Системные функции сопротивления как основа математического моделирования режимов электрических цепей

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Системные функции сопротивления как основа математического моделирования режимов электрических цепей

Ахметбаев Д.С.

В теории электрической цепи широко применяется метод системных функций, сущность которого заключается в определении отношения вынужденной реакции цепи к возмущению [1]. Если принимать в качестве возмущения воздействия задающих токов и в качестве реакции электрической цепи на это возмущение узловые падения напряжения, то системные функции, характеризующие свойства цепи, будут иметь размерность сопротивления.

Аналитическая связь между задающими токами и узловыми падениями напряжения может быть найдена решением системы узловых уравнений

(1)

например, для n-го узла:

Где Д - главный определитель системы; Д_in - алгебраические дополнения элемента (i, n) определителя Д.

Введя обозначения

- уравнение запишем в виде:

(2)

где - частные системные функции сопротивления.

Уравнение (2) может быть записано в матричной форме:

(3)

которое полностью совпадает с обращенной формой уравнения узловых напряжений [2]. Следовательно, системные функции сопротивления, как частный случай системных функций, тождественно равны матрице узловых сопротивлений.

Матрицу узловых сопротивлений используют при исследовании различных режимов электрических сетей с целью обеспечения сходимости итерационных процессов. Поэтому одним из важных моментов при исследовании режимов сложных электрических сетей является определение узловых сопротивлений, т.е. системных функций сопротивления. Методы, основанные на обращении матрицы узловых проводимостей ветвей, для сложных схем оказываются малопригодным. Отсюда и множество исследований, направленных на разработку методов определения матриц узловых сопротивлений.

В настоящее время существует ряд принципиальных методов расчета узловых сопротивлений [2-7].

Выбор тех или иных методов расчета узловых сопротивлений зависит непосредственно от индивидуальной характеристики и конфигурации рассматриваемой схемы, так как они реализуются с различными трудностями по мере усложнения исследуемой цепи.

Исследования [4-7] показали целесообразность применения косвенных методов обращения с учетом некоторых особенностей матриц, метода наращивания схем, а также методов, основанных на принципах диакоптики.

Поэтому разработка нового метода расчета матрицы системных функций сопротивления на основе матрицы коэффициентов токораспределения имеет важное как теоретическое, так и практическое значение.

Преобразования уравнений состояния. Токи в ветвях схемы, при известной матрице коэффициентов распределения задающих токов, определяются матричным выражением [2]:

(4)

где - столбцевая матрица задающих токов; - прямоугольная матрица коэффициентов токораспределения; - матрица узловых сопротивлений.

Значения токов в ветвях схемы останутся неизменными, если умножить и разделить слева правую часть уравнения (4) на матрицу сопротивлений ветвей и записать в виде:

(5)

Тогда матричное уравнение (3) с учетом (5) может быть записано:

(6)

где - транспонированная матрица коэффициентов токораспределения; t - знак транспонирования матриц.

Полученное выражение (6) является решением узлового уравнения, которое по аналогии уравнения (3) позволяет записать матрицу системных функций сопротивления в виде:

(7)

Элементы матрицы (7) определяются на основе коэффициентов токораспределения без выполнения каких-либо операций, связанных с обращениями матриц.

Как видно из уравнения (6), при известных коэффициентах распределения узловых токов, для заданного возмущения, всегда можно найти однозначное соответствие реакции схемы исследуемой электрической цепи. Следовательно, при моделировании режимов электрических цепей достаточно найти коэффициенты распределения узловых токов. Для заданной схемы электрической цепи произвольной сложности определение коэффициентов токораспределения не представляет особых трудностей.

С целью демонстрации применения формулы (7) рассмотрим схему электрической цепи, изображенной на рисунке.

Рис. 1

Замкнутая электрическая цепь, для которой известна матрица коэффициентов токораспределения [8]:

где

Матрица системных функций сопротивления, определяемая выражением (7), в развернутой форме запишется:

(8)

Как видно из (8), в результате матричного произведения трех матриц получены расчетные выражения для элементов матрицы системных функций сопротивления рассматриваемой схемы. Эти же формулы могут быть получены путем обращения матрицы узловых проводимостей

которые показывают абсолютные совпадения полученных разными способами аналитических выражений.

Узловые падения напряжения, принятые в качестве реакций одноконтурной цепи, определяются в виде:

(9)

Полученные аналитические выражения подтверждают правильность выбранного подхода к анализу режимов линейных электрических цепей, так как каждая результирующая строка матрицы (9) соответствует реализации известного принципа наложения.

напряжение матрица сопротивление токораспределение

Выводы

1. Матрица системных функций сопротивления сложной схемы электрической цепи, как частный случай системных функций, совпадет с матрицей узловых сопротивлений.

2. Получено матричное уравнение для системных функций сопротивления, выраженное через матрицы коэффициентов распределения узловых токов.

3. Для разработки математической модели режимов заданной цепи произвольной сложности достаточно знать коэффициенты распределения узловых токов в схеме.

Список литературы

1. Толстов Ю.Г., Теврюков А.А. Теория линейных электрических цепей. М.: Высшая школа, 1976. 296 с.

2. Мельников Н.А. Матричный метод анализа электрических цепей. М.: Энергия, 1977. 232 с.

3. Хачатрян В.С. Метод расчета узловых сопротивлений сложных схем // Электричество. 1968. № 7. С. 6-11.

4. Хачатрян В.С. Метод расчета узловых сопротивлений при изменении схемы замещения // Известия АН СССР. Энергетика и транспорт. 1966. № 2. С. 71-76.

5. Гераскин О.Т. Пересчет узловых сопротивлений при изменении схемы замещения электрической сети // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. 1970. № 1. С. 162-166.

6. Гераскин О.Т. Выбор оптимальной формулы пересчета матрицы узловых сопротивлений при изменении схемы электрической сети // Изв. вузов СССР. Энергетика. 1971. № 9. С. 14-20.

7. Гераскин О.Т. Диакоптика и разреженность в задаче расчета установившихся режимов больших ЭЭС // Изв. вузов С. 7-12.

8. Ахметбаев Д.С. Математическое моделирование стационарных режимов электрических цепей // Вестн. ПГУ. Павлодар, 2004. № 2. C. 108-114.

Размещено на Allbest.ru