Свободные колебания балки с закрепленными концами

Размещено на http://www.allbest.ru/

УДК 517.956.35

СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ БАЛКИ С ЗАКРЕПЛЕННЫМИ КОНЦАМИ

И.А. Рудаков

Приведены условия существования нетривиального периодического по времени решения для квазилинейного уравнения поперечных колебаний балки с закрепленными концами в случае, когда нелинейное слагаемое удовлетворяет условию нерезонансности на бесконечности.

Ключевые слова: колебания балки, периодические решения, вариационный метод, критические точки, метод перевала.

Рассматривается задача

; (1)

, . (2)

. (3)

Здесь есть -периодическая по функция, удовлетворяющая условию

(4)

Период времени удовлетворяет условию

. (5)

Уравнения (1)-(3) описывают периодические по времени поперечные колебания упругого стержня или балки, закрепленных на обоих концах

Из условия (4) следует, что задача (1)-(3) имеет тривиальное решение , соответствующее положению равновесия.

Рассматривается задача о существовании периодических по времени свободных (при отсутствии внешней силы) колебаний, т. е. нетривиального решения системы (1)-(3).

Задача о периодических колебаниях балки со свободно опертыми концами исследовалась в работах [1-3]. В [4] доказано существование вынужденных колебаний балки с однородными граничными условиями. Целью данной работы является доказательство существования свободных периодических колебаний балки с закрепленными концами.

1. Свойства дифференциального оператора. Рассмотрим задачу Штурма- Лиувилля:

, (6)

. (7)

В работе [4] доказано, что собственные значения задачи (6),(7) можно представить в виде

, . (8)

Здесь и удовлетворяет неравенствам

, (9)

где . Соответствующая система собственных функций имеет вид

где . Если нормировать соотношением , то выполняются следующие оценки:

,

не зависит от , , где при .

Обозначим , R/(TZ), , и рассмотрим полную ортонормированную в систему функций

. (10)

Норму и скалярное произведение в обозначим || || и соответственно. Введем оператор с областью определения

,

действующий по правилу

для всех

.

Обозначим соответственно ядро и образ . Оператор является самосопряженным, система функций (10) является системой собственных функций оператора с собственными значениями . Все собственные значения имеют конечную кратность. В работе [4] доказана конечномерность ядра и следующие свойства оператора .

Лемма 1. Пусть выполнено условие (5) и не кратно 4. Тогда для любой функции имеет место включение



и существует классическая производная .

Лемма 2. Пусть выполнено условие (5) и не кратно 4. Тогда для любой функции и имеют место включения и классические производные .

Для совершения предельного перехода нам потребуется также следующая лемма.

Лемма 3. Оператор является вполне непрерывным.

Доказательство. Пусть M есть ограниченное множество в R (A):

.

В [4] доказана оценка с константой , не зависящей от . Таким образом, множество ограничено в . Докажем, что функции из равностепенно непрерывны. В [4] доказано, что , где есть константа, не зависящая от . Возьмем и оценим

.

Аналогично . Здесь есть положительная константа. Сходимость рядов доказывается стандартно. Из оценок разностей I, L вытекает равностепенная непрерывность семейства Из теоремы Арцела вытекает утверждение леммы. Лемма доказана.

2. Квазилинейное уравнение. Обозначим

.

Множество не имеет конечных предельных точек, если не делится на 4.

Функция удовлетворяет следующим условиям. Существуют действительные константы , такие, что и

; (11)

. (12)

Обозначим .

Определение. Обобщенным решением задачи (1)-(3) называется функция , такая, что .

Теорема. Предположим выполнено условие (5) и не делится на 4. Пусть функция является -периодической по , принадлежит и удовлетворяет условиям (4),(11),(12) с константами , такими, что и

?, ?, ? . (13)

Пусть также

(14)

?. (15)

Тогда задача (1)-(3) имеет обобщенное решение тождественно не равное нулю.

Доказательство. Будем пользоваться методом работы [5]. Функция является обобщенным решением задачи (1), (2), (4) тогда и только тогда, когда

. (16)

Решение уравнения (16) будем искать как критическую точку функционала

, где .

Функционал определен на .

Занумеруем числа из в порядке неубывания



так, что . Обозначим через линейную оболочку всех собственных векторов оператора A с собственными значениями . Заметим, что , поскольку собственные значения оператора A имеют конечную кратность.

Разобьем доказательство теоремы на две части:

I. Доказательство существования нетривиальной критической точки F на .

II. Предельный переход при .

Часть I. Для доказательства существования нетривиальной критической точки функционала F на E_n воспользуемся леммой перевала из работы [6, с.283].

Лемма 4. Пусть и удовлетворяет условию Пале-Смейла, т. е. из любой последовательности , такой, что и , можно выбрать сходящуюся подпоследовательность. Пусть далее существуют непрерывные, взаимно однозначные отображения

(здесь и ), такие, что множества и не пересекаются и

Ш

для любого непрерывного продолжения h отображения вовнутрь единичного шара (поверхности и , удовлетворяющие этим условиям, будем называть зацепляющимися). Предположим, что

Тогда

является критическим значением F. Здесь h представляет любое непрерывное продолжение отображения вовнутрь единичного шара и inf берется по всем таким h.

Из (11)-(15) следует существование чисел , таких, что

. (17)

Возьмем достаточно большое n и обозначим через подпространство, натянутое на собственные векторы оператора A с собственными значениями , а через - подпространство, натянутое на все собственные векторы оператора A с собственными значениями

Из (12), (17) следует неравенство Так как , то существует константа , такая, что Обозначим Учитывая, что есть наибольшее собственное значение оператора A на , получим:

 (18)

Заметим, что , поскольку . Из (14),(17) следует, что Поэтому

(19)

Пусть e есть какой-нибудь собственный вектор оператора A, отвечающий собственному значению . Из (11) и (17) легко вывести существование констант и , таких, что

.

Следовательно, существует достаточно большая константа , такая, что

(20)

Здесь и в дальнейшем константы будем обозначать и т. д. Обозначим

Очевидно, что и гомеоморфны единичным сферам в пространствах и . Выберем константу , такую, что . Стандартно доказывается [7], что поверхности и являются зацепляющимися. Обозначим . Из неравенств (18)-(20) получим

Докажем, что на удовлетворяет условию Пале-Смейла. Для этого предположим, что

для некоторой последовательности Тогда

(21)

где Из соотношений (11),(13),(17) следует существование констант

, (22)

таких, что

(23)

(24)

С учетом (23) равенство (21) можно переписать следующим образом:

 (25)

где Положив в равенстве (25) , получим

Следовательно,

(26)

Теперь положим в равенстве (25) . Используя (22)-(24), (26) и то, что есть наибольшее отрицательное собственное значение оператора получим

Отсюда и из неравенства (26) следует, что где не зависит от Из этой оценки с учетом конечномерности вытекает выполнение условия Пале-Смейла. Условия леммы 4 выполнены. Из нее следует существование критической точки функционала на , такой, что т. е.

(27)

Заметим, что зависит от и при

Часть II. Для выполнено уравнение Эйлера:

. (28)

Положив в (28) , получим

Следовательно,

(29)

Положим в (28) . Из (22)-(24), (29) выведем

Отсюда и из (29) выведем , где не зависит от . Так как , то из последнего неравенства выведем

(30)

Константы и не зависят от . Любую функцию можно представить в виде суммы , где .

Пусть , где . Из (30), леммы 3 и конечномерности следует, что из последовательностей можно выбрать равномерно сходящиеся подпоследовательности. Чтобы не вводить новые индексы, будем считать, что равномерно в и слабо в .

Обозначим . Из леммы 3 следует, что сильно в . Следовательно, и . Из равномерной сходимости , (23), (24) и теоремы Лебега следует, что

слабо в .

Переходя в (28) к пределу при , получаем равенство

из которого следует (16).

Следовательно, есть обобщенное решение задачи (1),(2),(4).

Докажем, что есть нетривиальное решение.

Предположим, что .

Тогда равномерно и из (12), (17) следует, что для достаточно малого найдется номер , такой, что в точках, где , имеет место неравенство

(31)

Обозначим и перепишем (28) следующим образом:

Положив в этом равенстве , получим

(32)

Легко видеть, что есть наименьшее по модулю собственное значение оператора . Поэтому

(33)

С другой стороны, из (31) следует, что

Отсюда и из оценок (32), (33) следует, что при . Это противоречит неравенству (27). Следовательно, Включение следует из лемм 1, 2. Теорема доказана.

Замечание 1. Утверждение теоремы останется в силе, если условия (13),(14),(15) заменить соответственно на следующие условия:

?, ?, ? . (34)

?.

При этом доказательство изменится незначительно.

Замечание 2. Из условий (11),(12),(13), или (11),(12),(34) следует, следует, что при всех график функции пересекает при хотя бы одну прямую вида , где . В следующем утверждении показано, что если это требование не выполняется, то задача (1)-(3) может не иметь нетривиального решения.

Утверждение 1. Предположим, что функция непрерывна, при всех и существуют , такие, что

. (35)

Тогда задача (1)-(3) не имеет нетривиального обобщенного решения.

Доказательство утверждения. Предположим противное, и пусть есть нетривиальное обобщенное решение задачи (1)-(3), не равное 0 на множестве . Обозначим и . Из (35) следует, что

(36)

Так как функция является обобщенным решением задачи (1), (2), (4), то

.

Умножим это равенство скалярно в на :

Воспользовавшись (36) и тем, что число есть наибольшее отрицательное собственное значение оператора , получим

Противоречие. Утверждение доказано.

3. Зависимость решения от времени. Заметим, что если нелинейное слагаемое не зависит от времени, то выполнение условий теоремы не гарантирует того, что полученное в ней нетривиальное решение зависит от времени, поскольку мы могли получить решение стационарной задачи, т. е. дифференциального уравнения . Приведем достаточные условия на , обеспечивающие непостоянство решения от времени.

Утверждение 2. Пусть в уравнении (1) имеем , где функция непрерывна на , и

. (37)

Если функция удовлетворяет также условиям теоремы, то нетривиальное обобщенное решение задачи (1)-(3) зависит от t.

Доказательство. Предположим, что не зависит от t, удовлетворяет уравнению

(38)

и Тогда

,

поскольку из (8), (9) следует оценка . Умножив (38) скалярно в на , получим

Из (37) вытекает при . Следовательно, Противоречие. Утверждение доказано.

Заметим, что из доказательства вытекает, что утверждение останется в силе, если условие (37) заменить на неравенство , в котором константа немного больше чем .

Приведем еще одно достаточное условие зависимости решения от времени.

Утверждение 3. Пусть непрерывна на и существуют числа , такие, что

Если функция удовлетворяет также условиям теоремы, то нетривиальное обобщенное решение задачи (1)-(3) зависит от .

Доказательство. Предположим противное, и пусть есть нетривиальное решение уравнения (38). Числа суть соседние собственные значения оператора на подпространстве функций, не зависящих от . Поэтому точно так же, как в утверждении 1, доказывается, что уравнение (38) не имеет нетривиального решения. Противоречие. Утверждение доказано.

В доказанных утверждениях и теореме приведены условия существования свободных периодических по времени колебаний упругого стержня или балки с закрепленными концами.

колебание периодический дифференциальный нерезонантность

Список литературы

1. Feireisl, E. Time periodic solutions to a semilinear beam equation/ E.Feireisl // Non. An.- 1998.-V. 12.-P. 279-290.

2. Chang,K. C. Nontrivial periodic solution of a nonlinear beam equation/K.C.Chang, L.Sanchez//Math. Meh. in the Appl. Sci. -1982.-V. 4.-P. 194205.

3. Рудаков,И.А. Нелинейные уравнения, удовлетворяющие условию нерезонансности/ И.А.Рудаков//Труды семинара имени И.Г.Петровского (МГУ им. М.В.Ломоносова). - 2006.- Вып. 25. - С. 226-243.

4. Рудаков,И.А. Периодические решения квазилинейного уравнения колебаний балки с однородными граничными условиями/И.А.Рудаков// Дифференциальные уравнения.- 2012. - Т. 48.- № 6.-С. 814-825.

5. Рудаков,И.А. Задача о свободных периодических колебаниях струны с немонотонной нелинейностью/И.А.Рудаков // УМН. -1985. -Т. 40.- Вып. 1(241). -С. 215-216.

6. Nirenberg, L. Variational and topological methods in nonlinear problems/ L.Nirenberg //Bull. Amer. Math. Soc.(N.S.). -1981. -V. 4. - № 3. P. 267-302.

7. Красносельский, М.А. Геометрические методы нелинейного анализа/ М.А.Красносельский, П.П.Забрейко. М.: Наука, 1975.

Размещено на Allbest.ru