Новый подход для решения электродинамической задачи возбуждения волноводной волной ферритового резонатора

Размещено на http://www.allbest.ru/

76

ІSSN 0485-8972 Радиотехника. 2013. Вып. 175

УДК 621.372

НОВЫЙ ПОДХОД ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ ВОЗБУЖДЕНИЯ ВОЛНОВОДНОЙ ВОЛНОЙ ФЕРРИТОВОГО РЕЗОНАТОРА

Радиофизика

В.Н. Мизерник, Е.Н. Одаренко, д-р физ.-мат. наук,

А.А. Шматько, д-р физ.-мат. наук.

Ферритовые резонаторы достаточно широко используются в различных пассивных и активных устройствах микроволнового и терагерцового диапазонов для электрического управления их выходными характеристиками. К числу базовых элементов устройств относится наиболее простая их разновидность - прямоугольный резонатор, помещенный в прямоугольный волновод. Решение таких задач электродинамики с целью теоретического исследования амплитудно-частотных характеристик связано с определенными трудностями. Хорошо известно [1, 2], что наличие анизотропной среды в волноводе приводит к тому, что поперечные собственные функции для прямых и обратных волн различаются. Между ними не наблюдаются условия ортогональности на выбранном интервале. В результате при решении различных задач электродинамики с участками анизотропных сред наблюдается преобразование волн. В этом случае приходится использовать весь спектр волноводных волн, что, в конечном виде, приводит к бесконечным системам линейных алгебраических уравнений с довольно сложными матричными элементами и недостаточно хорошей их сходимостью, особенно при отрицательных значениях эффективной магнитной проницаемости феррита. Вместе с тем, анализ вида матричных коэффициентов таких систем линейных алгебраических уравнений указал на возможность аналитического решения задачи, так как представленные функциональные ряды могут быть просуммированы в замкнутом виде.

Такое представление рядов позволяет получить связанную систему из двух уравнений и записать ее решение в замкнутом аналитическом виде, что существенно упрощает проведение расчетов для любых соотношений между длиной волны и параметрами задачи. Рассмотрим задачу возбуждения волноводной волной прямоугольного ферритового резонатора, помещенного в прямоугольный волновод (рис. 1). Определение коэффициентов прохождения и отражения волноводной волны, набегающей на неоднородность с исследуемой гиромагнитной средой, будем проводить в рамках двумерной модели (). Магнитная проницаемость гиромагнитной среды резонатора описывается тензором стандартного вида (рис. 1).

Размещено на http://www.allbest.ru/

76

ІSSN 0485-8972 Радиотехника. 2013. Вып. 175

Рис. 1

Для нахождения коэффициентов прохождения и отражения волны необходимо решить уравнение Гельмгольца относительно -компоненты электромагнитного поля с соответствующими граничными условиями: непрерывность тангенциальных компонент поля на поверхностях раздела сред ;

Для трех областей исследуемой структуры это решение имеет вид

(1)

ферритовый резонатор дифракция волна

Здесь приняты следующие обозначения:

, ,

 - эффективная магнитная проницаемость феррита, и - коэффициенты преобразования волн в первой и третьей областях, и - во второй области. Составляющие напряженности магнитного поля находятся из уравнений Максвелла через составляющие согласно формуле

(2)

(3)

Введем обозначения:

(4)

Используя граничные условия

(5)

и ортогональность собственных функций поперечного оператора Лапласа граничной задачи, получим две связанные системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно введенных неизвестных коэффициентов , а именно:

(6)

(7)

Здесь . Другие обозначения соответствуют принятым в работах [3, 4]. Связанные системы алгебраических уравнений (6), (7) можно свести к двум независимым СЛАУ второго рода относительно коэффициентов или . До настоящего времени такие системы уравнений решались в основном численными методами ввиду того, что матричные коэффициенты являются невырожденными относительно целых индексов и . Анализ матричных коэффициентов в СЛАУ (6), (7) показывает их отличие от нуля только в случае, когда индексы поперечных волноводных мод и разной четности. Более того, определитель СЛАУ является симметричным даже при наличии гиротропии среды , что указывает на возможность получения аналитического решения в замкнутом виде. В работе [3] был впервые предложен метод аналитического решения СЛАУ на основе интерполяционной формулы Лагранжа и специального вида базисных функций. Поясним вкратце суть метода. Рассмотрим интеграл Коши следующего вида:

, (8)

где - окружность радиуса с центром в начале координат. Окружим точки , в которых задаются значения функции , маленькими кружками , а точку - кружком . Поскольку в точках функция имеет простые нули, а функция регулярна по предположению на всей конечной плоскости, то на основании теоремы о вычетах имеем:

, (9)

где сумма вычетов по распространена на точки лежащие внутри окружностей . Если точка не совпадает с узловыми точками , то вычет () в этой точке равен , а в точках вычеты равны величине .

Таким образом, формула (9) принимает вид:

, (10)

Можно показать, что левая часть равенства (10) стремится к нулю при неограниченном возрастании . Это означает, что и ряд, стоящий в правой части равенства (10), стремится к нулю [5]. Тогда из (10) следует интерполяционная формула Лагранжа [6] для функции , а именно:

, (11)

где - целая функция, имеющая в точках простые нули, которая не обращается в нуль при других значениях , так что , (1, 2, 3,…). Существенным представляется то, что коэффициенты интерполяции в формуле Лагранжа (11) определяются в точности значениями искомой функции в узловых точках интерполяции , т. е. . Применительно к данной задаче функция , а . Отметим, что выбор целых функций зависит от вида матричных коэффициентов СЛАУ. В результате, в случае применения интерполяционной формулы Лагранжа (11) для вычисления функциональных рядов, СЛАУ сводится к системе двух связанных уравнений, которые имеют следующее аналитическое решение:

, (12)

(13)

Из этих выражений следует, что лишь коэффициенты отражения и прохождения волны через ферритовый резонатор отличны от нуля. Высшие коэффициенты преобразования волн равны нулю. Это подтверждает и численный анализ исходной СЛАУ (6), (7). Более того, четные и нечетные колебания в ферритовом резонаторе по продольной координате являются связанными за счет величины . Полученные прямые формулы для вычисления и (4) позволяют относительно просто проводить вычисление амплитудно-частотных характеристик без ограничения на геометрические размеры устройства и материальные параметры среды. В качестве примера на рис. 2 приведены результаты вычислений модулей коэффициентов и по полученным формулам (12), (13) для нескольких значений параметра . Сравнение результатов, полученных по аналитическим формулам и рассчитанных на основе СЛАУ, обнаруживает их полное соответствие.

Размещено на http://www.allbest.ru/

76

ІSSN 0485-8972 Радиотехника. 2013. Вып. 175

Рис. 2

Выводы

Предложен новый подход для аналитического решения задач дифракции волноводной волны на ферритовом резонаторе в плоскопараллельном волноводе с использованием интерполяционной формулы Лагранжа. Получено в замкнутом виде аналитическое решение задачи для произвольных соотношений между длиной волны, геометрическими размерами и материальными параметрами гиротропной среды.

Список литературы

1. Эпштейн П. Теория распространения электромагнитных волн в гиромагнитной среде // УФН. - 1958. - Т. LXV. Вып. 2. -С. 283-311, (Rev. Mod. Phys. 28, 3, 1956).

2. Гуревич А. Г., Мелков Г. А. Магнитные колебания и волны. - М. : Физматлит, 1994. - 464с.

3. Мизерник В. Н., Шматько А. А. Возбуждение волноводной волной ферритового резонатора (аналитическое решение) // 22-я Междунар. Крым. конф. “СВЧ-техника и телекоммуникационные технологии”. КрыМиКо'2012. Материалы конференции. 10_14 сентября. Севастополь, 2012. - С. 575-576.

4. Мизерник В. Н., Шматько А. А. Собственные колебания волноводных разветвлений с ферритовым cлоем и резонатором // Вісник СумДУ. Серія. Фізика, математика, механіка. -2006. - № 6. - С. 104-114.

5. Хургин Я. И., Яковлев В. П. Методы теории целых функций в радиофизике, теории связи и оптике. - М. : Физматлит, 1962. - 220 с.

6. Привалов А. А. Теория интерполирования функций. - Саратов : Изд-во Саратов. ун-та, 1990. - 230 с.

Размещено на Allbest.ru