Частотная зависимость локализации индукционных токов

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Задача описания взаимодействия цилиндрического проводника с квазистационарным магнитным полем, параллельным оси проводника, рассмотрена в работах [1], [2, С. 310]. Показано, что индукционные токи определяются функциями Бесселя. Аргументом этих функций является величина где , r - радиальная координата , д - толщина скин-слоя. Функции Бесселя неудобны для анализа полученных закономерностей, поэтому вычислены только две асимптотики: и . Первая асимптотика - предельно низкие частоты щ внешнего поля - приводит к очевидному результату: плотность тока пропорциональна rщ, индукционный ток сдвинут по фазе относительно внешнего поля на величину р/2. Вторая асимптотика - предельно большие щ - показывает, что индукционный ток локализован в тонком поверхностном слое толщиной д. Фазовый сдвиг индукционных токов эта асимптотика не определяет. Цель данной работы - изучение динамики изменения параметров индукционных токов с ростом частоты внешнего поля.

Фазовый сдвиг индукционных токов эта асимптотика не определяет. Цель данной работы - изучение динамики изменения параметров индукционных токов с ростом частоты внешнего поля.

Рассмотрим ситуацию: проводник в форме сплошного длинного цилиндра, радиус которого a, проводимость у, помещен в однородное переменное магнитное поле , параллельное оси цилиндра. Геометрия задачи симметрична относительно оси цилиндра, поэтому вихревые токи будут течь по окружностям в плоскостях, перпендикулярных его оси. Это означает, что параметры тока зависят от радиальной координаты r и щ. При гармонической зависимости внешнего магнитного поля от времени, напряженность поля удобно представить в комплексном виде:

Магнитное поле внутри проводящего цилиндра определяется уравнениями Максвелла в квазистационарном приближении [1], [2]. Зависимость магнитного поля от t и r имеет вид

Толщина скин-слоя определяется формулой В (1) входят функции Бесселя нулевого порядка [3, С. 112]:

Плотность вихревых токов имеет вид [4, С. 144]:

здесь - функция Бесселя первого порядка, определяемая рядом

Соотношения (2-4) определяют точное решение уравнений Максвелла в квазистационарном приближении. Выражение (3) приведем к виду, удобному для применения методов вычислительной математики. Рассмотрим - ряд, являющийся знаменателем в формуле (3). В (2) учтем, что и .

Введем безразмерную переменную

примет вид

где

Ряды (7) и (8) знакопеременные, поэтому их можно численно суммировать с заданной точностью.

Проведем аналогичные преобразования выражения , стоящего в числителе (3). Используя соотношение (4), получим

Учтем, что . Введем величину относительного радиуса

тогда

С учетом (10) и (11) выражение (9) примет вид

Это позволяет записать формулу для плотности вихревых токов в виде

Представим сумму, стоящую в числителе (13) в виде комплексной величины

где

здесь .

Используя выделенные действительные и мнимые части рядов, выражение (13) запишем в виде

Действительная часть выражения (17) описывает плотность вихревых токов от относительного радиуса и времени. Можно показать, что

где

Согласно формуле Эйлера

Подстановка (18) и (20) в (17) дает

Действительная часть (21) имеет вид

Безразмерное соотношение

с точностью до постоянного множителя определяет амплитуду плотности вихревых токов. Величина

определяет фазовый сдвиг плотности токов относительно внешнего поля.

Проведенное преобразование рядов, определяющих амплитуду плотности индукционного тока и фазовый сдвиг тока относительно внешнего поля, показало, что характеристики вихревого тока определяются безразмерными величинами z и h. Анализ зависимости амплитуды плотности индукционных токов и фазового сдвига тока относительно внешнего поля проведем на основе численно построенных графиков. Аргументом этих функций является величина z, пропорциональная чистоте внешнего поля. Графики строятся при значении h, равных 0,25; 0,75; 0,95. Программа численного построения графиков опубликована в [5]. На рис. 1 показаны графики зависимости и при . Из графика видно: индукционный ток отличен от нуля при . Плотность тока с ростом z сначала быстро растет, затем более медленно спадает до нуля. В интервале z, где ток отличен от нуля, есть два значения z, при которых фазовый сдвиг меняется от нуля до р. Это означает, что в окрестности этих z ток меняет направление движения на противоположное, - с ростом z структура токов сильно меняется.

Рис. 1 - Зависимость безразмерной амплитуды плотности индукционного тока и разности фаз между током и внешним магнитным полем от z , при : 1 - амплитуда плотности тока; 2 - разность фаз

На рис. 2 показаны графики зависимости и при .

Рис. 2 - Зависимость безразмерной амплитуды плотности индукционного тока и разности фаз между током и внешним магнитным полем от z , при : 1 - амплитуда плотности тока; 2 - разность фаз

Графики на рис. 2 качественно повторяют графики на рис. 1. На рис. 3 показаны графики зависимости и при .

Рис. 3 - Зависимость безразмерной амплитуды плотности индукционного тока и разности фаз между током и внешним магнитным полем от z, при : 1 - амплитуда плотности тока; 2 - разность фаз

магнитный индукционный амплитуда квазистационарный

Из графиков на рис. 3 видно, что при амплитуда индукционных токов максимальна при . С ростом z амплитуда медленно убывает: токи концентрируются ближе к поверхности цилиндра. Скачок фазы при означает, что ток в окрестности с ростом z меняет направление на противоположное.

Список литературы

1. Ландау Л.Д. Теоретическая физика: учеб. пособие. В 10 т. Т. 8. Электродинамика сплошных сред / Л.Д. Ландау, Л.П. Питаевский, Е.М. Лифшиц; под ред. Л.П. Питаевского. 4-е изд., стер. - М.: Физматлит, 2003. - 652 с.

2. Батыгин В.В. Сборник задач по электродинамике: учеб. пособие / В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин; под ред. М.М. Бредова. 3-е изд., испр. - Ижевск; М.: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2002. - 640 с.

3. Никифоров А.Ф., Уваров В.Б. Специальные функции математической физики / под ред. А.А. Самарского. - М.: Наука, 1978. - 320 с.

4. Черных А.Г. Бесконтактное измерение электросопротивления проводников в переменном магнитном поле. Ч. 2 / А.Г. Черных // Физическое образование в вузах. - 2013. Т. 19. - № 3. - С. 138-150.

5. Черных А.Г. Расчет процесса самоорганизации вихревых индукционных токов в массивном проводнике цилиндрической формы при изменении частоты внешнего квазистационарного магнитного поля: свидетельство о гос. регистрации программы для ЭВМ № 2017611384 Рос. Федерация / А.Г. Черных; заявл. 29.09.2016; опубл. 02.02.2017. Бюл. № 2.

Размещено на Allbest.ru