Аналогия уравнений механики и электричества

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Аналогия уравнений механики и электричества

М.Л. Потапов, Л.А. Потапов

Аннотация

С целью совершенствования обучения сопоставлены уравнения механики и электричества.

Ключевые слова: аналогия, механика, электричество, поле, заряд, масса.

Процесс обучения значительно упрощается, если используются аналогии. Освоив одно понятие, легче запомнить и глубже понять другое, аналогичное первому. Аналогии широко используются и в инженерной практике.

При описании процессов, протекающих в различных физических средах, часто используются одинаковые по форме алгебраические и дифференциальные уравнения. Это свидетельствует об аналогии процессов и позволяет выявить аналогичные друг другу величины. Установленные аналогии дают возможность моделировать одни явления с помощью других. Так, достаточно известный метод электрогидродинамической аналогии позволяет экспериментальное исследование сложных фильтрационных течений заменить изучением соответствующих электрических полей. В этом методе аналогом установившейся фильтрации жидкости выступает постоянный электрический ток.

Также весьма популярным, распространенным инструментом для расчета и моделирования динамических систем является метод электромеханической аналогии. В этом методе используется аналогия уравнений динамики механических систем и электрических цепей, а аналогами массы, податливости (жесткости подвески) и трения выступают индуктивность, емкость и сопротивление электрической цепи. При этом аналогом силы, вынуждающей механические колебания, выступает электрическое напряжение. Использование в данном методе формальной аналогии величин ограничивает область его применения. Например, для силы Кориолиса, встречающейся в механических системах, в этом методе нет аналога. Более перспективна и полезна при освоении понятий электромагнетизма аналогия массы и электрического заряда.

В Х1Х веке среди многих ученых существовало представление об электромагнитных явлениях как о вихревых движениях жидкости. Даже известные уравнения Максвелла, на которых базируется современная классическая электродинамика, получены на основе представлений Гельмгольца о вихревых движениях идеальной жидкости, под которой понимали мировую среду (эфир), заполняющую пространство. Многочисленными опытами доказано отсутствие такой среды. Однако аналогия уравнений механики и электричества может быть использована. Многие уравнения электромагнетизма можно получить из уравнений механики, заменив в них плотность вещества с_м (или массу m) на плотность заряда с_э (или заряд q). Возможен и обратный переход - от уравнений электромагнетизма к уравнениям механики или гидроаэродинамики.

Аналогия уравнений механики и электричества особенно ярко прослеживается для статических и стационарных полей.

Потенциальные поля - гравитационное и электростатическое - имеют похожие уравнения, в которых даже размерности соответствующих величин совпадают, если для электрических величин Е, ц вместо единицы количества электричества (кулон) подставить единицу количества массы (кг). Так, известному закону всемирного тяготения соответствует закон Кулона , и, следовательно, аналогом массы m является заряд q. Плотности вещества или жидкости с_г соответствует объемная плотность заряда с. Гравитационное поле характеризуется напряженностью и потенциалом ц_г в соответствии с уравнением , а электрическое - напряженностью и электрическим потенциалом ц в соответствии с аналогичным уравнением . Напряженность гравитационного поля обычно называют ускорением земного притяжения, смешивая при этом понятия статики и динамики. Поскольку различий между гравитационной и инерционной массами не обнаружено (по крайней мере, в условиях Земли), то приходится в уравнениях движения на равных правах суммировать ускорения тел с напряженностью гравитационного поля Земли.

Просматривается аналогия и в других уравнениях статических полей. Потенциальной энергии в гравитационном поле соответствует энергия заряженного тела W = qц. Уравнению Пуассона в механике соответствует аналогичное уравнение электростатики . Уравнениям Гаусса для электростатики и можно сопоставить уравнения в гравитации и и аналогично вектору электрической индукции ввести вектор индукции гравитационного поля .

В стационарных полях уравнению неразрывности жидкости соответствует закон сохранения заряда , а уравнению движения неразрывной жидкости - уравнение , где ускорению соответствует напряженность электрического поля постоянных токов E, а напряженности гравитационного поля - градиент потенциала электрического поля - gradц. Роль сторонней напряженности электрического поля Е_стор, обусловливающей возникновение постоянного тока, выполняет в гидравлике градиент давления .

В гидроаэродинамике [1] вводят понятие циркуляции скорости вдоль замкнутого контура , а также понятия «вихревая нить» и «интенсивность вихря». В электродинамике используются аналогичные формулы, определяющие магнитную индукцию и магнитный поток . Во многих работах [2] показано, что аналогом силы Кориолиса в механике в электродинамике является сила Лоренца , а аналогом угловой скорости - магнитная индукция . Соответственно аналогом скорости является векторный магнитный потенциал.

Сравнивая движение несжимаемой жидкости в цилиндрической трубе с постоянным током в цилиндрическом проводнике, можно увидеть следующую аналогию.

Из уравнений Навье-Стокса [3, с. 338] следует или, в цилиндрической системе координат, .

Распределение скоростей жидкости по сечению трубы обычно определяют по формуле

, (1)

где R - радиус трубы; з - динамическая вязкость жидкости; Др - падение давления на участке трубы длиной l.

Для цилиндрического проводника радиусом R c током i из уравнения Максвелла следует . Полагая divA = 0 и считая, что имеется только одна проекция векторного магнитного потенциала A_z, получим в цилиндрической системе координат .

Тогда , или Принимаем C =0, так как при r = 0 получаем бесконечно большую производную dA/dr.

Решение последнего уравнения имеет вид . Принимая условие А = 0 при r =R , находим . В итоге

,

где - плотность тока; U = El - падение напряжения на длине проводника l; с = 1/г - удельное сопротивление материала проводника. Учитывая это, запишем последнее уравнение в виде, похожем на уравнение (1):

. (2)

Сравнивая уравнения (1) и (2), видим аналогию распределения скоростей жидкости в трубе и векторного магнитного потенциала в проводнике с постоянным током.

В электродинамике известен эффект сжатия (пинч-эффект), наблюдаемый, например, в цилиндрическом столбе электрической дуги, когда на каждый элемент тока действует радиальная сила , обусловленная магнитным полем, созданным этим током. Используя аналогии индукции и угловой скорости , а также плотности электрического тока и плотности потока жидкости , можно прогнозировать в протекающей по трубе жидкости (или газе) возникновение сжимающей силы, направленной по радиусу.

Аналогии можно продолжить и дальше. При этом может оказаться, что некоторым величинам, используемым в механике, соответствуют аналогичные величины в электродинамике, но они не имеют названия (и наоборот). Например, уравнению Максвелла в электродинамике соответствует в механике уравнение . Величина имеет название - угловое ускорение, а величина используется без специального названия.

В табл. 1 - 2 сопоставлены некоторые наиболее употребительные величины и зависимости. При этом хорошо просматривается совпадение размерностей у аналогичных величин (размерности электрических величин можно получить из размерностей соответствующих механических величин, умножив их на один и тот же коэффициент кг/к).

Таблица 1 Статические поля

Таблица 2 Динамика

Очень интересные аналогии и далеко идущие выводы, иллюстрирующие суть и происхождение основных величин электромагнетизма, можно получить, если в уравнения движения электрических зарядов ввести массу электростатического поля m_э в соответствии с известным уравнением

W=m_эc,

где с - скорость света, W - энергия поля.

Рассмотрим систему двух зарядов, Q и q, находящихся в некоторой системе отсчета (рисунок) на расстоянии R друг от друга. Если они в этой системе отсчета неподвижны (их положение не изменяется друг относительно друга), то созданное ими электростатическое поле имеет потенциальную энергию взаимодействия и массу поля

m_э .

Если эти заряды будут двигаться, то для определения скоростей и ускорений можно воспользоваться известными формулами механики [3]. Совместим положение заряда Q с началом координат неподвижной системы отсчета. В некоторой подвижной системе отсчета поместим заряд q (точка М на рисунке) и определим его скорости и ускорения [3].

Рис. 1 Заряд q в точке М подвижной системы координат (x'y'z')

Абсолютная скорость заряда q получится как сумма относительной скорости заряда в подвижной системе отсчета v_r и переносной скорости v_e этой подвижной системы отсчета:

.

Абсолютное ускорение в общем случае будет представлять собой сумму относительного, переносного и кориолисова (поворотного) ускорений:

При некоторых типах движений отдельные слагаемые в последнем уравнении могут отсутствовать. Например, при равномерном вращении подвижной системы отсчета (щ=const) угловое ускорение станет равным нулю (е = 0), т.е. третье слагаемое в этом уравнении будет отсутствовать.

Для определения динамической силы, действующей на заряд q, умножим его ускорение на массу m_э:

.

Для определения результирующей силы, действующей на заряды, необходимо получившуюся динамическую силу (обусловленную относительным движением заряда q) просуммировать с кулоновской (обусловленной взаимодействием двух заряженных тел). Учитывая то, что кулоновская сила в общем случае определяется через градиент потенциала , запишем итоговое уравнение для силы, действующей на заряд q (движущийся относительно заряда Q):

.

В электродинамике сила, действующая на заряд, определяется через напряженность электрического поля:

.

Сравнивая два последних уравнения, можно сделать ряд выводов. Сначала можно увидеть, что магнитная индукция определяется уравнением

, (3)

т.е. не только аналогична угловой скорости, но и количественно определяется через нее.

Далее, векторный магнитный потенциал определяется абсолютной скоростью заряда q:

. (4)

Уравнения (3) и (4) позволяют увидеть более глубокую связь магнитной индукции и векторного потенциала:

Затем можно увидеть, что напряженность электрического поля включает в себя не три, а четыре слагаемых, т.е. одно из слагаемых, по-видимому, проявляется не всегда, а только при определенных условиях. При неизмененном значении щ это слагаемое можно представить в виде градиента квадрата линейной скорости:

.

Объединяя это слагаемое с аналогичным, определяющим кулоновскую составляющую силы, находим , т. е. её нужно учитывать при скоростях, сопоставимых со скоростью света. Учитывая, что , можно считать, что недостающее слагаемое в уравнении электродинамики учитывается при высоких скоростях с помощью релятивистской поправки.

Подобным образом, взяв операцию rot от уравнения (1), можно получить уравнение механики, аналогичное уравнению Максвелла:

Из сравнения полученных уравнений можно сделать еще один важный вывод: напряженность электрического поля и магнитная индукция обусловлены относительными скоростями и ускорениями зарядов. Так же как при движении инерционных масс при наличии ускорения и угловой скорости возникают инерционные силы (например, сила Кориолиса), так и при относительном движении электрических зарядов создается напряженность электрического поля и магнитная индукция и возникают силы взаимодействия между зарядами (например, соответствующая силе Кориолиса сила Лоренца).

Установленные аналогии позволяют легче понять, представить и запомнить порой довольно сложные уравнения в новой изучаемой области явлений. Использование аналогий позволяет также сформулировать некоторые зависимости, отсутствующие в смежных областях. Так, используя известные в электродинамике уравнения Максвелла и Гельмгольца, можно попробовать установить аналогичные зависимости в гидроаэродинамике и т.д.

электричество скорость магнитный индукция

Список литературы

1. Самойлович Г.С. Гидрогазодинамика / Г.С. Самойлович. -М.: Машиностроение, 1990. - 384с.

2. Бабецкий В.И. О гравитационном аналоге явления электромагнитной индукции / В.И. Бабецкий// Изв. вузов. Физика. - 1978. - № 10. - С.16-20.

3. Яворский Б.М. Справочник по физике/ Б.М. Яворский, А.А. Детлаф. - М.: Наука, 1977. - С.28 - 29.

Размещено на Allbest.ru