Эволюция локализованного возмущения, описываемого уравнением Веселова-Новикова

Размещено на http://www.allbest.ru/

ЭВОЛЮЦИЯ ЛОКАЛИЗОВАННОГО ВОЗМУЩЕНИЯ, ОПИСЫВАЕМОГО УРАВНЕНИЕМ ВЕСЕЛОВА-НОВИКОВА

А.В. Юров, М.С. Юриков

Балтийский федеральный университет имени И. Канта,

Россия, 236041, г. Калининград, ул. А. Невского, 14

E-mail: artuom_yorov@mail.ru, fyveth@yandex.ru

Описан метод построения точных решений уравнений Веселова-Новикова, локализованных на плоскости в начальный момент времени.

Одним из интереснейших свойств нелинейных интегрируемых уравнений (Кортевега-де-Фриза, нелинейного уравнения Шредингера, синус-Гордона) является существование солитонов - локализованных и устойчивых по отношению к столкновениям решений. Последнее свойство делает естественной задачу изучения солитонов как переносчиков информации в диспергирующих средах.

Строго говоря, солитоны являются одномерными образованиями. Вместе с тем пренебрежение дополнительными измерениями в нелинейных задачах не является достаточно хорошо обоснованным предположением. Это обстоятельство стимулирует изучение поведения решений многомерных интегрируемых моделей, таких как уравнения Дэви-Стюартсона (ДС), Кадомцева-Петвиашвили (КП), Бойти-Леона-Пемпинелли (БЛП), Веселова-Новикова (ВН). Особенно хорошо изучены первые два уравнения - ДС (как двумерное обобщение нелинейного уравнения Шредингера) и КП (как двумерный аналог уравнения Кортевега-де-Фриза). Так, исследования показали, что уравнения ДС [1] обладают всеми атрибутами интегрируемых систем: бесконечным числом интегралов движения [2], преобразованиями Дарбу-Бэклунда [3, 4], формализмом обратной задачи рассеяния [5, 6], представлением Хироты [7]. В работе [8] изучалось явное обратимое автопреобразование Бэклунда для моделей ДС и БЛП (см. также работу [9]). Было показано, что решения этих уравнений обладают более богатым репертуаром поведения, чем их одномерные аналоги. Вместе с тем существование локализованных структур на плоскости оказалось значительно более проблематичным явлением - как правило, двумерные солитоны имеют неограниченные линии уровня и оказываются локализованными лишь вдоль некоторого фиксированного направления (исключение составляют так называемые рациональные «солитоны», которые в отличие от настоящих солитонов убывают по степенному, а не экспоненциальному закону).

Замечательным исключением являются экспоненциально-локализованные по всем направлениям, несингулярные решения уравнений ДС-1, так называемые дромионы и их обобщения, построенные в [10] и [11], и широкий класс экспоненциально локализованных структур (так называемых L-, М-дромионов), построенный в [12]. Вопрос о существовании подобных решений у других двумерных нелинейных интегрируемых моделей до сих пор остается открытым.

Целью предлагаемого исследования является описание эффективного метода, который позволяет строить точные решения уравнений ВН, локализованных в начальный момент времени.

Уравнения Веселова-Новикова имеют вид:

(1)

где все функции зависят от пространственных переменных x, y и времени t, а нижний индекс означает частную производную.

Система (1) допускает представление Лакса:

(2)

т.е. пару линейных уравнений, условие совместности которых записывается в виде уравнений ВН.

Пусть - частное решение системы (2), тогда можно определить преобразование Мутара формулой

(3)

Это преобразование в одномерном пределе совпадает со знаменитым преобразованием Дарбу. Принципиальным отличием этих двух типов дискретных симметрий друг от друга является то, что преобразования Мутара связывают лишь решения линейной задачи с одинаковым значением спектрального параметра (в нашем примере - нулевого) и потому не позволяют перестраивать спектры двумерных гамильтонианов. Тем не менее преобразования Мутара весьма эффективны для построения точных решений уравнений (1). Это особенно очевидно в случае нулевого фона: . Общее решение системы (2) в этом случае зависит от двух произвольных функций:

решение уравнение веселов новиков

(4)

Подставляя (4) в (3), находим

(5)

Другое удобное и популярное представление решений имеет вид:

(5')

(6)

тогда решение системы может быть выражено через функцию Эйри следующим образом:

 (7)

Отметим, что если обозначить

(8)

Это неудивительно, поскольку (5) имеет вид общего решения нелинейного уравнения Лиувилля.

Обозначим и введем две функции:

(9)

тогда задача

решается с помощью формулы

(10)

где связь с и определяется соотношениями:

(11)

Отметим, что мы параллельно построили решение задачи Гурса применительно к уравнению Лиувилля.

Таким образом, схема построения эволюции локализованного возмущения уравнений (1) такова:

1) задаем и так, чтобы было локализовано;

2) вычисляем и по формулам (11);

3) подставляем и в (7), находим и в (5) и получаем полное решение.

Примеры граничных условий

Пусть

, (12)

(13)

(14)

Решение (14) экспоненциально локализовано и при условии

(15)

всюду регулярно. Для простоты везде считается . Можно не решать «локально-краевую задачу», а выбрать:

(16)

Причем считаем

, (17)

(18)

Уравнение (18) также локализовано и имеет всюду регулярное решение.

Наконец, пусть

Мы описали простой метод построения точных решений уравнений ВН, связанных с начально-краевой задачей специального вида. На следующем этапе необходимо исследовать поведение соответствующих решений. В частности, важнейший вопрос, нуждающийся в тщательном изучении, звучит так: будут ли первоначально локализованные структуры оставаться локализованными в процессе дальнейшей эволюции? Соответствующее исследование будет описано в отдельной публикации.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ЛИТЕРАТУРНЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Davey, A. Multidimensional localized Solitons / A. Davey, K. Stewartson // Proc.R.Soc. - 1974. - Р. 101.

2. Omote, M. Multidimensional solutions and their Spectral transformations / М. Omote // J. Math.Phys. - 1988. - Р. 2599

3. Boiti, M. Scattering of localized Solitons in the plane / M. Boiti, J.J.-P. Leon, L. Martina and F. Pempinelli // Phys.Lett.A.1988. - Р. 432.

4. Leble, S.B Darboux transformation for the Davey-Stewartson equation and solitons in multidimensions / S.B. Leble, M.A. Salle and A.V. Yurov // Inverse Problems. - 1992. - Р. 207.

5. Fokas, A.S. Linearization of the Kdv and Painleve II equations / A.S. Fokas and M.J. Ablowitz // Phys.Rev.Lett. - 1981. - Р. 1096.

6. Arcadiev, V.A. Inverse scattering transform method and soliton solutions for Davey-Stewrtson II equation / V.A. Arcadiev and A.K. Pogrebkov // Physica D. - 1981. - Р. 189.

7. Hietarinta, J. Multidromion solutions for the Davey-Stewartson equation / J. Hietarinta and R. Hirota // Phys.Lett.A. - 1981. - Р. 145.

8. Юров, А.В. Преобразования Беклунда-Шлезингера для уравнения Дейви-Стьюартсона /А.В. Юров // ТМФ.- Т. 109.- 1996.- С. 338.

9. Leznov, F.N. Canonical transformations generated by shifts in Nonlinear lattices / F.N. Leznov, A.B. Shabat and R.I. Yamilov // Phys.Lett.A. - 1993. - Р. 397.

10. Boiti, M. Dinamics of Multidimensional Solitons / M. Boiti, L. Martina, O.K. Pashaev and F. Pempinelli // Lecce preprint. - 1991 (june).

11. Hietarinta, J. One-dromion solutions for generic classes of equations / J. Hietarinta and R. Hirota // Phys.Lett.A. - 1990. - Р. 145.

12. Fokas, A.S. Dromions and Boundary-value Problem for the Davey-Stewartson Equation / A.S. Fokas and P.M. Santini // Phys.Rev.Lett.А. - Clarkson University preprint INS. - 1989. - Р. 121

Размещено на Allbest.ru