Размещено на http://www.allbest.ru/

магистрант В.В. Косенок

канд. техн. наук, доцент В.Н. Киселёв

Аннотация

В статье рассмотрена реализация метода конечных разностей при расчёте пластин подкреплённых рёбрами жесткости в упругопластической стадии

Для многих задач строительной механики и теории упругости невозможно получить решение в замкнутом виде. Это, в частности, относится к таким конструкциям, как пластины сложной формы и подкрепленные пластины, в материале которых появляются пластические деформации. Для расчета конструкций такого типа часто применяют численные методы, позволяющие широко применять вычислительную технику. Одним из таких способов является метод конечных разностей (МКР).

В данной работе производится расчет этим методом жесткой прямоугольной пластины, подкрепленной ребрами жесткости прямоугольного сечения (рис. 1). В процессе деформирования допускается появление пластических деформаций в ребрах жесткости.

Рис. 1 Прямоугольная пластина с рёбрами жёсткости прямоугольного сечения

Пластина имела следующие параметры:

a, b - размеры пластины в плане;

t; t₁ - толщины пластины и ребра жесткости соответственно;

h - высота стенки ребра жесткости;

х_р - параметр, определяющий положение ребер жесткости.

Как известно, дифференциальные уравнения изгиба подкрепленной пластины в безразмерном виде в упругой области имеет вид

(1)

Здесь

Е, µ - модуль Юнга и коэффициент Пуассона соответственно;

Р (х,у) - интенсивность равномерно-распределенной нормальной нагрузки;

(2)

r_к() - нагрузка , распределенная вдоль линии соприкосанияk-го ребра жесткости с пластиной, действующая со стороны этого ребра на пластину

Нагрузку r_к () можно подсчитать по формуле:

(3)

Здесь

(4)

где J_k ;F_k-собственный момент инерции и площадь поперечного сечения к-го ребра жесткости соответственно;

После проявления в ребрах жесткости пластических деформаций задача решается так же, как и в случае, когда пластина подкрепляется ребрами переменного сечения. В этом случае на упруго-пластических участках в уравнении (1) выражение (2) примет вид:

(5)

Здесь

;

В_х - играющая роль момента инерции сечения ребра жесткости на упругопластических участках, которую можно подсчитать по формуле

(6)

з - параметр , характеризующий глубину проникновения пластических деформаций.

Величину в данном случае определяем по формуле

(7)

Решение проводим «шаговым» методом, определяя на каждом шаге необходимых параметров.

В качестве примера рассмотрим расчет пластины прямоугольной формы, жестко заделанной по контуру, нагруженной нормальной равномерно распределенной нагрузкой р(х,у), подкрепленной тремя ребрами жесткости (рис.1) прямоугольного сечения с размерами:

а = b = 50 см; л=0,5 см; t = 0,4 см; t₁=0,5 см; h=1,5 см.

Характеристика материала:

Е = 2,1 * 10⁶ кгс/см² ;д_Т = 2400 кгс/см² ; µ = 0,3.

В качестве расчетного метода примем метод конечных разностей (МКР). Для этого выберем прямоугольную сетку 10х10 и наносим ее на пластину. Заменяем исходные дифференциальные уравнения (1) и (2) и граничные условия системой разностных уравнений, которые записываем для каждого узла сетки, нанесенной на пластину. При этом аппроксимируем бигармонический оператор и все производные симметричными разностными выражениями с погрешностью О(²) ,

где - относительный шаг сетки равный .

Производные функции прогиба в граничных условиях аппроксимируем с погрешностью О(²). Ввиду симметрии пластины и нагрузки рассматриваем только 1/4 часть пластины. Полученную систему нелинейных алгебраических уравнений решаем методом общей итерации. Результаты расчета приведены на рис.2, где приведены прогибы W в мм для пластины при и . Кривая 1 соответствует упругой работе пластины и ребра, кривая 2 нагрузке, при которой в ребрах имеются пластические деформации.

конечный разность пластина нагрузка

Рис. 2. Результаты расчёта вдоль оси Y (a) и вдоль оси Х (б)

Литература

1. Ворожцов Е.В. Разностные методы решения задач механики сплошных сред. Новосибирск: Изд-во НГТУ, 1998. - 86 с.

2. Лисейкин В.Д., Шокин Ю.И., Васева И.А., Лиханова Ю.В. Технология построения разностных сеток. Новосибирск: Наука, 2009. -- 414 с.

3. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. М.: Наука, 1981. - 416 с.

4. Романко В.К. Разностные уравнения. М.: БИНОМ, 2006, 112с

Размещено на Allbest.ru