Идентификация жесткостных характеристик конструкции летательных аппаратов с учетом физической нелинейности материала

Размещено на http://www.allbest.ru/

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

ИДЕНТИФИКАЦИЯ ЖЕСТКОСТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК КОНСТРУКЦИИ ЛА С УЧЕТОМ ФИЗИЧЕСКОЙ НЕЛИНЕЙНОСТИ МАТЕРИАЛА

Муфтах Мохамед Булгасем

05.07.03 - прочность и тепловые режимы летательных аппаратов

Казань - 2007

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Проблема исследования жесткостных характеристик конструкций летательных аппаратов стала особенно актуальной несколько десятилетий тому назад. В последние годы интерес к проблемам, связанным с учетом упругости конструкций и их элементов при расчетах на прочность, флаттер и вообще аэроупругость, усилился. Этому способствовали рост скоростей и высоты полета летательных аппаратов, появление новых материалов, схем и компоновок, новых методов расчета и подходов, связанных в основном с необходимостью учета температуры.

Основными особенностями, требующими учета при проектировании и расчете прочности высокотемпературной авиационной конструкции, является неравномерный и нестационарный нагрев и связанные с ним переменные температурные поля, ухудшение механических свойств и ползучесть материалов, температурное выпучивание, падение характеристик прочности и жесткости элементов и несущей способности конструкции в целом за счет необратимого накопления механических повреждений при циклическом воздействии.

При этом ощущается необходимость в инженерных критериях оценки остаточной прочности конструкции, подвергнутой нагреву и циклическому нагружению в процессе эксплуатации.

Обзор публикаций подтверждает, что недостаточно представлены работы, посвященные идентификации проектных параметров конструкций, т.е. уточнению физико-механических характеристик, входящих в коэффициенты математических моделей, и характеризующих жесткость конструкции.

В зависимости от выбранной схемы, принятой при идеализации конструкции в целом или ее элементов, за жесткостные характеристики принимают величины коэффициенты влияния, связывающие усилия с перемещениями. С развитием метода конечных элементов, большое распространение получили матричные методы и связанные с ними матрицы жесткости.

С математической точки зрения задачи, связанные с использованием в качестве исходных данных результатов экспериментов, являются обратными и, как правило, некорректно по Ж.Адамару поставленными, что проявляется в основном в высокой чувствительности решения к вариациям исходных данных, погрешности которых, в силу объективных причин практически не управляемы. Это может привести к решениям, не удовлетворяющим условию физической нереализуемости, например, отрицательным жесткостям или модулям упругости. Именно такие особенности обратных задач требуют разработки своих, особых подходов их решения, в основе которых лежит преодоление некорректности постановки.

В результате решения обратных задач происходит уточнение физико-механических параметров рассматриваемой конструкции, которые закладываются в математическую модель и входят в нее в качестве коэффициентов уравнений. Задачи подобного класса являются коэффициентами обратными задачами. Их также относят к типу, который можно назвать интерпретацией данных наблюдений или задачами распознавания или диагностики.

Если в качестве исходных данных известны случайные законы распределения результатов экспериментов, то обратные задачи решаются как вероятностные или стохастические. В этом случае решением будут являться случайные законы распределения искомых (уточняемых) величин: жесткостных параметров или нагрузки в зависимости от конкретной постановки. Вероятностная постановка в решении обратных задач позволяет сформулировать требования к точности проведения эксперимента - величинам дисперсии, коэффициентам вариации и корреляции. Реальным становится проведение дисперсионного и корреляционного анализов, позволяющих выявлять значимость и статистическую зависимость факторов, что значительно расширяет возможности и повышает информативность эксперимента.

Представляет интерес преобразование случайного воздействия, когда характеристика самой системы (конструкции) изменяется случайным образом. Случайность параметров системы обусловлена, например, технологическими допусками производства, неоднородностью материалов, деталей, их старением и износом. Она может вызываться также неизбежными возмущающими воздействиями среды, что сказывается на усталостных характеристиках конструкции. Приближенные методы определения плотности вероятности выходного процесса (деформаций) нелинейной системы базируются, как правило, на основе нормализации негауссовских случайных процессов. Однако, как показано в ряде работ по радиофизике, даже в линейной системе при определенных условиях может происходить денормализация выходного сигнала. Подобные условия, содействующие образованию смеси распределений, могут существовать и в механике конструкций. В этих случаях приближенные методы анализа, основанные на свойстве нормализации, могут приводить к грубым и принципиально ошибочным результатам.

В свою очередь необходимо отождествление статистических данных результатов испытаний конструкций с моделями параметров-критериев и, следовательно, требуется развитие методов идентификации моделей распределения вероятностей случайных величин. Так как модель после возможного изменения свойств неизвестна, необходимо уметь определять состояние модельного объекта по экспериментальному полю, заданному в пространстве наблюдений. При этом возможны разновидности моделей для наблюдений, характеризующие как качественное (балка, пластинка, оболочка, конструкция), так и количественное состояние объекта (неизвестные значения коэффициентов уравнений). Требуются алгоритмы обработки эксперимента- льных данных, приводящие к решению о том или ином состоянии объекта (например, слоеная конструкция без брака или с расслоениями). Построение такого алгоритма в большинстве случаев сводится к выбору двух элементов: функции отклика, принимающей различные значения при подстановке конкретной реализации экспериментального материала, и правила принятия решения о состоянии объекта по значениям функции отклика.

Изложенное определяет актуальность решаемой в диссертации проблемы разработки математических методов, алгоритмического и программного обеспечения для анализа и оценивания состояния тонкостенных конструкций со структурными изменениями.

Недостаточная разработанность методов качественного анализа и количественного оценивания состояния конструкций с возможными изменениями параметров препятствуют решению задачи в практическом аспекте.

Цель работы.

Целью исследования является разработка расчетно-экспериментального метода, алгоритмов и программного обеспечения для анализа свойств и оценивания состояния тонкостенных каркасированных конструкций с возможностью приложения этих разработок к задачам определения работоспособности конструкций летательных аппаратов.

Для достижения этой цели в работе поставлены и решены следующие задачи:

1. Идентификация переменных параметров упругости тонкостенных конструкций, а также их балочных и пластинчатых элементов.

2. Обнаружение изменений свойств конструкций на основе теории стохастических процессов. Исследования проведены для следующего круга вопросов:

а) Преобразование случайных процессов в детерминированных статических и динамических системах (применительно к уточнению жесткостей по известной реакции конструкции).

б) Построение процедур оценивания (применительно к задачам, связанным с деградацией свойств материалов).

Научная новизна.

Новыми являются разработанным автором:

1. Решение задачи определения переменных параметров упругости тонкостенных конструкций итерационными алгоритмами с учетом пластических свойств материала.

2. Развитие методов идентификации переменных параметров упругости тонкостенных конструкций применительно к задачам термоупругости и ползучести.

3. Преобразование смещенных случайных процессов в конструкциях, описываемых уравнениями с квазидетерминированными операторами.

Практическая ценность.

Практическую ценность имеют:

· Методика, алгоритмы, программы идентификации жесткостных параметров конструкций и их элементов, как при их проектных значениях, так и в случае структурных изменений;

· подходы к решению задач обнаружения изменений свойств конструкций в целях диагностики.

Апробация работы. Основные пункты диссертационной работы докладывались тонкостенный конструкция статический упругость

- на XII и XIV Международных молодежных научных конференциях «Туполевские чтения», Казань, КГТУ им. А. Н. Туполева, 2004,2006 гг.;

- на I и II научно-технических конференциях зарубежных аспирантов и магистрантов КГТУ им. А. Н. Туполева, Казань, 2005, 2006 гг.;

- на VIII всероссийской молодёжной научной конференции с международным участием «Королёвские чтения», Самара, 2005 г.

Публикации. По материалам диссертации опубликованы две статьи, вышли тезисы докладов.

Объем работы. Работа состоит из введения, трех глав, заключения, приложения, списка использованной литературы и содержит 120 страниц машинописного текста, 9 таблиц, 30 рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении дается краткий обзор научной литературы, посвященный данной проблеме, рассматриваются основные проблемы решения обратных задач применительно к области прочности конструкций ЛА.

В первой главе дается общая характеристика как обратных задач вообще, так и применительно к области прочности ЛА. Рассматриваются современные возможности математики и средств вычислительной техники в решении обратных задач прочности. Предпочтение отдается численным методам с использованием разрешающих уравнений, приведенных к интегральному виду.

Рис.1. под «ВЫХОДОМ» - перемещения и деформации конструкции, определяющие ее напряженно-деформированное состояние, а «ОБЪЕКТ» представляет собой некоторую математическую модель, адекватно описывающую поведение исследуемой конструкции и связывающую ее «ВХОД» и «ВЫХОД». Задачи прочности, где в качестве исходных данных задан «ВЫХОД», относятся к обратным.

В первом параграфе рассматривается, что процессы нагружения и деформирования авиаконструкций могут быть представлены схемой показанной на рис.1, где в общем случае под «ВХОДОМ» понимается нагрузка, действующая на летательный аппарат,

В диссертации производится уточнение математической модели «ОБЪЕКТА» через идентификацию параметров модели, входящих в дифференциальные (интегральные) уравнения в качестве коэффициентов.

Во втором параграфе рассматриваются различные математические модели для расчета разных типов конструкций. Описаны их области применения недостатки и особенности.

Конструкции, результаты многочисленных исследований которых позволяют с большой точностью не учитывать депланацию сечений и поперечный сдвиг (практически круглая форма поперечного сечения, вырезы с мощной окантовкой), рассчитываются в диссертации по балочной схеме. С названными оговорками уравнения установившихся вынужденных колебаний участка такой конструкции после исключения времени берется в виде:

. (1)

Для рассмотрения более сложных тонкостенных конструкций с продольным набором (рис.2) в диссертации применяются уравнения Ю. Г. Одинокова:

. (2)

Здесь - модуль упругости, - площадь продольных ребер, и - некоторые коэффициенты, зависящие от геометрии конструкции, - некоторый коэффициент, зависящий от внешнего нагружения, - деформации, - перемещения продольных ребер конструкции или искажения сечения.

Рис.2. Цилиндрическая тонкостенная балка

Положенная в их основу модель позволяет найти общее решение дифференциальных уравнений искажения поперечного сечения конструкции. Она дает возможность рассматривать тонкостенные конструкции односвязного и многосвязного поперечных сечений произвольной формы, с большими вырезами, что имеет место в реальных задачах.

В третьем параграфе сравниваются достоинства различных численных методов решения прямых и обратных задач. В частности, описываются преимущества и недостатки метода конечных разностей, конечных элементов, конечных сумм (интегрирующих матриц).

В дальнейшем с использованием интегрирующих матриц, являющихся численными аналогами интегралов, уравнение приводится к матричному виду

(3)

для балочных моделейи

(4)

для моделей Ю. Г. Одинокова. Здесь и - интегрирующие матрицы первого и второго типа.

В итоге любая математическая модель сводится к системе алгебраических уравнений вида:

. (5)

Применяя к такой системе соответствующие методы, можно решать как прямые, так и обратные задачи.

В четвёртом параграфе показано, что область получения решения Х путем обращения матрицы А весьма ограничена по причине некорректности обратных задач по Ж. Адамару.

Как правило матрица А становится плохо обусловленной и погрешности задания ее коэффициентов и правой части В выводят задачу из класса корректных. На практике это выглядит в получении нерегулярного решения Х (рис.З).

Надежным, с точки зрения получения устойчивого решения обратных задач, способом, используя терминологию О. М. Алифанова, является приведение задачи к экстремальным постановкам, т.е.

. (6)

Для получения искомого решения в диссертации в ряде случаев используется метод минимизации квадрата невязки, когда организуется некоторый итерационный процесс, при этом варьируются и на каждой итерации уточняются коэффициенты, входящие в матрицу А.

В пятом параграфе кратко описаны некоторые математические методы обработки и использования результатов прочностного эксперимента, особенности измерений деформаций при повышенных температурах и ползучести.

Во второй главе рассматриваются задачи идентификации жесткостных характеристик конструкции. При этом интересующие нас параметры определяются в ходе непосредственного решения обратной задачи.

В первом параграфе рассматривается решение задачи идентификации для произвольно нагруженного кессона авиационной конструкции, находящейся в неравномерном температурном поле (Рис.4), одношаговым метода. При этом деформации элементов, работаю- щих на растяжение - сжатие, состоят из деформации теплового расширения и удлинения, вызван- ого напряжениями:

, (7)

а выражение деформации сдвига обшивки при этом не меняются.

Здесь, как и ранее, считаем справедливыми уравнения Ю. Г. Одинокова, записанные с учетом влияния температуры и разрешенные относительно столбца жесткостей , зная которые определяется , т.е.

, (8)

и тогда

. (9)

Для случая температурного поля, переменного по хорде (рис.4), результаты идентифицированного модуля упругости по длине 5-го стрингера представлены на рис.(5).

Расчет показал хорошую точность восстановления при моделировании погрешностей измерений в диапазоне ±2% и ±5%. Приведены примеры для других случаев нагружения.

Во втором параграфе представлена методика, аналогичная методу переменных параметров упругости, известному по решению прямых задач за пределом пропорциональности, и развития для восстановления диаграмм деформирования элементов ( стрингеров и обшивки рис.6) тонкостенной авиационной конструкции на основе модели Ю. Г. Одинокова. Решение проводится без процедуры регуляризации.

Рис.6. Диаграммы деформирования элементов конструкций общего вида

В соответствии с предложенным подходом решается обратная задача, когда по результатам измерений в эксперименте деформаций продольных элементов конструкции, а также её прогибов и углов закручивания, осуществляется корректировка диаграмм напряжение-деформация, известных ранее по испытаниям образцов материалов.

В нулевом приближе- нии модули и определяются по номина- льным значениям, взятым из справочника.

Далее, исходя из равенства теоретических и экспериментальных напря- жений вносится поправка для модулей упругости, которые в нелинейной области принимаются за секущие модули. Расчет ведется методом итерации (рис.7.). Рассмотрен пример для восьмипоясного кессона (рис.8).

Восстановленные диаграммы деформирования (рис.9 и рис.10.) показывают высокую устойчивость счета, не требующую применения трудоёмкой процедуры регуляризации.

Рис.9. Диаграмма деформирования пятого ребра в сечении z=0,20 м

Рис.10. Диаграмма деформирования седьмой панели в сечении z=1,80 м

В третьем параграфе приведённые выше задачи рассматриваются с позиции теории старения, т.е. предполагается, что и связаны функциональной зависимостью, содержащей явно время. Известно, что расчет по теории старения приводится к обычному расчету на пластичность при кривой деформирования, зависящей от времени. На практике первичные кривые ползучести перестраиваются в так называемые изохронные кривые. Схема такой перестройки показана на рис.(11).

Ю. Н. Работновым было установлено, что для многих материалов изохронные кривые и уравнение изохорных кривых может быть подставлено следующим образом:

. (10)

Зависимость (10) определяет мгновенную кривую деформирования, которая в действительном эксперименте получены быть не может, но может быть получена из серии изохорных кривых ползучести.

С целью теоретического нахождения (10) для элементов тонкостенной конструкции по результатам измеренных в эксперименте деформаций рассматриваем цилиндрическую тонкостенную балку, загруженную поперечной и осевой нагрузкой при произвольных краевых условиях.

Относительные удлинения в i-м элементе конструкции в данном случае состоит из трех частей

, (11)

где является следствием мгновенных нормальных напряжений, возникающих от силового воздействия, и являются результатом ползучести и температурной деформации.

Неизвестные значения секущих модулей находим методом последовательных приближений, изложенным при решении задачи прочности с учетом пластических свойств материала. Результаты восстановленных изохронных кривых и кривых ползучести для материала 3-го стрингера кессона приведены на рис.12 и рис.13.

Рис.13. Кривые ползучести

В четвёртом параграфе на базе балочной и пластинчатой модели показано, что описание деформативных свойств упругих систем на основе функции Грина и коэффициентов влияния позволяет достаточно просто находить решения для различных случаев нагружения при условии, что ядро интегрального уравнения равновесия или движения известно.

Для теоретического нахождения функции Грина, как правило, требуется решить дифференциальное уравнение, в котором входной сигнал заменён на функцию. В этом случае определение функции Грина связано с преодолением значительных математических трудностей.

В диссертации функцию влияния предлагается определять из эксперимента с балкой или пластинной в зависимости от используемой расчетной модели. А для нахождения требуемой зависимости между прогибом и единичной нагрузкой применён теоретико-экспериментальной метод А. В. Саченкова. К достоинствам данного подхода следует отнести возможность получения при практически одной трудоёмкости многочисленных решений в виде нагрузки - прогиб для пластин различной формы в плане, анизотропии упругих свойств и больших прогибах.

Определённая таким образом функция влияния позволяет найти распределение жесткости особенно просто в случае балки, так как в этом случае достаточно продифференцировать выражение

(12)

Наличие приближенного выражения для из-за аппроксимации известных из эксперимента и всегда приближенных результатов измерений может приводить и большим погрешностям при определении или . Поэтому предлагается использовать функцию влияния как самостоятельную характеристику жесткости податливости конструкции, т.к. через нее без явного выражения или можно определять прогибы и частоты колебаний.

В качестве общего подхода для уточнения жесткостей предлагается использовать метод, основанный на минимизации минимума квадрата невязки

. (13)

При этом решение обратной задачи сводится к последовательности решений прямых задач по известной формуле для определения прогиба

(14)

где в функции влияния варьируются величины секущих модулей. Рассмотрены примеры изменения упругих характеристик под влиянием нагрева.

В третьей главе обратные задачи прочности решаются в вероятностной постановке.

В первом параграфе рассматривается решение обратных задач прочности в вероятностной постановке в общем виде. Элементы «входа» и «выхода» , а также параметры исследуемого «объекта» (рис.1), характеризующегося некоторым оператором , в самом общем случае являются стохастическими. Считается, что вероятностная мера «выхода» известна и может быть определена в виде некоторого теоретического закона распределения. Тогда, обратная задача прочности в вероятностной постановке сводится либо к определению вероятностной меры параметров «входа» (при детерминированных параметрах «объекта») либо к определению вероятностной меры параметров «объекта» (при детерминированных параметрах «входа»). Предполагается, что рассматриваемые задачи являются квазистатическими и между «выходом» и «входом» системы известна однозначная детерминистическая зависимость:

(15)

где - вектор случайных параметров стохастической системы с известным законом распределения. Более того, предполагается, что система детерминирована, и детерминистическую зависимость удается получить в виде:

(16)

где - некоторый известный коэффициент, определяемый решением детерминистической задачи.

Задача нахождения вероятностной меры, например, закона распределения выходных параметров системы , является в общем случае весьма непростой задачей, но, полагаем, что закон распределения «выхода» можно всегда тем или иным способом найти, т.е. считается, что всегда известен. Тогда, пользуясь правилами нахождения закона распределения функций случайного аргумента можно найти закон распределения параметров «входа»:

. (17)

Например, если закон распределения выходных параметров является нормальным законом распределения с известными параметрами и , то и на «входе» получаем также нормальный закон распределения с параметрами

.

Во втором параграфе приведен пример однофакторного дисперсионного анализа. Используя результаты математического моделирования процесса колебаний балок, находящихся под действием повышенных температур, устанавливается уровень температуры, существенно влияющий на деформацию балок. Расчет произведен методом конечных элементов с использованием пакета программ NASTRAN для ряда схем закрепления и нагружения балок. Показана эффективность применения дисперсионного анализа для выявления изменение свойств конструкции.

В третьем параграфе содержатся краткие, систематизированные в печати сведения из теории различных вероятностных смесей случайных явлений. Приводятся примеры естественного смешивания. Представлены методы анализа статических и динамических систем со случайными параметрами. Случайность параметров реальных элементов конструкций вызывается возмущающими воздействиями внешней среды, неизбежными технологическими погрешностями производства и проявляется трещинами, непроклеями, начальными неправильностями и прочими факторами, которые могут действовать на поведение конструкции разным образом, в том числе приводя к негауссовскому, в общем случае, распределению случайных величин.

Рассмотрены следующие виды преобразования смешанных случайных воздействий:

а) характеристика системы детерминированная, но воздействие, а следовательно, и реакция (процесс на выходе) - стохастическая;

б) характеристика системы изменяется случайным образом, воздействие детерминированное, а реакция - стохастическая;

в) и воздействие, и характеристика системы, следовательно, и ее реакция изменяются случайным образом. Система со стохастическим поведением представляется в виде схемы;

Здесь - квази- детерминированный оператор преобразования случайных входных процессов в выходные; - функция внешнего или внутреннего воздействия среды; и - плотности вероятности входного сигнала и (возмущающего) воздействия ; - плотность вероятности реакции системы ; - время; - вектор пространственных координат.

В дальнейшем, рассматривая статические системы, внутреннюю случайную величину будем интерпретировать как дополнитель- ное случайное воздействие на входе детерминированной системы. При этом оказывает возмущающее воздействие на параметры системы. Это приводит к естественному смешиванию случайных выходных процессов при их преобразовании в системе, т.е. эффекту естественного образования смеси распределений.

В заключении параграфа приводятся примеры определения жесткостных характеристик на базе вероятностных смесей случайных процессов. Показано, что в одних случаях модель остается состоятельной и после внесения поправок в значения жесткостных характеристик конструкции, а в других от их уточнение следует переходить к другой модели.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. На базе модели Ю. Г. Одинокова с помощью одношагового алгоритма решена обратная задача термоупругости для тонкостенной конструкции, работающей в условиях нагрева.

2. Предложен алгоритм расчета и решена задача восстановления нелинейного участка кривой деформирования для элементов тонкостенной конструкции, работающая за пределом пропорциальности.

3. Предложен алгоритм и решена задача построения изохронных кривых для конструкции, находящейся в условиях установившейся ползучести.

4. Предложена методика применение в целях идентификации экспериментально найденных функций Грина.

5. Предложена методика обнаружения явлений деградаций структуры материала конструкции путем анализа закона плотности распределения выходных параметров (деформации, местной перегрузки, кривизны и т. п.).

ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ СЛЕДУЮЩИЕ РАБОТЫ

1. Крер М. М. К вопросу идентификации механических характеристик балок при повышенных температурах. Тезисы докладов XII Туполевских чтений: Международная молодежная научная конференция. Казань, КГТУ им А.Н.Туполева. 2004, С. 26-27.

2. Крер М. М. К вопросу о диаграммах деформирования неравномерно нагретых элементов крыла. Тезисы докладов I научно-технической конференции зарубежных аспирантов и магистрантов КГТУ им. А. Н.Туполева. Казань, 2005, с. 21.

3. Крер М. М. Об исследовании поведения конструкции за пределами пропорциональности в условиях кратковременной ползучести. Тезисы докладов VIII Королёвских чтений: Всероссийская молодёжная научная конференция с международным участием. Самара, СГАУ им. С. П. Королёва. 2005, с. 93.

4. Крер М. М. Решение задачи идентификации для кессона авиационной конструкции, находящейся в температурном поле. Материалы II научно-технической конференции зарубежных аспирантов и магистрантов КГТУ им. А. Н.Туполева. Казань, 2006, С. 22-25.

5. Крер М. М. О применении функции Грина для анализа жесткости конструкций. Тезисы докладов XIV Туполевских чтений: Международная молодежная научная конференция. Казань, КГТУ им А.Н.Туполева. 2006, С.42-44.

6. Костин В. А., Крер М. М. О восстановления диаграмм деформирования с учетом пластических деформаций // Вестник КГТУ им. А. Н.Туполева. 2006. № 4. С. 4-8.

Размещено на Allbest.ru