Кинематика материальной точки

Размещено на http://www.allbest.ru/

Кинематика материальной точки

1. Пространство и время. Механическое движение

Механическое движение - это изменение положения тела в пространстве с течением времени. Измерение времени может быть произведено с помощью такого процесса, который периодически повторяется (например, часы). В классической механике время не зависит от свойств тел и скорости их движения.

Основная задача механики заключается в том, чтобы, зная начальное положение тела, а также законы, управляющие движением, определить его положение во все последующие моменты времени.

Тело, размерами которого можно пренебречь в данных условиях, называется материальной точкой.

Для того чтобы получить возможность описывать движение количественно, приходится с телом отсчета связывать какую-либо (например, декартову) систему координат. Тогда положение точки А можно однозначно определить, задав три числа (x, y, z) - координаты этой точки (рис. 1.1).

Положение точки относительно точки отсчета можно задать и радиус-вектором , соединяющим данную точку с телом отсчета. Если при координатном и радиус-векторном задании положения материальной точки использована одна и та же точка отсчета и одни и те же часы, то , где - единичные орты осей. При движении тела с течением времени координаты материальной точки изменяются, т.е. они являются некоторыми функциями времени: . Эта система трех скалярных уравнений эквивалентна векторному уравнению .

Пусть материальная точка при своем движении переместилась из точки А в точку В (рис. 1.2). Линия, описываемая концом радиус-вектора при движении точки, называется траекторией. В зависимости от формы траектории различают прямолинейное и криволинейное движение.

Длина участка траектории АВ, все точки которого пройдены однократно, называется пройденным путем dS.

Направленный отрезок прямой, соединяющий начальное положение точки с ее конечным положением называется вектором перемещения (рис.1.2)

.

2. Скорость и ускорение точки

Под скоростью понимают векторную величину, характеризующую не только быстроту изменения координаты точки (или радиус-вектора), но и направление, в котором движется точка в данный момент времени. Разобьем траекторию точки на малые участки длины (рис. 1.3). Каждому участку сопоставим малое перемещение .

Разделив это перемещение на соответствующий промежуток времени , получим среднюю скорость точки за это время

.

Предел, к которому стремится средняя скорость, при называется мгновенной скоростью точки

.

Мгновенная скорость есть первая производная от координаты по времени. Вектор мгновенной скорости направлен по касательной к траектории в данной точке.

Очевидно, что

и .

И тогда можно утверждать, что

 .

В случае прямолинейного движения ось координат можно направит вдоль прямой, по которой движется точки и тогда

, .

Путь, пройденный телом за время dt, очевидно, будет равен (выделенный участок на рисунке 1.4) или

.

Если изобразить графически зависимость , то пройденный путь можно представить как площадь фигуры, ограниченной осями координат, кривой и моментом времени (рис. 1.4).

При равномерном движении и тогда отсюда - это и есть кинематическое уравнение равномерного прямолинейного движения. скорость обращение тело кинематика

Среднее значение модуля скорости (средняя путевая скорость) в этом случае определяется по формуле .

При неравномерном движении скорость точки изменяется как по величине, так и по направлению. Пусть за время скорость точки изменилась на величину . Векторная величина

называется средним ускорением точки, а предел, к которому стремится среднее ускорение при , называется мгновенным ускорением

.

Мгновенное ускорение есть первая производная от скорости по времени или вторая производная от радиус-вектора по времени.

При равноускоренном движении и тогда . Произвольную постоянную С можно найти из начальных условий, если в момент времени , то С = и . Для пути пройденного телом при равноускоренном движении получим . Кинематическое уравнение движения будет иметь вид

.

В случае криволинейного движения вектор ускорения может образовывать с вектором скорости произвольный угол. Разложим вектор ускорения на две составляющие, одну из которых направим вдоль вектора скорости (тангенциальная составляющая), а вторую - в направлении перпендикулярном ему (рис. 1.5.) При этом .

Тангенциальное ускорение характеризует изменение скорости по величине и поэтому и направлено вдоль вектора скорости, т.е. по касательной к траектории. Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению. Величина нормального ускорения .

Нормальное ускорение, будучи перпендикулярно к вектору скорости, являющейся касательной к траектории, направлено по радиусу к центру окружности и поэтому иногда называется центростремительным ускорением.

3. Кинематика вращательного движения

Абсолютно твердым телом, называется тело деформациями которого можно пренебречь в данных условиях. Всякое движение твердого тела можно разложить на поступательное и вращательное.

При вращательном движении все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной прямой, называемой осью вращения. Ось вращения может проходить через тело, но может находиться и вне тела.

Пусть тело вращается вокруг оси (рис. 7). В начальный момент времени положение точки С определяется радиусом R. Положение точки через промежуток времени (точка В) можно задать углом , на который поворачивается радиус-вектор, соединяющий точку с осью вращения - угол поворота (рис. 1.6). Угол поворота определяется отношением длины дуги ВС к радиусу окружности, т.е.

,

измеряется в радиан.

Величину равную отношению угла поворота к промежутку времени, в течение которого совершен этот поворот, называют средней угловой скоростью,

,

а предел, к которому стремится средняя скорость при называется мгновенной угловой скоростью,

.

Угловая скорость есть первая производная от угла поворота по времени. Угловая скорость - псевдовектор и его направление определяется с помощью правила правого винта. Если головку правого винта вращать в направлении вращения тела, то направление поступательного движения винта даст направление вектора угловой скорости.

Пусть за время dt тело повернулось на угол . Точка, находящаяся на расстоянии R от оси вращения, пройдет при этом расстояние . Линейная скорость точки

.

Периодом обращения называется промежуток времени, в течение которого тело совершает полный оборот, и тогда, .

Частота обращения и, следовательно, .

При неравномерном вращении за время угловая скорость изменилась на величину , тогда величину

называют средним угловым ускорением, а предел, к которому стремится среднее ускорение при , называется мгновенным угловым ускорением, т.е.

.

Угловое ускорение есть первая производная от угловой скорости по времени или вторая производная от угла поворота по времени.

Так как , то

.

Аналогия между формулами кинематики поступательного и вращательного движения

Линейные и угловые величины связаны между собой , и .

Размещено на Allbest.ru