения с нулевым средним и дисперсией, растущей пропорционально времени. На рис. 1 приводится сравнение такого нормального распределения с точным решением уравнения Шредингера для электрона, в начальный момент времени находившемся в некоторой ограниченной области. На рис. 2 показано, что отношение дисперсии координаты ко времени не является постоянным, а осциллирует в расширяющихся пределах.

Рисунок 1.

Рисунок 2.

Одним из способов устранения данного несовершенства является введение фазовых осциллирующих членов силы, действующей на частицу. О подобном приеме отмечено в работах [2,3].

Можно исходить, например, из понятия волны де Бройля. Ее длина равна:

,

где v - абсолютная величина скорости частицы. В предположении, что x=vt, сила записывается в виде суммы шумовой F_n и фазовой составляющей в виде:

,

где F₀ - амплитуда фазовой силы, k - некоторый коэффициент. Другие варианты обладают свойствами автомодельного решения уравнения Шредингера:

,

.

Эти варианты целесообразно модифицировать с целью устранения смещенности оценки среднего.

На рис. 3 показаны стохастические траектории электронов, рассчитанные с использованием фазовых осциллирующих членов силы.

Рисунок 3.

Если стохастическая интерпретация верна или, по крайней мере, является удовлетворительным приближением, то существует возможность эффективного квантовомеханического расчета многоэлектронных систем, больших молекул и химических соединений на основе имитационного моделирования соответствующей системы стохастических уравнений Ланжевена. В принципе, это решение можно было бы считать начальным приближением при решении уравнения Шредингера методом Монте-Карло [4-6]. Другим способом является решение соответствующих стохастических вариантов уравнений переноса. Представляет интерес разработка численного метода решения уравнения Шредингера, аналогичного методу крупных частиц в кинетической теории.

Список литературы

1. Файнберг В.Я. Связь между уравнениями Фоккера-Планка-Колмогорова и нелинейными уравнениями Ланжевена / ТМФ, 149:3 (2006), 483-501. http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=tmf&paperid=5539&option_lang=rus

2. Nelson E.//Phys. Rev. 1966. Vol 150. N 4. P. 1079-1085.

3. Гипотеза структуры пространства. Обзор парадоксов. http://gipotesa.ilibrary.ru/abs1/

4. Некрасов С.А., Ткачев А.Н. Теория вероятностей и ее приложения: Учеб. пособие/ Юж.-Рос. гос. техн. ун-т. - Новочеркасск: ЮРГТУ, 2007. 148 с.

5. Некрасов С.А. Решение интегральных уравнений методом Монте Карло // NovaInfo.Ru (Электронный журнал.) - 2016 - № 53; URL: http://novainfo.ru/article/8242

6. Некрасов С.А. Решение n-мерного уравнения Шредингера методом интегральных уравнений на псевдослучайной сетке // NovaInfo.Ru (Электронный журнал.) - 2016 - № 55; URL: http://novainfo.ru/article/8797

Размещено на Allbest.ru