Задача исследования траектории шарика, подвешенного на резиновой нити

Размещено на http://www.allbest.ru/

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

1.1 Уравнение движения

1.2 Анализ уравнений движения

2. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

2.1 Численное решение системы уравнений

2.2 Построение графиков зависимостей

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

ПРИЛОЖЕНИЕ



ВВЕДЕНИЕ

Задача исследования траектории шарика, подвешенного на резиновой нити может показаться тривиальной на первый взгляд, однако уже при ближайшем рассмотрении можно увидеть, что не обойтись без системы дифференциальных уравнений высшего порядка, которые к тому же нельзя решить аналитически. Также данная задача, характеризующая довольно сложное движение, как правило не рассматривается в учебных целях, обычно все ограничивается либо математическим, либо пружинным маятником. Таким образом полученное решение можно будет применить для учебных целей или для проблем реального мира, где необходимо учитывать растяжение нити с массой на конце, что обеспечивает актуальность задачи.

Шарик, подвешенный на резиновой нити представляет собой физическую систему, в которой часть массы соединена с эластичной нитью, так что результирующее движение содержит элементы простого математического маятника, а также пружинного маятника. Однако система намного сложнее, чем математический маятник, так как свойства резины добавляют системе дополнительную степень свободы. Например, когда резина сжимается, более короткий радиус заставляет нить двигаться быстрее благодаря закону сохранения импульса.

Задачей ВКР является обеспечить составление математической модели и расчёт данной сложной физической системы. При этом будут применяться методы классической механики, а также численные методы для вычисления полученной системы.



ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Шарик подвешен на резиновой нити. Его перевели из положения равновесия в координаты без растяжения нити и отпустили. Получить уравнения движения и найти возможные траектории движения в плоскости . Решить уравнения численно и построить их решения на графиках в плоскости . Параметры задачи: масса шарика, длина и упругость нити.



1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

1.1 Уравнение движения

Для начала отразим схематически задачу

Рис. 1.1 Графическая иллюстрация задачи

Согласно рис. 1.1. можно легко составить уравнения движения, написав функцию Лагранжа исследуемой системы. В самом деле, из теоретической механики известно [1], что она представляет собой разность кинетической и потенциальной энергий

(1.1)

Кинетическую энергию согласно рис. 1.1 с учетом возможного растяжения нити можно представить в виде



(1.2)

где - мгновенная длина маятника, - масса груза, - угол отклонения.

Потенциальная энергия системы состоит из двух частей. Первая из них связана с силой тяжести, а вторая обязана растяжению резины в соответствие с законом Гука. Гравитационная энергия есть

(1.3)

а деформационная определяется как

(1.4)

где - постоянная жесткость нити, а - длина резиновой нити в положении равновесия.

В результате, подстановки выражений (1.2)-(1.4) в (1.1) получим следующее выражение для функции Лагранжа

(1.5)

Для составления уравнения Эйлера-Лагранжа следует вычислить все независимые частные производные по обобщенным координатам и , а также по их скоростям. В результате дифференцирования формулы (5), найдем



(1.6)

В соответствии с общими принципами составления уравнения Эйлера-Лагранжа [1, 2], имеем

(1.7)

Подставляя сюда (1.6) получаем

Или после сокращений

Вычисляя производную от произведения двух функций, находим



И после окончательного преобразования будем иметь

(1.8)

1.2 Анализ уравнений движения

математический траектория шарик механика

Для решения полученной системы уравнений (1.8) удобно перейти в ней к безразмерным переменным.

Этот шаг значительно облегчит исследование, и поможет провести общий анализ изучаемой системы. С этой целью введем безразмерную функцию

и частоту

в результате уравнения (1.8) примут вид

(1.9)

Если ввести теперь безразмерное время

,



и безразмерный параметр

Тогда система (1.9) будет такой

(1.10)

где «штрихи» в системе (1.10) означают дифференцирование по безразмерному времени .

Видно, что решение системы уравнений определяется единственным безразмерным параметром . Как видно из системы (1.10), полученные уравнения являются нелинейными, а потому для анализа ее решения в зависимости от параметра нам необходимо будет воспользоваться методами численного интегрирования.



2. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

2.1 Численное решение системы уравнений

Для решения поставленной задачи необходимо сформулировать задачу Коши, то есть задать начальные (или граничные) условия. Пусть, например, , , , . Тогда система уравнений (10) с учетом задачи Коши запишется следующим образом

(2.1)

Необходимо систему (2.1) решить численно при различных значениях параметрах и нарисовать графики , , , , в зависимости от параметра .

Для решения данной системы уравнений был использован программный пакет Maple - 17, включающий в себя множество различных численных методов. В нашем случае удобно воспользоваться методом Рунге-Кутта-Фельберга 4-5-ого порядка. Этот метод является более точным, чем классический метод Рунге-Кутта 4-го порядка [6]. У него есть процедура, определяющая используется ли правильный размер шага. Если два ответа отличаются меньше чем на определенную величину, приближение принимается. Если два ответа не согласуются с определенной точностью, размер шага уменьшается. Если ответы соответствуют более значительным цифрам, чем требуется, размер шага увеличивается.



2.2 Построение графиков зависимостей

Для разных значений параметра построим графики зависимостей , , , , . Для этого зададим нашу систему и начальные значения в программном пакете Maple. Есть возможность регулировать параметр , а также, при желании, начальные значения , , , .

После расчета системы дифференциальных уравнений, есть возможность построить графики, задав интервал безразмерного времени . В результате мы увидим, как изменяется движение шарика в зависимости от параметра . Для начала зададим ему значение равное единице.

Рис. 2.1 График зависимости при и



Рис. 2.2 График зависимости при и

Рис. 2.3 График зависимости , при и



Рис. 2.4 График зависимости , при и

Рис. 2.5 График зависимости , при и

Вспомним, что наш параметр , а Таким образом

Переменная , как известно, это ускорение свободного падения равное 9, 81 м/с². То есть основные изменяемые величины - это жесткость нити , длина нити в положении равновесия и масса шарика .

Таким образом, нетрудно заметить, что при данном соотношении величин равном единице получается довольно сложное движение, как видно из рис. 2.1 На рис. 2.2 можно увидеть зависимость угловой скорости от длины нити, а на рис. 2.3 - скорости шарика от угла. На рис. 2.4 и рис. 2.5 показаны фазовые плоскости резиновой нити и маятника соответственно.

Теперь, для контраста, предположим, что .

Рис. 2.6 График зависимости при и



Рис. 2.7 График зависимости при и

Рис. 2.8 График зависимости , при и



Рис. 2.9 График зависимости , при и

Рис. 2.10 График зависимости , при и

Сразу заметим большую частоту колебаний при малых отклонениях в пределах 0, 0014 по оси на рис. 2.6. То есть движение шарика будет приближенно напоминать математический маятник. Это полностью соответствует физической модели согласно нашему параметру , указывая на то, что либо жесткость резиновой нити очень большая, либо же масса шарика несоизмеримо мала.

Наконец, рассмотрим достаточно малое значение параметра

Рис. 2.11 График зависимости при и

Рис. 2.12 График зависимости при и



Рис. 2.13 График зависимости , при и

Рис. 2.14 График зависимости , при и



Рис. 2.15 График зависимости , при и

Обратим внимание на сильно увеличившийся параметр . Поскольку параметр , то сразу видно, что коэффициент должен быть очень мал по отношению к массе.

Рассмотрим еще несколько промежуточных параметров зависимости , чтобы оценить как изменяется движение шарика.

Рис. 2.16 График зависимости при и



Рис. 2.17 График зависимости при и

Рис. 2.18 График зависимости при и

Собственно, заметно, как сокращается амплитуда колебаний по оси , что и предполагалось нами ранее.

Также необходимо перейти к декартовым координатам, для того, чтобы построить траектории движения. Вспомним наш рис. 1.1, где обозначены оси и и запишем



Знак минус показывает, что ось направлена вниз. Значения и нам известны, они зависят от безразмерного времени . Таким образом, задав временной интервал, можно для разных параметров построить графики траектории. Поскольку мы уже сделали обзор некоторых зависимостей, рассмотрим траектории соответственно для , и .

Рис. 2.19 График траектории при и

Рис. 2.20 График траектории при и



Рис. 2.21 График траектории при и



ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В заключении квалификационной работы отметим, что удалось создать актуальную математическую модель по изучению движения шарика, подвешенного на резиновой нити. Важно, что получилось найденную систему дифференциальных уравнений привести к безразмерным величинам, что упростило расчеты и позволило придать анализу обобщенные свойства. Полученная система была решена численно с заданием начальных параметров в программном пакете Maple. С помощью расчетного файла можно исследовать различные зависимости на графиках и делать выводы относительно физического процесса в зависимости от изменяемых параметров. Также мы получили траектории движения в плоскости .

В итоге мы убедились, что исследуемое движение достаточно сложное, при этом мы все еще допускаем некие упрощения, не учитывая, например, массу нити. Можно было бы также добавить и третье измерение для более реалистичной физической модели.

Что касается практического применения данной работы - прежде всего она может использоваться для демонстрации в учебных целях, поскольку сложные системы рассматриваются редко. Также можно применять и для расчетов в реальной жизни: например, прыжки с тарзанкой.

Есть все возможности для дальнейшего исследования данной проблемы, нужно лишь применить более обширные знания из области теоретической физики, также возможно написание своего программного пакета с более широким спектром возможностей для данной конкретной задачи.



СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. С. О. Гладков Теоретическая и математическая физика. Сборник задач в 2 ч. Часть 1: учебное пособие для академического бакалавриата. - М.: Издательство Юрайт, 2017. - 241 с.

2. Д. В. Сивухин Общий курс физики. Том 1. Механика. - М.: ФИЗМАТЛИТ; Изд-во МФТИ, 2005. - 560 с.

3. Л. Д. Ландау, Е.М. Лифшиц Теоретическая физика. Том 1. Механика. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. - 216 с.

4. D. Morin Introduction to Classical Mechanics: With Problems and Solutions. - C.: Cambridge University Press, 2008. - 734 p.

5. Л. И. Седов. Методы подобия и размерности в механике. - М.: Наука, 1981. - 466 с.

6. J. H. Mathews, K. K. Fink Numerical Methods Using Matlab. - N-J.: Pearson, 2004. - 696 p.



ПРИЛОЖЕНИЯ

Расчетный файл.

restart:

with(plots):

with(DEtools):

a:= 1:

deq1:= u(s)*(diff(varphi(s), s, s))+2*(diff(u(s), s))*(diff(varphi(s), s))+sin(varphi(s)) = 0:

deq2:= diff(u(s), s, s)-u(s)*(diff(varphi(s), s))^2-cos(varphi(s))+a*(u(s)-1) = 0:

sol:= dsolve({deq1, deq2, u(0) = 1, varphi(0) = (1/4)*Pi, (D(u))(0) = 0, (D(varphi))(0) = 0}, {u(s), varphi(s)}, numeric):

odeplot(sol, [u(s)*sin(varphi(s)), -u(s)*cos(varphi(s))], s = 0.. 25, numpoints = 2000, labels = ["x", "y"], labelfont = ["ARIAL", 20], axesfont = ["ARIAL", 18])

odeplot(sol, [varphi(s), -u(s)], s = 0.. 25, numpoints = 2000, labels = ["ϕ", "u"], labelfont = ["ARIAL", 20], axesfont = ["ARIAL", 18])

odeplot(sol, [(D(varphi))(s), -u(s)], s = 0.. 25, numpoints = 2000, labels = ["ϕ'", "u"], labelfont = ["ARIAL", 20], axesfont = ["ARIAL", 18])

odeplot(sol, [varphi(s), (D(u))(s)], s = 0.. 25, numpoints = 2000, labels = ["ϕ", "u'"], labelfont = ["ARIAL", 20], axesfont = ["ARIAL", 18])

odeplot(sol, [u(s), (D(u))(s)], s = 0.. 25, numpoints = 2000, labels = ["u", "u'"], labelfont = ["ARIAL", 20], axesfont = ["ARIAL", 18])

odeplot(sol, [varphi(s), (D(varphi))(s)], s = 0.. 80, numpoints = 2000, labels = ["ϕ", "ϕ'"], labelfont = ["ARIAL", 20], axesfont = ["ARIAL", 18])

Размещено на Allbest.ru