Проявления неустойчивости Кельвина–Гельмгольца в атмосфере Солнца, солнечном ветре и магнитосфере Земли

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

УДК 550.383, 523.98

Проявления неустойчивости Кельвина-Гельмгольца в атмосфере солнца, солнечном ветре и магнитосфере земли

В.В. Мишин, В.М. Томозов

Светлой памяти Н.П. Коржова посвящается

Аннотация

неустойчивость гельмгольц солнечный магнитосфера

Изложены современные представления о природе неустойчивости Кельвина-Гельмгольца (КГ) и ее проявлениях в плазме солнечной короны, межпланетной среды и на границе магнитосферы Земли. Коротко изложены основные результаты теории неустойчивости КГ, полученные в линейном приближении. При анализе данных наблюдений, подтверждающих возникновение неустойчивости КГ в различных магнитных образованиях солнечной корональной плазмы, используются классические результаты, полученные в приближении несжимаемости. То же приближение используется для описания неустойчивости на дневной границе магнитосферы. Особое внимание уделено влиянию сжимаемости при анализе неустойчивости сверхзвуковых сдвиговых течений в солнечном ветре (СВ) и на границе геомагнитного хвоста. Известно, что на сверхзвуковых сдвиговых течениях продольные относительно направления скорости возмущения устойчивы в приближении тангенциального разрыва [Ландау, 1944]. Поэтому в большинстве работ, учитывающих только продольные возмущения, принято считать сверхзвуковые сдвиговые течения устойчивыми. В настоящей работе учтены косые - наклонные относительно вектора скорости - возмущения и показана их определяющая роль в неустойчивости сверхзвуковых сдвиговых течений. Их фазовая скорость существенно меньше скорости течения, а величина инкремента и ширина области частот значительно больше, чем у продольных возмущений. Подчеркнуто, что магнитное поле и неоднородность плотности плазмы, которые уменьшают инкремент неустойчивости дозвуковых сдвиговых течений, в случае сверхзвукового перепада скорости уменьшают стабилизирующее влияние сжимаемости среды и могут значительно усилить неустойчивость. Эффективная раскачка косых возмущений сверхзвуковой неустойчивостью KГ объясняет присутствие магнитозвуковых волн и формирование размытых сдвиговых течений в СВ и пограничных слоев дальнего геомагнитного хвоста, а также перенос энергии и импульса из СВ в магнитосферу.

Annotation

We present the modern views on the nature of the Kelvin-Helmholtz (KH) instability and its manifestations in plasma of the solar corona, interplanetary medium and at the boundary of the geomagnetosphere. We briefly describe the main theoretical results of KH instability obtained in the linear approximation. When analyzing the observational data that confirm the occurrence of the KH instability in various magnetic formations of the solar coronal plasma, we use the classical results obtained in the incompressibility approximation. The same approach is used to describe the instability on the daytime magnetosphere boundary. Special attention is paid to the effect of compressibility when analyzing the instability of supersonic shear flows in the solar wind (SW) and on the geomagnetic tail boundary. At supersonic shear flows, disturbances with the wave vector parallel to flow velocity vector are known to be stable in the tangential discontinuity approximation [Landau, 1944]. Therefore, supersonic shear flows are considered to be stable in most studies that take only parallel disturbances into account. Our study takes into consideration the oblique disturbances inclined relative to the velocity vector and shows their crucial role in the instability of supersonic shear flows. The phase velocity of oblique disturbances is shown to be substantially less than the flow velocity, and values of the increment and frequency range are considerably greater than those of longitudinal disturbances. We emphasize that the magnetic field and plasma density inhomogeneity, which reduce the KH instability of subsonic shear flows, also reduce the stabilizing effect of compressibility of the medium and can significantly reduce the increment in the case of supersonic velocity difference. Effective excitation of oblique disturbances by the supersonic KH instability explains the existence of magnetosonic waves and the formation of diffuse shear flows in SW and on the boundary of the distant magnetotail, as well as the SW-magnetosphere energy and impulse transfer.

Неустойчивость Кельвина-Гельмгольца (КГ) возникает на тангенциальном разрыве (ТР) - границе раздела, где происходит резкое изменение скорости течения жидкости, плотности, температуры и магнитного поля. Она была описана Гельмгольцем (1868 г.) и Кельвином (1871 г.) почти полтора столетия назад. Неустойчивость КГ часто встречается в природных условиях и наблюдается в газах, жидкостях и плазме. Классический пример - ветровая неустойчивость на поверхности воды. Случайные поверхностные возмущения усиливаются вследствие эффекта Бернулли. Так, над случайным выпуклым возмущением поверхности образуется сгущение линий тока, т. е. увеличение скорости, которое вследствие закона сохранения Бернулли приводит к гидродинамическому разрежению - уменьшению гидростатического давления, что вызывает рост амплитуды первоначального поверхностного возмущения. Скорость ветра должна быть достаточной для преодоления силы поверхностного натяжения жидкости. В природе чаще реализуются дозвуковые перепады скорости, развитие неустойчивости на которых приводит к образованию цепочек вихреобразных структур, наблюдаемых в формах облаков в земной атмосфере и в зонах облачных структур в атмосферах Юпитера и Сатурна - планет-гигантов с сильным дифференциальным вращением. Поэтому такие вихревые структуры обычно интерпретируют как признаки КГ-неустойчивости. Вихревые образования, связанные с развитием неустойчивости КГ, наблюдаются и в земных полярных сияниях, и в магнитосфере Земли. Были получены убедительные свидетельства того, что эта неустойчивость может играть важную роль в переносе энергии солнечного ветра в земную магнитосферу. Недавно появились данные наблюдений на спутниках Hinode/SOT и SDO/AIA, указывающие на развитие неустойчивости КГ в плазме протуберанцев и в других образованиях солнечной короны [Ryutova et al., 2010]. В сдвиговых течениях в СВ и на границе магнитосферы плазма бесстолкновительна, поэтому там отсутствуют силы поверхностного натяжения. Однако имеющееся там внешнее магнитное поле может оказывать стабилизирующее влияние на развитие неустойчивости. Кроме того, на сверхзвуковых тангенциальных разрывах в солнечном ветре (СВ) и на границе хвоста магнитосферы проявляется сильное стабилизирующее влияние сжимаемости среды.

В настоящей работе представлено описание недавних наблюдательных результатов по обнаружению проявлений неустойчивости КГ в солнечной короне, а также изложены достаточно устоявшиеся представления о возникновении и роли неустойчивости КГ в СВ и магнитосфере Земли, в том числе и результаты, полученные авторами. Особое внимание уделено учету влияния сжимаемости среды.

Основные результаты линейной теории неустойчивости КГ

В условиях бесстолкновительной космической плазмы TP имеют конечную ширину. Поэтому рассмотрим неустойчивость следующей системы. Пусть внутри слоя шириной D=2d вблизи плоскости z=0 (-d<z<d) происходит основное изменение параметров плазмы и магнитного поля. Вне этого слоя они слабонеоднородны, а векторы скорости V₀ и магнитного поля B₀ могут менять свое направление, оставаясь при этом в плоскости, коллинеарной плоскости z=0 (V_0z=B_0z=0). Кроме того, учтем действие поля потенциальных сил вдоль оси Z (например, гравитационного поля) с напряженностью g^^Oz. Условием равновесия такого переходного слоя является отсутствие результирующей силы по оси Oz, т. е. непрерывность величины {с₀g+dП₀/dz}, где П₀=P₀+B₀²/2м₀ - полное давление (гидростатическое плюс магнитное), с₀ - плотность.

Профили равновесных параметров среды удобно задать в виде гладких (без скачков производных) функций типа гиперболического тангенса [Mishin, Morozov, 1983]:

(1)

Для исследования устойчивости такого сдвигового течения зададим возмущения малой амплитуды всех параметров среды в виде

(2)

Здесь щ=Re(щ)+iг - комплексная частота, k={k_x, k_y, 0} - волновой вектор. Процедура линеаризации уравнений идеальной бездиссипативной МГД приводит к системе двух линейных дифференциальных уравнений для вертикального смещения ж и возмущения полного давления П₁=P₁+B₁B₀/4р:

(3)

Здесь (4)

- отношение теплового давления к магнитному, - скорость звука, - альвеновская скорость, Г - показатель политропы.

В системе (3) одновременно учтены три фактора: внешнее магнитное поле, сжимаемость среды и наличие поля потенциальных сил g (обычно рассматривают одновременно два из них Michalke, 1973; Blumen, 1975; Mishin, 1981, 1993]). Для решения задачи об устойчивости необходимо найти зависимость частоты от волнового числа щ=щ(k). Такую задачу, однако, в общем случае трудно решить аналитически. Это удается сделать в приближении TP для несжимаемой среды.

Приближение тангенциального разрыва

В прямоугольной системе координат задается переходный слой в плоскости z=0 нулевой толщины между двумя однородными полупространствами I (z<0) и II (z>0). На TP все параметры меняют свои значения скачком, причем векторы скорости и магнитного поля изменяют величину и направление, оставаясь в плоскости (x, y). Рассмотрим возмущения равновесных параметров в форме (2). При выполнении условия Im(щ)=г>0 колебания неустойчивы, когда их амплитуда растет со временем по экспоненциальному закону f₁(t)~exp{гt} с инкрементом г. Для получения дисперсионной зависимости щ=щ(k) необходимо найти решение системы (3) с граничными условиями. Для их вывода проинтегрируем уравнения (3) поперек сдвигового слоя конечной толщины D=2d?0 (в котором все равновесные параметры считаются неоднородными (f₀=f₀(z))) с последующим предельным переходом: . В результате получаются два граничных условия - непрерывность вертикального смещения и непрерывность полного давления, измененного эффективной гравитацией:

(5)

Индексы I, II характеризуют параметры по обе стороны от границы раздела. Система (1) имеет спадающее решение в однородных областях:

f₁(z)=C_I expz, z<0; f₁(z)=C_II exp-z, z>0.(6)

Подстановка (6) в условия (5) дает дисперсионное уравнение для МГД-колебаний, развивающихся на ТР. Это уравнение для конечных значений магнитозвукового числа Маха M_ms=ДV/(2c_ms)?1 (здесь ДV=V_II-V_I - скачок скорости, - магнитозвуковая скорость) аналитически не решается в общем случае.

Приближение несжимаемой среды. В случае «горячей среды», когда выполняется условие M_ms<<1, изменение плотности отсутствует (dс/dt=0, div V=0) и показатель экспоненциального затухания (2) максимален: ч=Re(ч)=±k, откуда следует f₁exp±kz. В этом случае генерируются поверхностные возмущения, амплитуда которых экспоненциально быстро спадает при удалении от границы. После подстановки решений (6) в условия (5) получается дисперсионное уравнение дозвукового «несжимаемого» TP [Mishin, 1981]:

щ={k[(сV₀)_I+(сV₀)_II]±i{с_I с_II(kДV)²-

-(с_I+с_II)[(kB_0I)²+(kB_0II)²]/4р+G}^1/2}/(с_0I+с_0II). (7)

Здесь ДV=V_0II-V_0I=2u - полный перепад скорости на переходном слое, а G=kg(с_0II-с_0I) - добавка в инкремент за счет неустойчивости Рэлея-Тейлора - неустойчивости тяжелой жидкости, помещенной над легкой, подогретой в поле тяжести с напряженностью g (g^vДс). В однородном случае с₀(z)=const, B₀(z)=const имеем

г=Im(щ)=[(kДV)²-4(ka)²]^1/2,

т. е. продольное поле k||V₀||B₀ не стабилизирует неустойчивость г>0, если ДV>2a.

Качественно влияние продольного магнитного поля видно из уравнения движения:

?V/?t+(V)V-(B)B/(4рс)=-с-¹(P+B²/8р).

Напряжения Максвелла (B)B/(4рс) направлены противоположно напряжениям Рейнольдса (V)V (причине неустойчивости) и оказывают стабилизирующее влияние на возмущения, направленные вдоль магнитного поля. Такое действие вызвано натяжением магнитных силовых линий, которые при растяжении стремятся распрямиться, вызывая возвращающую силу, противодействующую подъемной силе крыла - причине неустойчивости. Последняя сила возникает как следствие эффекта Бернулли - гидродинамического разрежения при обтекании выпуклого крыла. Возмущения, направленные перпендикулярно полю B₀, сдвигают линии поля поперек свободно, не вызывая их искривления и натяжения, а потому не создают возвращающей силы (о влиянии поля B₀ см. также [Сыроватский, 1957]).

Для околозвукового скачка скорости ДV/c_s1 необходимо учитывать стабилизирующее влияние сжимаемости среды, которое уменьшает инкремент околозвуковых поверхностных возмущений вследствие нарушения эффекта Бернулли. Ландау [1944] в обычной гидродинамике (B₀=0) показал обращение инкремента в нуль для продольных возмущений:

(8).

Однако Сыроватский [1954] показал, что даже при выполнении (6) наклонные по отношению к вектору скорости течения возмущения (cosц= =(kV₀)/kV₀<M_L-¹) являются неустойчивыми (г?0). В магнитной гидродинамике при наличии компоненты магнитного поля вдоль скорости течения V₀||B₀ задача резко усложняется. Критерий неустойчивости ТР при M_ms?0 в случае однородной плотности был получен в [Parker, 1964] при анализе неустойчивости ТР в солнечном ветре (СВ): г?0 при c_s-д<ДV<c_s+д, т. е. для очень узкого диапазона скоростей. Это условие, однако, практически не удовлетворяется в СВ.

Слабости приближения TP:

1) коротковолновая граница неустойчивости и длина волны наиболее неустойчивых возмущений неизвестны;

2) стабилизирующее влияние сжимаемости среды и скачка плотности переоценивается.

Неустойчивость сдвигового слоя конечной толщины: D=2d?0. Для анализа спектра генерируемых возмущений сдвигового течения с профилями типа (1) при произвольной сжимаемости среды был разработан алгоритм [Морозов, Мишин, 1981; Mishin, Morozov, 1983; Mishin, 2003], который затем был модифицирован для анализа сверхзвуковой ветки неустойчивости [Leonovich, Mishin, 2005]. Алгоритм дает возможность вычислить комплексные частоты возмущений как собственные значения уравнений (1), (3). При этом из всех собственных функций (смещения ж и давления П₁) выбираются только те, которые удовлетворяют условию спадания амплитуды (6): (см. детали в [Leonovich, Mishin, 2005]). Приведем основные результаты численного анализа неустойчивости КГ для гладких профилей (1). На рис. 1 показана зависимость безразмерного инкремента от безразмерного волнового числа в наиболее неустойчивом случае «гидродинамического» течения поперек магнитного поля B₀, когда оно не оказывает стабилизирующего действия, . На рис. 1, а, б показан случай без влияния сжимаемости, когда эффективное число Маха и divV=0. Неоднородность плотности вызывает смещение кривой вправо по оси kd - в сторону более коротких длин волн, - не уменьшая величины максимального инкремента в отличие от приближения ТР, в котором величина инкремента резко уменьшается при усилении перепада плотности на ТР (рис. 1, а, g=0). На рис. 1, б, дополняющем аналитическое исследование Chandrasekhar, 1961], показана зависимость инкремента от волнового числа при наличии эффективной тяжести (g?0) для разных значений параметра J=gd/u², характеризующего отношение вкладов эффектов Рэлея-Тейлора и КГ в инкремент полной неустойчивости. Видно, что в приближении несжимаемости вариация параметра J приводит к изменению величины максимального инкремента без изменения его положения на оси kd (усиление при g^vДс). Рисунок 1, в показывает влияние сжимаемости среды: ее увеличение (рост числа M_ms) приводит к ослаблению инкремента и сужению диапазона неустойчивости [Blumen et al., 1975; Mishin, Morozov, 1983; Mishin, 2003]. Аналогичное стабилизирующее влияние - уменьшение инкремента и сужение диапазона неустойчивости - оказывает

Рис. 1. Зависимость безразмерного инкремента от kd для продольных возмущений в случае поперечного магнитного поля : а - в приближении несжимаемости при однородной плотности (сплошная кривая) и при сильном перепаде плотности на переходном слое (штриховая кривая); б - влияние фактора неустойчивости Рэлея-Тейлора, характеризуемого числом Ричардсона значения которого показаны над кривыми (в - влияние сжимаемости на зависимость над кривыми показаны числа М_ms (из работ [Морозов, Мишин, 1981; Mishin, 1993, 2003].

усиление продольного магнитного поля [Chandra, 1973] и конечной вязкости среды [Gomez, DeLuca, 2014]. Наиболее сложный для анализа случай совместного влияния сильной сжимаемости и продольного поля будет разобран при анализе неустойчивости на границе хвоста магнитосферы.

Далее мы посмотрим результаты наблюдений динамических явлений в магнитных корональных структурах Солнца, которые интерпретируют как проявление крупномасштабных неустойчивостей и прежде всего неустойчивости КГ.

Крупномасштабные неустойчивости плазмы, наблюдаемые в солнечной короне

Одной из первых работ по экспериментальному обнаружению крупномасштабных неустойчивостей в короне Солнца является статья [Ryutova et al., 2010], посвященная изучению эволюции спокойных протуберанцев. Такие протуберанцы хотя и относятся к долгоживущим и устойчивым образованиям (время жизни - несколько оборотов Солнца), тем не менее демонстрируют разнообразные формы движений вещества. В плазме протуберанцев зарегистрированы нисходящие и колебательные движения вещества, иногда под ними образуются крупномасштабные полости высокотемпературной плазмы, которые способны привести к разрушению части протуберанца и даже породить корональный выброс массы (КВМ). Анализ нескольких наборов данных об эволюции ряда спокойных протуберанцев, полученных солнечным телескопом с высоким пространственным разрешением на спутнике Hinode, позволил зарегистрировать динамические процессы, протекающие на разных стадиях эволюции протуберанцев и имеющие достаточно общий характер во всех рассмотренных случаях. Было отмечено, что эти процессы, имеющие универсальный характер, могут быть связаны с фундаментальными плазменными неустойчивостями. В частности, были найдены признаки существования пинчевых неустойчивостей в крупномасштабных «пузырях» горячей плазмы под основным телом протуберанца. Регулярные серии выбросов, наблюдаемые в протуберанцах на лимбе, были интерпретированы как признаки неустойчивости Рэлея-Тейлора. Наконец, обнаружение нарастающих волнообразных образований на нижней границе «протуберанец - корона», сопровождаемых выбросами вещества, позволило связать их с проявлениями КГ-неустойчивости.

Новые возможности для изучения динамических процессов в плазме солнечной короны с очень высоким пространственным и временным разрешением появились с началом работы (с конца 2010 г.) космической обсерватории SDO с комплексом приборов AIA на борту. Комплекс AIA позволяет получать изображения Солнца каждые 10-20 с в десяти каналах в видимой, ультрафиолетовой и крайней ультрафиолетовой (КУФ) областях спектра, которые покрывают обширный диапазон температур корональной плазмы. При наблюдениях КВМ 03.11.2010 г. после вспышки класса GOES C4.9 на юго-восточном лимбе Солнца в высокотемпературном КУФ-канале AIA 131 Е (~11 MK) удалось зарегистрировать цуг из трех-четырех волнообразных структур на северном фланге КВМ, который был ассоциирован с неустойчивостью КГ [Foullon et al., 2011]. Формирование вихрей в результате нарастания волн на флангах выбросов вызывает изменение силы торможения и нерадиальность траектории движения выброса в среде.

Другим примером наблюдений области формирования, распространения и затухания вихреобразных образований на изображениях короны, полученных со спутника SDO/AIA, является регистрация серии вихрей, образованных на поверхности раздела между эруптирующей областью потемнения и окружающей короной (начало явления в 02:30 UT, 08.04.2010 г.) [Ofman, Thompson, 2011]. Вихреобразные образования на граничной поверхности были отчетливо заметны в шести из семи различных КУФ-каналов комплекса AIA. Ofman, Thompson [2011], исходя из структуры, скорости распространения и затухания этих образований, отождествили их с развитием неустойчивости КГ в короне в КУФ-диапазоне спектра. Был сделан вывод, что неустойчивость КГ была вызвана сдвигом скорости между КВМ 08.04.2010 г. и областью замкнутого магнитного поля. Структурные образования неустойчивости КГ были сравнительно небольших размеров (~7 Мм). Согласно [Ofman, Thompson, 2011] эти вихреобразные образования вдоль перепада скорости соответствуют линейной стадии роста неустойчивости КГ, которая за несколько десятков минут достигает нелинейного насыщения, образуя вихревую структуру.

Свидетельства о проявлении неустойчивости КГ во время динамических процессов в солнечной короне были получены также в [Mцstl et al., 2013]. В этой работе сообщается о наблюдениях 24.02.2011 г. на спутнике SDO/AIA КВМ с расположенным внутри волокном. Анализ данных наблюдений выявил возникновение в северной части границы волокна квазипериодических вихреобразных структур с длиной волны ~14.4 Мм, распространяющихся со скоростью ~310 км/с. В этом случае, так же как и в предыдущем, вихревые структуры неустойчивости КГ наблюдались лишь на северном фланге волокна. Сравнение результатов 2.5-мерного численного моделирования неустойчивости КГ с наблюдениями показало их хорошее взаимное соответствие. Отсутствие вихревых структур на южном фланге волокна было объяснено стабилизирующим эффектом параллельного границе магнитного поля при асимметричном развитии неустойчивости.

Интересные результаты о проявлениях неустойчивости КГ в корональном стримере 03.06.2011 г. были получены в [Feng et al., 2013] по наблюдениям на коронографе LASCO C2 спутника SOHO на радиальных расстояниях от 3R до 11R в течение пяти часов. Период наблюдаемого волнообразного колебания составил 70-80 мин, а длина волны возрастала от 2R до 3R в течение полутора часов. При этом фазовая скорость уменьшилась от ~400 до ~350 км/с, а амплитуда волны нарастала со временем. По мнению авторов, это явление можно связать с МГД-неустойчивостью КГ. Параметры плазмы, окружающей стример, были оценены из фазовой скорости и критерия порога неустойчивости. Следует заметить, что колебания стримеров наблюдались на коронографе LASCO и прежде (явления 5-7.07.2004 г.), но были объяснены внешним воздействием от близкого прохождения КВМ [Chen et al., 2010]. В том случае колебания стримеров затухали со временем, что существенно отличается от события 03.06.2011 г. [Feng et al., 2013], когда внешнего воздействия на стример не наблюдалось. Сделан вывод, что рост со временем амплитуды колебаний в 03.06.2011 г. является непосредственным признаком возбуждения изгибной моды неустойчивости КГ в струе с двумя границами.

Следует добавить, что в статье [Gomez, De Luca, 2014] выполнено численное моделирование развития неустойчивости КГ в солнечной короне с учетом наблюдательных данных о существовании в корональной плазме мелкомасштабной турбулентности, наличие которой следует из нетеплового уширения корональных спектральных линий [Doschek et al., 2014]. Моделирование показало, что влияние турбулентной вязкости, обусловленной мелкомасштабной турбулентностью плазмы, приводит к уменьшению инкремента неустойчивости КГ и сужению ее диапазона.

Обнаружение проявлений неустойчивости КГ по наблюдениям в солнечной короне (хотя таких случаев пока немного) говорит о том, что эта неустойчивость является достаточно распространенной в корональной плазме и может играть важную роль в переносе энергии в короне. Неустойчивость КГ, развивающаяся на одном из флангов КВМ, приводит к возникновению тормозящей силы, которая способна повлиять на траекторию движения КВМ. Эта неустойчивость приводит к диссипации энергии сдвиговых течений за счет аномальной вязкости и может быть причиной возникновения турбулентности в плазме короны. Кроме того, в плазме с магнитным полем образование вихрей при неустойчивости КГ способно привести к дополнительному процессу пересоединения и диссипации энергии магнитных полей.

Неустойчивость Кельвина-Гельмгольца в межпланетной среде

Известно, что структура течений плазмы солнечного ветра (СВ) обладает существенно неоднородным полем скоростей (см., например, [Hundhausen et al., 1972; Burlaga, 1979]. Высокоскоростной СВ (V>800 км/с) исходит преимущественно из корональных дыр, областей с пониженной яркостью в короне, магнитное поле в пределах которых носит открытый характер и замыкается в гелиосфере. Медленный СВ (V<500 км/с) образуется в каспах пояса шлемовидных стримеров, продолжением которого в межпланетной среде является гелиосферный токовый слой. Истечение потоков плазмы СВ с различными скоростями из вращающегося источника (Солнца) ведет к сложной картине их взаимного влияния и образованию пограничных областей коротационного взаимодействия с повышенной плотностью плазмы. По результатам статистического анализа данных космического аппарата Mariner-2 по флуктуациям скорости и магнитного поля в СВ в работе [Coleman, 1968] была высказана гипотеза, что плазма СВ находится в турбулентном состоянии вплоть до расстояний 1 а. е., и были рассчитаны спектры мощности флуктуаций скорости и магнитного поля. Причина возбуждения турбулентности связывалась со сдвиговыми течениями в СВ [Coleman, 1968; Roberts et al., 1992]. Основная трудность интерпретации заключалась в том, что наиболее вероятная для объяснения этих наблюдений неустойчивость КГ при учете только возмущений вдоль скорости практически не возбуждается [Parker, 1964]. Кроме того, не было дано объяснение следующему факту: в СВ, наряду с альвеновскими волнами, которые могут распространяться от Солнца до орбиты Земли, наблюдаются и магнитозвуковые волны, которые так далеко от Солнца распространяться не могут [Goldstein et al., 1995]. Выход из этого затруднения нашли Коржов с соавторами [Korzhov et al., 1984], использовав полуэмпирическую модель СВ [Коваленко, Коржов, 1976] для задания распределения параметров плазмы =Р₀/Р_В и вплоть до гелиоцентрических расстояний 1 а. е. Авторы показали, что на сдвиговых течениях в этом диапазоне расстояний развивается неустойчивость КГ. При этом основную роль в возбуждении неустойчивости КГ играют косые волны, распространяющиеся под углом ~45° к вектору скорости течения (расчеты были выполнены для профилей скорости течений с одной и двумя границами конечной ширины). Диапазон периодов возбуждаемых неустойчивостью колебаний соответствует наблюдаемой области (10²-10⁵ с). Нужно отметить, что в околосолнечной области на расстояниях r<0.1 а. е. , M_a²<<1, т. е. магнитное поле является сильным (ДV<a) и неустойчивость КГ согласно (7) не развивается.

Помимо основного вывода о возбуждении неустойчивости КГ на косых возмущениях в СВ в работах этих авторов [Korzhov et al., 1984; Коржов и др., 1985] был получен еще один важный результат: найдено объяснение наблюдаемой эволюции переднего фронта высокоскоростного течения СВ в пределах расстояния до орбиты Земли. Учет двух конкурирующих эффектов - кинематического укручения и диффузионного расплывания за счет турбулентной вязкости, создаваемой неустойчивостью КГ, - позволил объяснить эволюцию передних фронтов высокоскоростных течений в диапазоне от 0.3 до 1 а. е. в полном согласии с наблюдательными данными Розенбауера и др. [1977]. В рамках рассмотренной в работах [Korzhov et al., 1984; Коржов и др., 1985] линейной задачи удалось показать, что основной масштаб вихрей неустойчивости КГ в СВ составляет ~10¹² см, а величина турбулентной вязкости, полученная несколькими способами, v?-2·10¹⁹ см²/с. Этого оказалось вполне достаточно, чтобы объяснить отсутствие схлопывания фронтов высокоскоростных течений и их конечную толщину. Однако в линейном приближении невозможно рассмотреть возбуждение больших волновых чисел, которые возникают на нелинейной стадии развития МГД-неустойчивости КГ. В работе [Miura et al., 1987] для этого выполнено численное моделирование полной нелинейной системы, однако использованный метод конечных разностей не позволил изучить спектральную перекачку возмущений. В статье [Roberts et al., 1992] спектры турбулентности двумерной несжимаемой МГД рассчитаны на основе спектрального метода, что позволило полностью разрешить волновые числа флуктуаций вплоть до масштаба сетки, но без учета численной вязкости. Показано, что в крупномасштабном сдвиговом течении в условиях СВ способен развиваться нелинейный каскадный процесс, приводящий к флуктуациям малых масштабов, даже если линейная мода КГ устойчива, и что в инерциальной области спектра в результате этого процесса устанавливается степенной спектр флуктуаций. Все эти работы, в отличие от [Korzhov et al., 1984; Коржов и др., 1985], были сделаны в приближении несжимаемой среды, непригодном для анализа сверхзвуковых ТР в СВ. Понимая это, Roberts et al. [1992] отметили, что для более реалистичного описания СВ необходимо рассматривать трехмерные задачи с учетом сжимаемости плазмы, чего, однако, до сих пор так и не сделано.

Используя благоприятное расположение спутников STEREO-A, STEREO-B, ACE, Wind, Cluster относительно гелиосферного токового слоя, Foullon et al. [2011] проанализировали данные наблюдений выбросов плазмоидов из плазменного слоя гелиосферы 10-14.01.2008 г. Два типа зарегистрированных плазмоидов - в виде волокон потока и магнитных островов - имели небольшие размеры (в десять раз меньше размеров обычных магнитных облаков) и напряженность магнитного поля В=2-8 нТл. В изучаемой области Солнца вблизи экватора располагались две низкоширотных корональных дыры с каждой стороны коронального стримера, лежащего над активной областью AR 10980, в которой 07.01.2008 г. произошла продолжительная рентгеновская вспышка класса С1.4 GOES с выбросами плазмы. Выбросы (плазмоиды) наблюдались в короне Солнца в диапазоне высот (2-13)R над солнечной поверхностью. Подобная конфигурация магнитных структур позволила подробно изучить взаимодействие между быстрым СВ из корональных дыр и медленным СВ из области каспа стримера, связанной с транзиентными явлениями (магнитными островами), генерируемыми магнитным пересоединением или в каспах стримеров, или между границами корональных дыр и каспами стримеров [Foullon et al., 2011]. Эти пограничные слои между течениями СВ с разными скоростями, вращающиеся вместе с гелиосферным токовым слоем, имеют транзиентную природу и формируют области коротационного взаимодействия в СВ, которые способны вызвать возмущения земной магнитосферы. В работе [Foullon et al., 2011] отмечено, что взаимодействие между выбросами и пограничным слоем течений СВ обеспечивает источник момента для ускорения медленных выбросов и приводит к дополнительному перемешиванию плазмы. Важно отметить, что в пограничных слоях между течениями СВ с различными скоростями может развиваться неустойчивость КГ, а формирование и выброс плазмоидов в плазменном слое гелиосферы обусловлены тиринг - неустойчивостью [Einaudi et al., 1999]. Таким образом, в области гелиосферного токового слоя, т. е. в плазме с магнитным полем, оба вида неустойчивости оказываются тесно связанными между собой.

Плазменные системы в астрофизических средах, содержащие сдвиговые течения с сильными градиентами магнитного поля, являются достаточно типичными для солнечных и астрофизических условий. Например, взаимодействие СВ с границей земной магнитосферы может описываться эволюцией одной из таких динамических МГД-систем. В работе [Bettarini et al., 2006] в 2.5-мерном приближении численно проанализированы МГД-неустойчивости, возникающие в первоначально стабильной конфигурации, содержащей плазменный выброс или спутный след в среде с сильными градиентами магнитного поля. Рассматривались две разных конфигурации - бессиловая и начальная равновесная с балансом давлений, которые характеризовались углом и между начальным направлением выброса и магнитным полем. Численно прослежена глобальная эволюция неустойчивости с фиксированным значением и, но с разными динамическими особенностями. В обеих конфигурациях происходила типичная для неустойчивости КГ волнообразная эволюция при и=0, а при и?0 линейная тиринг - мода приводила к «варикозной» неустойчивости, которая и определяла начало процесса пересоединения. Процесс магнитного пересоединения обеспечивает включение механизма последовательного слияния магнитных островов, что ведет к конечной стадии нелинейной эволюции системы на больших масштабах и к ее разрушению.

Первые наблюдения проявлений неустойчивости КГ в атмосфере Солнца проведены относительно недавно, тогда как о ее проявлениях в магнитосфере Земли известно гораздо больше благодаря спутниковым данным. Обратимся теперь к описанию неустойчивости КГ на границе геомагнитосферы.

Неустойчивость Кельвина-Гельмгольца в земной магнитосфере

Неустойчивость КГ на границе магнитосферы считается одним из основных механизмов возбуждения колебаний магнитопаузы и связанных с ними геомагнитных пульсаций. Эта неустойчивость может играть важную роль в механизме вязкого взаимодействия СВ-магнитосфера, обеспечивая передачу импульса [Axford, 1964] в магнитосферу и вызывая формирование размытых пограничных слоев. Теория неустойчивости КГ разработана главным образом для описания дозвуковых возмущений, которые преобладают на дневной магнитопаузе и на границе ближнего геомагнитного хвоста (x>-30R_E) магнитосферы Земли. В этой области влияние сжимаемости незначительно, однако существенна стабилизация магнитным полем магнитослоя, которое усиливается при росте азимутального межпланетного магнитного поля (ММП). Продольное магнитное поле B₀||V₀ уменьшает инкремент и сужает диапазон частот генерируемых возмущений [Chandra, 1973]. Неустойчивость может развиваться только при обтекании магнитосферы перпендикулярно геомагнитному полю, что наблюдается в низкоширотном пограничном слое. Однако даже здесь возмущения могут быть стабилизированы магнитным полем магнитослоя, распределение которого зависит от направления ММП. Нерадиальная компонента ММП, которая является касательной к головной ударной волне, усиливается на ней в четыре раза. При средней ориентации ММП развитие неустойчивости более вероятно на утренней стороне магнитопаузы, чем на вечерней [Lee, Olson, 1980; Mishin, 1981]. В общем случае при наличии нерадиальной компоненты ММП магнитное поле в магнитослое в целом усиливается, а потому дневная граница становится более устойчивой. В соответствии с этим дневные геомагнитные пульсации Pc2-Pc4 (Т=10-100 с), лежащие в диапазоне неустойчивости КГ, ослабляются при росте азимутальной компоненты ММП. В низкоширотном пограничном слое существует большой перепад плотности. Для неподвижной границы этот перепад приводит к смещению положения максимума инкремента и коротковолновой границы диапазона неустойчивости в сторону коротких волн (см. рис. 1, б) без уменьшения максимума инкремента неустойчивости, как это следовало из приближения TP [Mishin, Morozov, 1983].

Импульсы давления СВ вызывают ускоренные движения магнитопаузы, приводя к усилению неустойчивости КГ за счет эффекта Рэлея-Тейлора [Мишин, 1980; Mishin, 1993; Гульельми и др., 2010]. Неустойчивость Рэлея-Тейлора возникает на магнитопаузе, когда ускорение, приложенное к ней, направлено наружу. Это может происходить под действием отрицательных импульсов давления СВ на фазе ускоренного расширения магнитосферы, а также под действием положительных импульсов на фазе замедления сжатия магнитосферы. Экспериментальные и модельные значения возможного ускорения составляют g=0.1-10 км/с², чего вполне достаточно для развития неустойчивости даже при сильном азимутальном ММП. При прохождении заднего фронта межпланетного магнитного облака 11.01.1997 г. наблюдались положительные (01:20 UT) и отрицательные (02:20 UT) изменения давления, вызвавшие ускоренные перемещения магнитопаузы внутрь и наружу. По данным наземных магнитометров было замечено [Мишин и др., 2001], что в полном соответствии с моделью [Mishin, 1993] геомагнитные пульсации в диапазоне неустойчивости более интенсивно генерируются при отрицательном импульсе давления СВ, чем при положительном.

Неустойчивость сдвига скорости на границе геомагнитного хвоста

Скорость течения плазмы в магнитослое растет при удалении от околополуденной области и становится сверхзвуковой после меридиана «утро-вечер», и потому там приближение несжимаемости становится неприменимым. Влияние сильной сжимаемости на неустойчивость КГ было впервые изучено в обычной гидродинамике (B₀=0) в [Blumen, 1970] для дозвуковых возмущений и в [Blumen et al., 1975] для сверхзвуковых возмущений. Было показано, что неустойчивость развивается при любом числе М=u/c_s, но с существенно меньшим инкрементом, чем у дозвуковых возмущений. При М>1 величина инкремента очень быстро уменьшается с увеличением числа М, при этом также быстро сужается диапазон неустойчивости, а реальная часть показателя экспоненциального спада амплитуды (6) уменьшается и он становится почти мнимым: |Reч|<<|Imч|. Таким образом, сверхзвуковые сдвиговые течения генерируют возмущения с медленным затуханием в пространстве и слабым ростом во времени. Такую неустойчивость назвали излучательной [Drazin, Davey, 1977].

На границе среднего и дальнего хвоста магнитосферы, кроме сильной сжимаемости, имеется еще другой стабилизирующий фактор - продольное внешнее магнитное поле B₀||V₀. В работах [Mishin, Morozov, 1983; Mishin, 2003], а затем и в [Leonovich, Mishin, 2005] исследована неустойчивость КГ при наличии не только сильной сжимаемости, но и неоднородности плотности и внешнего магнитного поля - факторов, имеющихся на границе хвоста магнитосферы. Поскольку все три фактора стабилизируют дозвуковые возмущения, принято считать, что неустойчивость в режиме сверхзвукового обтекания хвоста неэффективна. Этот некорректный вывод сделал Miura [1992] после нелинейного анализа неустойчивости, фактически повторив ошибку Ландау [1944], а именно, рассмотрев только продольные возмущения k||V₀ без учета косых возмущений , важную роль которых в неустойчивости КГ отметил Сыроватский [1954] в приближении ТР. Покажем далее, что неустойчивость КГ на границе хвоста эффективно развивается именно при косых возмущениях.

Рассмотрим влияние магнитного поля на неустойчивость сверхзвукового сдвигового слоя. Согласно выражению (4) показатель экспоненциального уменьшения амплитуды сверхзвуковых (щ/kc_ms>1) возмущений мал , так как второй член больше первого и реальная часть показателя становится малой. Поскольку скорость V₀ входит в (4) в комбинации скалярного произведения k·V₀, то влияние сжимаемости среды определяется «косым» магнитозвуковым числом Маха:

Если магнитное давление P_B>P, то эффективное число Маха становится существенно меньше. Физически это означает, что магнитное давление увеличивает полное давление и упругость среды и тем самым уменьшает влияние ее сжимаемости. Так, магнитное давление может оказывать влияние как стабилизирующее, усиливая максвелловские натяжения (продольную компоненту поля), так и противоположное, увеличивая полное давление. Последний эффект очевиден только для сверхзвуковой разности скоростей. При дозвуковой разности скоростей его влияние не сказывается: динамическое давление много меньше теплового и добавление магнитного давления не изменяет их соотношения (число M_ms остается малым: M_ms<<1). Таким образом, магнитное поле оказывает двойное влияние: стабилизирующее (максвелловские натяжения) и дестабилизирующее (давление). Вторым фактором, определяющим величину числа является угол ц между направлениями векторов и .

Обратимся к описанию неустойчивости в дальнем хвосте магнитосферы. По данным, полученным на спутнике ISEE-3 [Bame et al., 1983], на расстояниях -220R_E<x<-50R_E в магнитослое (вне границы магнитосферы, область II) значения параметров среды таковы: n_II=8.5 см-³, Т_II=2·10⁵ K, V_II=500 км/с, B_II=6 нТл. При этом внутри границы (пограничный слой, область I) их значения составляют: n_I=1 см-³, T_I=(3-10)·10⁵ K, B_I=9 нТл. Течение плазмы в плазменной мантии - высокоширотном пограничном слое - происходит вдоль линий геомагнитного поля, в то время как в магнитослое магнитное поле имеет перпендикулярную компоненту. По этим данным первоначально в [Mishin, Morozov, 1983], а затем, после модернизации алгоритма, в [Mishin, 2003] была рассчитана зависимость в наиболее неблагоприятном для развития неустойчивости КГ продольном магнитном поле B₀||V₀ для следующих, зарегистрированных на ISEE-3 параметров: R=3.75, с(z=0)=с₀₀=4.75, д=1/6, в(z=0)=0.65, в_II=1.65(в=P/P_B) (см. обозначения в формулах (1)). Вычисления были выполнены для на трех возможных значений разности скоростей на границе: 1) ДV=250 км/с, 2) ДV=330 км/с и 3 ДV=V_II=500 км/с. Перепад скоростей может происходить в два этапа: сначала резко на внешнем крае пограничного слоя и затем плавно вне его.

Даже для самого малого перепада скоростей ДV=250 км/с было показано, что существует неустойчивость с достаточно значимым инкрементом

По результатам, полученным в приближении ТР, в работе [Sibeck et al., 1987] полагается, что для развития неустойчивости требуется существенно больший перепад скоростей - ДV=400 км/с. Сильное продольное магнитное поле, несмотря на стабилизирующее влияние максвелловских напряжений, существенно увеличивает упругость среды и уменьшает эффект сжимаемости: для в(z=0)=0.65 M_ms(z=0)=1.33. Фактически, однако, эффективная величина , поскольку только продольные возмущения являются сверхзвуковыми, но уже при cosц<0.9 фазовая скорость становится дозвуковой, а возмущения - поверхностными, быстро спадающими от границы.

Представляется вероятным, что, благодаря большой величине продольного магнитного поля (M_a00=M_a(z=0)=1.65), с ростом угла ц происходит сужение области неустойчивости б_b=(kd)_гр и уменьшение Расчеты показали, что при отсутствии продольного поля, когда и cos ц=(kB₀)/kB₀=0, инкремент увеличивается в четыре раза: , а диапазон неустойчивости существенно расширяется. Такое усиление неустойчивости должно происходить в низкоширотном пограничном слое хвоста, где . Когда различие скоростей на границе возрастает, влияние сжимаемости усиливается, а влияние максвелловских напряжений уменьшается. На рис. 2 показан случай M(z=0)=3, M_a(z=0)=2.2, соответствующий значению ДV=335 км/с. С такими параметрами эффект от продольного поля заметно слабее, а характер влияния угла ц такой же, как и в отсутствие максвелловских напряжений. При этом инкремент продольных (cosц~1) возмущений почти подавлен, а диапазон значений угла ц генерации сверхзвуковых возмущений достаточно широк - переход к поверхностным возмущениям происходит, когда

При максимально возможном перепаде скоростей на границе ДV=V_II=500 км/с усиливается влияние сжимаемости, что проявляется в генерации сверхзвуковых возмущений в более широком диапазоне угла ц (cosц<0.5), хотя с немного меньшими значениями вследствие возрастания магнитозвукового числа Маха: M_ms=2.6. В этом случае влияние максвелловского натяжения становится слабым благодаря большому альвеновскму числу Маха (M_a00=3.3). Из-за роста сжимаемости квазипродольные возмущения подавлены уже при cosц?0.8. Необходимо отметить, что во всех возможных случаях развития неустойчивости неоднородность плотности играет дестабилизирующую роль (из-за уменьшения фазовой скорости). Это видно из расширения диапазона неустойчивости (рис. 1): коротковолновая граница (kd)_гр>1 лежит на оси kd даже дальше границы дозвуковых возмущений при однородной плотности: (kd)_гр=1. Напомним, что

Рис. 2. Неустойчивость в пограничном слое дальнего хвоста магнитосферы в случае продольного поля V₀||B₀ при перепаде скорости ДV=335 км/с (а) и ДV=500 км/с (б). Значения cosц показаны над кривыми.

в часто используемом приближении ТР из дисперсионного уравнения (7) следует, что любой перепад плотности всегда уменьшает инкремент.

Таким образом, мы показали, что граница дальнего хвоста при наблюдаемых параметрах плазмы и магнитного поля неустойчива на всех широтах; более того, стабилизирующее влияние продольного поля почти отсутствует, когда перепад скоростей ДV>335 км/с.

О частоте и длине волны генерируемых колебаний

В последнем случае ДV=500 км/с для наклонных возмущений с максимумом инкремента при cosц=0.4 получаются следующие значения: (kd)_max=0.4, V_ph=0.28V_II. Приближение TP приводит к намного большей фазовой скорости продольных возмущений: V_ph=0.9V_II. Вследствие этого продольные длинноволновые возмущения практически подавляются сильной сжимаемостью. Период наиболее неустойчивых возмущений для типичных параметров высокоширотного пограничного слоя в дальнем хвосте (d=1.5R_E) составляет около 10 мин. Он хорошо согласуется с наблюдениями на спутнике ISEE-3 колебаний границы с T~10-40 мин [Sibeck et al., 1987]. Таким образом, неустойчивость КГ на границе хвоста может быть источником длиннопериодных высокоширотных геомагнитных пульсаций Рс6, регистрируемых в ночное время. Близкое значение периода неустойчивости (T~10³ c) получено в цилиндрической модели обтекания геомагнитного хоста [Leonovich, 2011].

Выводы об эффективном развитии неустойчивости на границе дальнего хвоста дали возможность объяснить в рамках квазилинейной теории существование там широких пограничных слоев за счет турбулизации течения [Mishin, 2005]. Наиболее неустойчивые косые возмущения распространяются со скоростью, в несколько раз меньшей скорости обтекания, и потому успевают развиться до значимой амплитуды. Амплитуда этих возмущений медленно спадает внутрь магнитосферы. Вследствие сильной дисперсии возбуждаемых колебаний происходит сильная хаотизация их фаз, в результате чего происходит образование эффективной турбулентной вязкости и диффузионное формирование широких пограничных слоев. Другим важным следствием генерации слабо спадающих от границы возмущений является перенос потока волновой энергии в магнитосферу. Получена оценка величины потока энергии через квадрат амплитуды и инкремент наиболее неустойчивых колебаний. Его величина q=10¹⁰W оказалась достаточной для объяснения механизма квазивязкого взаимодействия СВ с магнитосферой [Матюхин, Мишин, 1985].

Заключение и выводы

Изложены современные представления о природе и эволюции неустойчивости Кельвина-Гельмгольца в короне Солнца, межпланетной среде и в магнитосфере Земли. Описаны наблюдательные данные, подтверждающие существование КГ-неустойчивости в различных магнитных структурах солнечной корональной плазмы. Кратко изложены основные теоретические результаты по неустойчивости КГ, полученные в линейном приближении. Показано, что обычно рассматриваемые возмущения вдоль скорости течения оказываются важны только для дозвуковых сдвиговых течений. Продемонстрирована преобладающая роль косых (относительно вектора скорости течения) возмущений в генерации неустойчивости КГ в сверхзвуковых сдвиговых течениях в СВ и на границе хвоста магнитосферы. Их фазовая скорость существенно меньше скорости течения (V_ф~V₀/4), а инкремент и ширина диапазона частот значительно больше, чем для продольных возмущений. Кроме того, безразмерный инкремент наиболее неустойчивых косых возмущений оказывается того же порядка величины, как и в случае дозвукового перепада скоростей. Подчеркнем, что магнитное поле и неоднородности плотности ослабляют стабилизирующее влияние сжимаемости среды на неустойчивость, что приводит к увеличению диапазона неустойчивости и инкремента для широкого диапазона угла ц. Отмечено, что генерация наклонных возмущений сверхзвуковой сдвиговой неустойчивостью КГ в плазме СВ объясняет наблюдения магнитозвуковых волн и широких сдвиговых слоев в течениях СВ. Показано, что, несмотря на гиперзвуковой характер обтекания дальнего геомагнитного хвоста, околозвуковые косые возмущения играют существенную роль в возбуждении МГД-волн и в эволюции пограничного слоя хвоста, передаче импульса и энергии СВ в магнитосферу. На дневной границе магнитосферы МГД-неустойчивость генерирует поверхностные колебания в области частот геомагнитных пульсаций Рс3-Рс4. Импульсы давления СВ вызывают ускоренные смещения магнитопаузы с импульсной генерацией широкополосных пульсаций неустойчивостью Рэлея-Тейлора. На границе геомагнитного хвоста неустойчивость КГ генерирует слабоспадающие в магнитосфере колебания в области длиннопериодных пульсаций Рс6. С их раскачкой связаны турбулентный характер течения вблизи пограничного слоя и его расплывание. Несмотря на продемонстрированную выше преобладающую роль косых возмущений при возбуждении неустойчивости КГ в сверхзвуковых сдвиговых течениях, в большинстве современных работ при численном моделировании их влияние не учитывается. Потому мы считаем необходимым еще раз подчеркнуть важность учета косых возмущений при анализе неустойчивости КГ в астрофизических приложениях.