Характеристика механических колебаний

Размещено на http://www.allbest.ru/

Механические колебания

Введение

Колебаниями называются процессы, отличающиеся той или иной степенью повторяемости. В зависимости от физической природы процесса различают: механические и электромагнитные колебания.

Свободными или собственными колебаниями называются колебания, которые происходят в системе, предоставленной самой себе после того, как система была выведена из положения равновесия. Вынужденные колебания происходят под действием внешней периодически изменяющейся силы. Автоколебания, сопровождаются внешним воздействием на систему, но моменты этого воздействия задаются самой системой, т.е. система сама управляет внешним воздействием. При параметрических колебаниях за счет внешнего воздействия происходит изменение какого-либо параметра системы (например, длины нити математического маятника). Простейшими являются гармонические колебания, т.е. колебания при которых некоторая физическая величина изменяется по закону синуса или косинуса.

1. Малые колебания

Рассмотрим механическую систему, положение которой может быть задано с помощью одной величины, которую обозначим за «х».

В этом случае потенциальная энергия системы будет функцией одной переменной «х», т.е. . Пусть система обладает положением устойчивого равновесия. В этом положении потенциальная энергия имеет минимальное значение. Условимся координату х и потенциальную энергию отсчитывать от положения равновесия, тогда .

Разложим функцию в ряд по степеням х, причем ограничимся рассмотрением малых колебаний, так что высшими степенями х можно пренебречь.

.

Так как , то введя обозначение получим,

Коэффициент называется жесткостью и является характеристикой колеблющейся системы в целом.

Найдем силу, действующую на систему

.

Силы вида , независимо от их природы, получили название квазиупругих сил. Они всегда направлены к положению равновесия и пропорциональны смещению системы от положения равновесия. Система, движущаяся под действием квазиупругой силы, называется одномерным гармоническим осциллятором. Согласно второму закону Ньютона, в одномерном случае, получим . В случае гармонического осциллятора и тогда . Если ввести обозначение , то последнее выражение можно преобразовать к виду

.

Это уравнение описывает движение одномерного гармонического осциллятора. Величина называется собственной частотой колебаний системы.

Рассмотрим некоторые примеры.

а) Пусть груз массой подвешен к пружине с жесткостью . В положении равновесия сила тяжести уравновешена силой упругости пружины , т.е. . Направим ось х вниз, а начало отсчета совместим с положением равновесия системы. Тогда при смещении груза в положение, координата которого будет равна (рис. 7.1), на него будут действовать две силы - сила тяжести и сила упругости пружины . Равнодействующая этих сил .

Это означает, что равнодействующая силы тяжести и силы упругости пружины является квазиупругой силой и колебания груза, подвешенного к пружине, будут описываться уравнением вида .

б) Рассмотрим твердое тело способное совершать колебания относительно оси, не совпадающей с центром масс, так называемый физический маятник (рис. 7.2). Из основного уравнения динамики вращательного движения , где для малых колебаний можно получить . Вводя обозначение , получим уравнение , которое аналогично, полученному ранее.

в) Математическим маятником называется материальная точка, подвешенная на нерастяжимой нити. Реальный маятник, у которого масса тела во много раз больше массы нити, а размеры тела во много раз меньше длины нити, можно считать математическим (рис. 7.3). Учитывая, что момент силы тяжести и момент инерции точки из динамического уравнения вращательного движения можно получить , где .

Вывод: во всех случаях колебания описываются одним и тем же уравнением вида , совпадающим с уравнением движения классического гармонического осциллятора.

2. Гармонические колебания

Рассмотрим колебания описываемые уравнением . Общее решение этого однородного дифференциального уравнения

,

где - произвольные постоянные, обусловленные начальными условиями. График гармонического колебания представлен на рисунке 7.4.

Величина наибольшего отклонения системы от положения равновесия называется амплитудой колебания. Величина называется фазой колебания, а - начальная фаза. С изменением начала отсчета времени будет изменяться и начальная фаза. Периодом колебания называется промежуток времени в течение, которого фаза колебания изменяется на , т.е. система совершает одно полное колебание, . Тогда для:

пружинного маятника - ,

физического маятника - ,

математического маятника - .

Дифференцируя уравнение по времени можно найти выражения для скорости и ускорения тела при гармоническом колебании:

Квазиупругая сила является консервативной силой и поэтому полная механическая энергии колеблющейся системы остается величиной постоянной.

3. Затухающие колебания

Во всякой реальной системе имеются силы сопротивления, действие которых приводит к уменьшению энергии системы, т.е. затуханию колебаний. Наиболее часто встречается случай, когда сила сопротивления пропорциональна скорости, т.е.

.

Уравнение второго закона Ньютона в этом случае будет иметь вид . Введем обозначения и тогда это уравнение примет вид:

.

Решение этого дифференциального уравнения в случае малого затухания можно представить в виде:

,

где .

Гармонический множитель в этом выражении ответственен за колебание, а множитель представляет собой амплитуду колебания. Следовательно, это решение можно рассматривать как гармоническое колебание, амплитуда которого с течением времени изменяется по экспоненциальному закону (рис. 7.5). Затухающее колебание происходит с частотой меньшей, чем частота собственных колебаний .

Величина называется коэффициентом затухания. Определим время в течение, которого амплитуда колебания уменьшается в «е» раз. Если в момент времени амплитуда колебания , а в момент времени - , то

.

По условию , следовательно, , и

.

Коэффициент затухания численно равен обратному значению промежутка времени , в течение которого амплитуда колебания уменьшается в «е» раз. колебание математический маятник затухание

Затухание колебаний принято характеризовать так называемым логарифмическим декрементом затухания - натуральным логарифмом отношения двух амплитуд колебания, отстоящих друг от друга на время равное периоду (см. рис. 7.5).

.

Обозначим логарифмический декремент затухания буквой , т.е.

.

Так как то, для логарифмического декремента затухания получим . Величина - число колебаний, которое должна совершить система, чтобы амплитуда колебания уменьшилась в «е» раз. Следовательно, логарифмический декремент затухания численно равен величине обратной числу колебаний, в течение которых амплитуда колебания уменьшается в «е» раз,

.

Для характеристики колебательной системы часто используют величину

называемую добротностью системы.

4. Вынужденные колебания

Рассмотрим систему, на которую действует внешняя периодическая сила, изменяющаяся по закону . Дифференциальное уравнение, описывающее колебания такой системы будет иметь вид:

, 7.18

где .

Решение этого неоднородного дифференциального уравнения надо искать в виде суммы двух слагаемых:

,

где , и

,

,

а .

Первое слагаемое играет заметную роль только в начальной стадии процесса, при так называемом установлении колебаний. С течением времени роль этого слагаемого уменьшается ввиду наличия множителя и по прошествии достачного времени им можно пренебречь.

Следовательно, второе решение описывает установившиеся вынужденные колебания. Они представляют собой гармонические колебания с частотой, равной частоте вынуждающей силы (рис. 7.6). Амплитуда вынужденных колебаний зависит от амплитуды вынуждающей силы и ее частоты. Зависимость амплитуды колебаний от частоты приводит к тому, что при некоторой частоте амплитуда вынужденного колебания достигает максимального значения. Это явление получило название резонанса, а соответствующая частота - резонансной частоты.

Дифференцируя выражение по частоте, и приравнивая производную к нулю можно найти резонансную частоту:

.

В случае малого затухания можно считать, что .

Величину называют добротностью

.

Добротность системы показывает во сколько раз увеличивается амплитуда колебания при резонансе по сравнению с отклонением системы от положения равновесия под действием постоянной силы.

5. Векторная диаграмма

Решение ряда задач значительно облегчается и становится наглядным при использовании метода векторных диаграмм.

В основе метода лежит понятие вращающегося вектора. Возьмем ось «х» и из точки О отложим вектор длины под углом к оси «х» (рис. 7.8). Если привести вектор во вращение с угловой скоростью , то проекция конца этого вектора на ось «х» будет перемещаться по оси «х» в пределах от , при этом координата будет изменяться по закону .

Следовательно, проекция конца вектора на ось будет совершать гармоническое колебание с амплитудой равной длине вектора , и частотой равной угловой скорости вращения . Следовательно, гармоническое колебание может быть представлено с помощью вектора, длина которого равна амплитуде колебания, а направление вектора образует с осью «х» угол, равный начальной фазе колебания . Отсчет угла - фазы колебания ведется от оси «х» в направлении против часовой стрелки.

6. Сложение колебаний происходящих вдоль одной прямой

Пусть точка совершает два колебания, происходящих вдоль одной прямой с одинаковой частотой, описываемых уравнениями:

.

Представив оба колебания в виде векторов и сложив их по правилу сложения векторов можно получить результирующее колебание. Результирующему колебанию соответствует вектор, проекция которого на ось «х» равна сумме проекций исходных колебаний, т.е. (рис. 7.9).

Запишем результирующее колебание в виде

.

Из рисунка

и .

Интерес представляют частные случаи:

1),

т.е. ;

2),

т.е. ;

3) , .

Особый интерес представляет случай, когда частоты двух складываемых колебаний не совпадают друг с другом, но мало отличаются друг от друга. Пусть , причем . Тогда слагаемые колебания могут быть представлены в виде:

,

а их сумма

.

Множитель изменяется гораздо медленнее, чем второй множитель. Ввиду условия за время, в течение которого множитель совершает несколько полных колебаний, почти не изменяется. Это дает возможность рассматривать результирующее колебание как гармоническое колебание частоты , амплитуда которого, медленно изменяется по некоторому закону. Такие колебания получили название биений (рис. 7.10).

7. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

Допустим, что материальная точка может совершать колебания в двух взаимно перпендикулярных направлениях. Если возбудить оба этих колебания, то точка будет двигаться по некоторой траектории, вид которой зависит от разности фаз складываемых колебаний. Пусть колебания заданы уравнениями

,

которые являются координатами движущейся точки, заданными в параметрической форме.

Исключив из этих уравнений параметр, получим уравнение траектории точки. Сделаем некоторые математические преобразования и получим

.

Это уравнение представляет собой общее уравнение траектории материальной точки, совершающей два взаимно перпендикулярных колебания.

Рассмотрим частные случаи.

, , тогда ;

в этом случае траектория - отрезок прямой, проходящий через начало координат (рис. 7.11а).

и тогда ;

в этом случае траекторией материальной точки является эллипс, вытянутость и ориентация которого на плоскости зависят от (рис. 7.11б). При эллипс превращается в окружность.

Если частоты колебаний не совпадают, то траектория имеет вид довольно сложных кривых, называемых фигурами Лиссажу. Например, при , и разности фаз равной траектории будут иметь вид изображенный на рисунке 7.12.

Размещено на Allbest.ru