Динамический конечный элемент

Размещено на http://www.allbest.ru

ДИНАМИЧЕСКИЙ КОНЕЧНЫЙ ЭЛЕМЕНТ

Е.С. Цуканова, Б.Г. Кеглин

Предложен конечный элемент для решения динамических задач, в котором используются базисные функции, представляющие собой точные колебательные формы элементов конструкции. В частности, для свободных колебаний стержневых конструкций проведено сопоставление решений при использовании динамического и классического конечных элементов.

Ключевые слова: метод конечных элементов, динамический конечный элемент, матрица жесткости, матрица инерции, стержень, растяжение, изгиб.

В последнее время наиболее распространенным методом исследования динамики систем с распределенными параметрами является метод конечных элементов (МКЭ), при использовании которого происходит дискретизация как жесткостных, так и инерционных параметров системы [1 - 3]. Согласно МКЭ, конструкция разбивается на элементы, связанные между собой в узлах. Каждый узел может иметь несколько степеней свободы. Перемещения узлов принимаются за обобщенные координаты системы. Перемещение любой точки u(z,t), лежащей внутри элемента, находится по перемещениям узлов g_i, с которыми связан этот элемент, т.е.

конечный элемент динамический задача колебательный

u(z,t) =,

где f_i(z) - аппроксимирующие функции формы (например, базисные, координатные), выбранные таким образом, чтобы перемещения точек изменялись непрерывно как внутри элемента, так и на границах соседних элементов.

Из изложенного можно сделать вывод, что, например, применительно к расчету свободных колебаний МКЭ представляет собой разновидность метода Рэлея-Ритца. Разница состоит лишь в том, что в методе Рэлея-Ритца координатные функции задаются едиными для всей системы, а в МКЭ внутри каждого элемента принимаются свои аппроксимирующие функции формы.

При использовании аппроксимирующих функций формы как в статических, так и в динамических задачах точное решение получить невозможно. Если в статических задачах можно уменьшить погрешности решения путем разбиения отдельных объектов системы на ряд конечных элементов, то в динамических задачах, в которых применяются те же аппроксимирующие функции, этот прием, как будет показано ниже, менее эффективен.

В настоящее время были предприняты попытки использования новых функций формы для решения задач динамики. Так, в работах В.И.Соболева [4; 5] предложен аналог МКЭ - метод гармонического элемента (ГаЭ), основанный на применении и развитии метода динамической податливости. Однако этот метод ориентирован только на расчет вынужденных колебаний. В работе [6] приведено описание нескольких алгоритмов построения гармонических базисных функций из специальных гильбертовых пространств. Для описания базисных функций предлагается метод коллокаций, а также алгоритм, основанный на возможности представления гармонических функций в виде разложения в ряд по фундаментальным решениям уравнения Лапласа.

Базисные функции, получаемые по указанным алгоритмам, обладают рядом преимуществ. Во-первых, нет необходимости введения внутренних узлов для аппроксимации высокого порядка, что позволяет существенно сократить число степеней свободы конструкции и уменьшить размеры матриц жесткости и инерции. Во-вторых, точность расчета возрастает, поскольку гармонические функции хорошо описывают реальные колебательные формы элементов.

Однако приведенные алгоритмы не в полной мере учитывают особенности динамического поведения элементов. Например, не учитывается, что в динамике функции формы элемента зависят от частоты колебаний.

При таком подходе компоненты матриц жесткости и инерции также зависят от частоты колебаний: при свободных колебаниях - от частоты собственных колебаний, при вынужденных - от частоты возмущения. Если в расчете используется точная функция формы, то и результаты расчета получаются точными, а погрешность в оценке, например, собственных частот зависит только от численных методов решения частотного уравнения.

Описанный конечный элемент будем называть динамическим конечным элементом (ДКЭ). Целью данной работы является построение динамических конечных элементов для простых видов деформации и простых объектов, а также сопоставление погрешностей расчетов этих объектов при свободных колебаниях с применением динамического и традиционного конечных элементов.

Построение динамических функций формы. Продольные колебания стержня постоянного сечения (рис. 1) описываются волновым уравнением:

,

амплитудная функция которого имеет вид

,

где k - собственная частота; а - скорость распространения волны; .

Коэффициенты определяют функции формы и , которые получаются из равенства единице узловых перемещений и :

;

;

;

.

Полученные функции формы можно выразить через безразмерный параметр :

; (1)

. (2)

Изгибные колебания стержня постоянного сечения (рис. 2) по технической теории описываются уравнением

,

амплитудная функция которого имеет вид

,

где - масса единицы длины стержня; .

Динамические функции формы определяются из восьми условий - равенства нулю и единице каждого из четырех узловых перемещений. Независимыми коэффициентами амплитудных функций можно считать коэффициенты формы f₁(z) и f₃(z), остальные функции f₂(z) и f₄(z) - зависимы от первых двух.

В результате получены следующие динамические функции формы:

;

,

где ; ; ; ; ; ; ; ; ; .

Общая деформация элемента

.

Формирование матрицы жесткости ДКЭ. Для стержня постоянного сечения, работающего на растяжение - сжатие, коэффициенты матрицы жесткости описываются известной формулой

. (3)

Матрица жесткости получается подстановкой в выражение (3) ранее полученных функций формы f₁(z) и f₂(z), т.е. выражений (1) и (2) соответственно:

.

Для стержня постоянного сечения, работающего на изгиб, коэффициенты матрицы жесткости описываются формулой

.

В данной статье матрица жесткости не приводится целиком из-за ее громоздкости. Ниже приведен лишь один из коэффициентов жесткости:

.

Формирование матрицы масс ДКЭ. Для стержня постоянного сечения, работающего на растяжение-сжатие или изгиб, коэффициент матрицы масс при отсутствии поступательного движения определяется формулой

. (4)

Матрица масс при продольных колебаниях получается подстановкой в выражение (4) функций формы f₁(z) и f₂(z), т.е. выражений (1) и (2) соответственно:

.

Для стержня постоянного сечения, работающего на изгиб, матрица масс не приводится из-за ее громоздкости. Ниже приведен один из коэффициентов матрицы масс ДКЭ в случае плоского изгиба:

.

При поступательном движении стержня коэффициенты матрицы масс определяются на основе кинетической энергии стержня Т по формуле

. (5)

Принципиальной особенностью матриц жесткости и масс динамического конечного элемента является зависимость их компонентов от частоты колебаний, т.е.

и .

Определение собственных частот. Для определения собственных частот и форм формируется общая динамическая матрица .

Так, для динамического конечного элемента при его растяжении-сжатии эта матрица имеет вид

.

Собственные частоты системы представляют собой решение частотного уравнения

.

традиционными численными методами. На основе собственных частот определяются и собственные формы для всех элементов системы. И если при использовании статических аппроксимирующих функций число определяемых частот и форм равно числу степеней свободы, то для ДКЭ число собственных частот и форм не ограничено.

Сопоставление точности расчета собственных частот при использовании МКЭ и ДКЭ проведено на примере одномерных конечных элементов, используемых для моделирования динамики прямолинейных стержней постоянного сечения.

На первом этапе сопоставления рассматривается прямой стержень (рис. 3), работающий на растяжение и изгиб. Для этого объекта известны аналитические решения. Решения, полученные с применением ДКЭ, полностью совпадают с аналитическими решениями.

При использовании МКЭ возможны различные приемы формирования матрицы масс [7], в результате которого получается согласованная (например, (4) и (5)) или диагональная матрица. Диагональная матрица применяется для упрощения расчетов, что приводит к снижению точности и увеличению числа конечных элементов в стержне. В табл. 1 представлены погрешности оценки первых пяти собственных частот в зависимости от числа конечных элементов в стержне. В числителе каждой ячейки приведены погрешности расчета при согласованной матрице масс, в знаменателе - при диагональной.

Таблица 1

Погрешности расчета (в %) по МКЭ собственных частот прямого стержня при продольных колебаниях в зависимости от числа конечных элементов

Из табл. 1 следует, что при расчете собственных частот продольных колебаний стержня по МКЭ при согласованной и диагональной матрицах масс получаются близкие по модулю, но противоположные по знаку погрешности. При этом согласованная матрица в большинстве случаев дает завышенные значения частот, а диагональная - заниженные. Достаточная точность расчета достигается при 5…30 элементах.

В случае расчета собственных частот изгибных колебаний стержня (табл. 2) достаточная точность достигается уже при пяти конечных элементах для согласованной матрицы масс и при двадцати элементах для диагональной. Дальнейшее разбиение стержня (начиная с 50 элементов и более) приводит к резкому скачку погрешностей расчета первых частот при любой матрице масс.

Далее рассматриваются стержневые системы различной степени сложности, для которых определяются собственные частоты по МКЭ с согласованной матрицей масс и с помощью ДКЭ, а также проводится их сопоставление.

На рис. 4 приведена расчетная схема ступенчатого стержня. При продольных и изгибных колебаниях значения собственных частот можно получить аналитическими методами.

В табл. 3 для частного случая (l₁ = l₂; F₂=4F₁) приведены точные (аналитические) значения , а также значения, полученные с помощью ДКЭ и МКЭ. Погрешности (в %) указаны в скобках.

Таблица 2

Погрешности расчета (в %) по МКЭ собственных частот прямого стержня при изгибных колебаниях в зависимости от числа конечных элементов

Таблица 3

Безразмерный параметр л₁ для двухступенчатого стержня при продольных колебаниях

В табл. 4 для частного случая (, ) приведены данные для двухступенчатого стержня при изгибных колебаниях. В данном случае в качестве безразмерного параметра л₁ принимается

.

Таблица 4

Безразмерный параметр л₁ для двухступенчатого стержня при изгибных колебаниях

Из табл. 3 и 4 следует, что динамический конечный элемент обеспечивает точные значения частот; традиционный конечный элемент с согласованной матрицей масс обеспечивает достаточную точность уже при трех конечных элементах на участке.

Далее рассматриваются более сложные объекты: плоская ферма, состоящая из семи одинаковых стержней, работающих на растяжение-сжатие (рис. 5 а), и двухстержневая плоская рама, стержни которой работают на изгиб (рис. 5 б).

а) б)

Рис. 5. Расчетные схемы: а - плоская ферма; б - рама

В табл. 5 и 6 приведены результаты расчета собственных частот плоской фермы при использовании ДКЭ и МКЭ с согласованной матрицей масс. Для значений, полученных по МКЭ, в скобках приведены погрешности (в %) относительно значений, полученных с помощью ДКЭ.

В качестве безразмерного параметра л для плоской фермы принимается

,

для плоской рамы -

.

Таблица 5

Безразмерный параметр л для плоской фермы

Таблица 6

Безразмерный параметр л для плоской рамы

Как видно из табл. 5 и 6, с усложнением стержневой системы погрешности при использовании МКЭ с согласованной матрицей масс значительно возрастают. При использовании диагональной матрицы масс погрешности возрастают еще более.

Увеличение числа конечных элементов при разбиении стержня влияет на погрешности решений, однако, как показано в статье, однозначные рекомендации по разбиению стержней в различных системах затруднительны.

В целом очевидно, что использование в качестве реальных базисных функций точных динамических решений, описывающих форму объекта при колебаниях, обеспечивает высокую точность оценки собственных частот и форм системы, но следует признать некоторую усложненность матриц жесткости и масс. Значительной эффективности динамического конечного элемента можно ожидать при построении амплитудно-фазовых характеристик объекта и при общих расчетах вынужденных колебаний.

Список литературы

1. Зенкевич, О. Метод конечных элементов в технике / О. Зенкевич. - М., 1975.

2. Постнов, В.А. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций / В.А. Постнов, И.Я. Хархурим. - Л., 1974.

3. Бидерман, В.Л. Теория механических колебаний / В.Л. Бидерман. - М.: Высш. шк., 1980. - 408 с.

4. Соболев, В.И. Дискретно-континуальные динамические системы и виброизоляция промышленных грохотов / В.И. Соболев. - Иркутск: ИрГТУ, 2002. - 202 с.

5. Соболев, В.И. Построение прямоугольного гармонического элемента для моделирования колебаний плоской пластины / В.И. Соболев, Т.Н. Черниговская // Современные технологии. Моделирование. - 2007. - № 4(16). - С. 28-32.

6. Юлдашев, О.И. Конечноэлементные векторные узловые базисные функции из специальных гильбертовых пространств / О.И. Юлдашев, М.Б. Юлдашева. - 2009.

7. Образцов, И.Ф. Метод конечных элементов в задачах строительной механики летательных аппаратов / И.Ф. Образцов, Л.М. Савельев, Х.С. Хазанов. - М.: Высш. шк., 1985. - 392 с.

Размещено на Allbest.ru