Определение координат точек круговых кривых

Размещено на http://www.allbest.ru/

УДК 625.111

Определение координат точек круговых кривых

Борисов Э.А., к.т.н., доцент (ДонИЖТ)

Проблема. На криволинейных участках проектируемых дорог все основные точки (главные, пикеты и некоторые плюсовые) должны иметь координаты в системе координат трассы.

Анализ известных решений. Для координирования точек круговых кривых используют несколько способов [1,2].

Первый способ основан на известных координатах центра кривой (точка О, рисунок 1), длине радиуса R и центральных углах г_і для соответствующих участков кривой длиной К_і. Координаты і-х точек находят по формулам

хорда погрешность проектный координата

,(1)

где

;

(2)

где с - радиан.

Во втором способе координаты точек на кривой находят по длине в_і и направлению хорд, стягивающих дуги между началом кривой (НК) и і-той точкой (рисунок 1)

,(3)

где

.(4)

Размещено на http://www.allbest.ru/

В третьем способе “прямоугольных координат” применяют методику расчета элементов (координат) разбивок (рисунок 2), согласно которой координаты равны

(5)

где углы г вычисляют по формуле (2).

Для некоторых значений R и г составлены таблицы [3], по которым координаты (5) определяются с точностью до сантиметров.

Указанные способы выполнения задачи дают одинаково точные решения.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Постановка задачи. Дополним рассмотренные способы четвертым вариантом расчета координат по внутренним хордам, расположенным между соседними точками кривой.

Основной материал. По рисунку 3 видно, что в каждом равнобедренном треугольнике для дуги длиной К_і центральный угол в_і и длина хорды d_і определяется формулами (2) и (4). Дирекционные углы этих хорд получают последовательным суммированием углов в_і/2 к начальному дирекционному углу б_нк для тангенсной линии НК-ВУ.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Первая хорда в₁, стягивающая дугу К₁, расположена под углом к линии тангенса, поскольку для этой хорды угол между ней и касательной в точке НК равен половине её центрального угла.

Тогда дирекционный угол первой хорды будет равен

(6)

Для определения дирекционного угла следующих хорд продлим линию первой хорды в направлении НК-1-1а. Через точку 1 проведем касательную 1-1б и вторую хорду 1-2. В равнобедренном треугольнике О-НК-1 углы при точках НК и 1 равны . Касательная 1в-1-1б к точке 1 перпендикулярна к радиальной линии 0-1, откуда угол между ней и хордой 1-НК, а также между 1-1а и 1-1б равен 90°-()=.

Хорда в₂ (линия 1-2) аналогично первой хорде расположена под углом относительно касательной 1-1б к точке 1. Теперь дирекционный угол второй хорды отстоит от дирекционного угла первой хорды на сумму углов и равен

где б₁ вычисляют по формуле (6).

Распространив этот метод на последующие хорды, найдем обобщенную формулу нахождения дирекционных углов для всех хорд до конца кривой КК:

(7)

Тогда координаты точек кривой будут равны

(8)

где б_n вычисляют по формуле (7).

Расчеты, проведенные для круговой кривой с углом поворота 90° и радиусом 1000м по всем точкам от НК до КК, показали полную идентичность результатов по всем приведенным способам, включая предложенный.

Выводы

Сравнивая эти способы с предложенным, отметим достоинство последнего в том, что вычисления дуг одинаковой длины ведутся последовательно по единым исходным данным (например, длинам дуг, равным 100м между пикетами). К недостаткам отнесем возможность накопления погрешностей при последовательном вычислении координат от точки к точке. Данный способ можно использовать как контролирующий массовые вычисления в ходе проектных и полевых работ.

Список литературы

1. Левчук Г.П. и др. Прикладная геодезия. Геодезические работы при изысканиях и строительстве инженерных сооружений. - М.: Недра, 1983.

2. Муравлев А.В., Гойдышев Б.И. Инженерная геодезия. - М.: Недра, 1982.

3. Таблицы для разбивки кривых на железных дорогах. Власов Д.И., Логинов В.И. - М.: Транспорт, 1968.

Размещено на Allbest.ru