Изгиб. Эпюры моментов. Деформации и напряжения

Размещено на http://www.allbest.ru/

Изгиб. Эпюры моментов. Деформации и напряжения

1. Общие определения. Метод сечений

Если брус нагружен силой, перпендикулярной в его оси, или силовым моментом, действующим в плоскости, проходящей через эту ось, то такой вид нагружения называется изгибом. Будем рассматривать только изгиб прямого бруса - балки. При этом будем различать чистый изгиб и поперечный изгиб.

Чистый изгиб - это деформированное состояние балки, при котором в ее поперечном сечении возникает только один силовой фактор - изгибающий момент.

Поперечный изгиб предполагает наличие в поперечном сечении балки, наряду с моментом, поперечных сил (рис. 1).

Рис. 1

Плоскость, проходящая через ось балки и совпадающая с одной из плоскостей симметрии, называется главной плоскостью балки. Если момент и силы действуют в главной плоскости балки, то поперечный изгиб называется прямым (в отличие от косого).

Для определения напряжений в материале нагруженной балки используют метод сечений. Балка располагается горизонтально, рассекается по расчетному сечению и одна из ее частей отбрасывается. Внутренние силы и моменты в расчетных сечениях находятся из условий статического равновесия оставшейся части балки. При этом соблюдается следующее правило знаков.

Внешние силы, расположенные слева от расчетного сечения и направленные вверх, считаются положительными, вниз - отрицательными. Внешние силы, расположенные справа от расчетного сечения и направленные вверх, считаются отрицательными, вниз - положительными.

Внешние изгибающие моменты, действующие слева от расчетного сечения и направленные по часовой стрелке, считаются положительными, против часовой стрелке - отрицательными. Внешние изгибающие моменты, действующие справа от расчетного сечения и направленные по часовой стрелке, считаются отрицательными, против часовой стрелке - положительными. Таким образом, изгибающий момент в сечении балки будет положительным, если он действует так, что балка изгибается выпуклостью вниз, и отрицательным в противоположном случае.

В качестве примера определения внутренних сил и моментов в расчетных сечениях рассмотрим случай нагружения, показанный на рис. 1. Консольно защемленную балку располагаем горизонтально (рис. 2а), изгибающий момент М приложен к концу балки, поперечная сила располагается на расстоянии а от конца балки и на расстоянии b от заделки.

Рис. 2

На участке а рассмотрим сечение I-I, расположенное на расстоянии х₁ от конца балки. Часть балки справа от этого сечения отбрасываем. Внутренний момент найдем из условия статического равновесия оставшейся части балки (рис. 2б) с учетом правила знаков:

Такое равенство будет соблюдаться в любом сечении на участке а, то есть, на этом участке имеет место чистый изгиб.

На участке б рассмотрим сечение II-II, расположенное на расстоянии х₂ от конца балки. Часть балки справа от этого сечения отбрасываем. Внутреннюю силу и момент найдет из условия статического равновесия оставшейся части балки (рис. 2б) с учетом правила знаков:

На участке b балки имеет место поперечный изгиб.

2. Эпюры моментов и поперечных сил

Полную картину распределения поперечных сил и изгибающих моментов по длине балки можно получить, построив эпюры сил и моментов.

Рассмотрим методику построения эпюр для некоторых простейших случаев нагружения.

На рис. 3 показана консольная балка, нагруженная двумя равными поперечными силами. Чтобы получить эпюры сил и моментов на участке а рассмотрим произвольное сечение I-Iна этом участке.

Действуя, как показано выше, получим:

Рис. 3

Так как 0 x₁a, то 0 М_ИFa. В соответствии с этим, эпюра поперечных сил на участке а представляет собой горизонтальную линию, отстоящую от оси на положительную величину F. Эпюра изгибающих моментов - это наклонная прямая, ордината которой равна нулю в начале участка и Fa - в конце.

Для получения эпюр на участке b рассмотрим произвольное сечение II-II на этом участке. Поперечная внутренняя сила Q равна алгебраической сумме внешних сил слева от сечения, внутренний изгибающий момент M_И равен алгебраической сумме моментов внешних сил Fотносительно центра сечения:

Значит, на участке b поперечная сила отсутствует, а изгибающий момент постоянен, положителен и равен Fa.

На рис. 4 показана однопролетная двухопорная балка с двумя шарнирными опорами, допускающими поворот сечения балки при изгибных деформациях.

Причем, левая опора является шарнирно-неподвижной, а правая - шарнирно-подвижной, допускающей поступательное смещение вдоль опорной плоскости. Это бывает необходимо для компенсации возможного изменения длины балки при изгибных или температурных деформациях. Так устанавливаются и длинные валы машин - один из подшипников таких валов может смещаться в осевом направлении, так как не закреплен жестко.

Рис. 4

Балка нагружена поперечной силой F. При такой расчетной схеме необходимо сначала определить реакции в опорах R_Aи R_B. РакциюR_A найдем, приравняв нулю сумму моментов сил относительно точки В:

Отсюда:

(14.1)

Реакцию R_B найдем, приравняв нулю сумму моментов относительно точки А:

Откуда:

(14.2)

Теперь, для получения эпюр поперечных сил и изгибающих моментов, аналогично предыдущему, рассматриваем сечение I-I на участке а:

Причем, так как 0 x₁a, то 0 М_ИR_Aa. В соответствии с этим, эпюра поперечных сил на участке а представляет собой горизонтальную линию, отстоящую от оси на положительную величину R_A. Эпюра изгибающих моментов - это наклонная прямая, ордината которой равна нулю в начале участка и R_Aa - в конце.

В сечении II-IIна участке b (с учетом (14.1) и (14.2)):

Здесь а х₂ а + b, следовательно (с учетом (16.1)) R_Aа M_И 0. Значит, эпюра поперечных сил на участке b представляет собой горизонтальную линию, отстоящую от оси на отрицательную величину -R_A. Эпюра изгибающих моментов - это наклонная прямая, ордината которой равна R_Aa в начале участка и нулю - в конце.

На рис. 14.5 показана однопролетная двухопорнаябалка, нагруженная изгибающим моментом М. Сначала определяем реакции в опорах R_Aи R_B.

РакциюR_Aнайдем, приравняв нулю сумму моментов сил относительно точки В:

Отсюда:

(14.3)

Реакцию R_Bнайдем, приравняв нулю сумму моментов относительно точки А:

Рис. 5

Откуда:

Теперь, для получения эпюр поперечных сил и изгибающих моментов, аналогично предыдущему, рассматриваем сечение I-I на участке а:

Причем, так как 0 x₁a, то 0 М_ИR_Aa. В соответствии с этим, эпюра поперечных сил на участке а представляет собой горизонтальную линию, отстоящую от оси на положительную величину R_A. Эпюра изгибающих моментов - это наклонная прямая, ордината которой равна нулю в начале участка и R_Aa - в конце.

В сечении II-IIна участке b (с учетом (14.1) и (14.2)):

Здесь а х₂ а + b, следовательно (с учетом (14.3) - R_AbM_И 0. Эпюра поперечных сил на участке b представляет собой горизонтальную линию, отстоящую от оси на положительную величину R_A, так же, как на участке а. Эпюра изгибающих моментов - это наклонная прямая, ордината которой равна -R_Ab в начале участка и нулю - в конце.

3. Деформации и напряжения. Условие прочности

Изгибающие моменты и поперечные силы, действующие на балку, деформируют ее и вызывают появление двух типов напряжений. В самом простом случае это выглядит так. Горизонтальная двухопорная балка под действием вертикальной силы, направленной вниз, прогибается между опорами. При этом нижние слои балки растягиваются, а верхние - сжимаются, то есть, в нижних слоях материала балки возникают нормальные (перпендикулярные к плоскости сечения балки) напряжения растяжения, а в верхних - нормальные напряжения сжатия. Это результат действия изгибающих моментов (рис. 4). Результатом действия поперечных сил является появление напряжений среза - касательных напряжений, действующих в плоскости сечения балки.

Многочисленные исследования и длительная практика эксплуатации нагруженных балок показали, что наиболее опасными, определяющими работоспособность конструкции, являются нормальные напряжения растяжения в сечениях балки в результате действия изгибающих моментов. Поэтому, в большинстве случаев, при любом способе нагружения, расчет балок производится с учетом только изгибающих моментов.

Рассмотрим деформированное и напряженное состояние балки под действием изгибающего момента. Если на прямую балку произвольного сечения действуют изгибающие моменты, то она изогнется так, как показано на рис. 6а. При этом верхние продольные слои балки будут сжаты, то есть, длина их станет меньше первоначальной, а нижние - растянуты и их длина станет больше первоначальной. Между ними существует слой, который при изгибе балки не изменит свою длину. Такой слой называется нейтральным. Пересечение этого слоя с поперечным сечением балки образует нейтральную ось. Расположение нейтральной оси зависит от формы поперечного сечения, как правило, эта ось проходит через центр тяжести сечения и характеризуется расстоянием h от нижней границы этого сечения (рис. 6б).

Рис. 6

Выше было сказано, что наиболее опасным с точки зрения прочности являются напряжения растяжения в растянутых волокнах балки. Поэтому рассмотрим деформацию внешнего (растянутого) слоя балки с некоторыми упрощениями и допущениями.

Выделим элементарный участок балки, ограниченный двумя поперечными сечениями, находящимися на расстоянии dx друг от друга. Будем считать, что при изгибе нейтральный слой этого элементарного участка изгибается по дуге окружности с радиусом (рис. 6в), но сохраняет свою первоначальную длину. Сечения, расположенные по краям участка поворачиваются друг относительно друга на угол d, но остаются плоскими. Длина дуги внешнего слоя балки, отстоящего от нейтрального слоя на расстояние h, стала больше на величину абсолютного удлинения:

Относительное удлинение внешней дуги:

Так как dx = d, то d/dx = 1/. Тогда:

По закону Гука напряжение во внешнем слое, отстоящем на расстоянии hот нейтрального:

(14.4)

Отсюда можно сделать вывод, что нормальные напряжения в поперечном сечении изогнутой балки прямо пропорциональны расстояниям у от рассматриваемых точек до нейтральной оси:

(14.5)

Из формулы (14.5) следует: = 0 при у = 0 и = _maxпри у = h, то есть нормальное напряжение растяжения равно нулю на нейтральном слое и достигает максимального значения в наиболее удаленных от этой оси волокнах выпуклой части балки (рис. 7а). Внутренние слои балки испытывают небольшие напряжения при изгибе, и это учитывается при создании формы поперечного сечения балок - для облегчения конструкции эту форму делают не прямоугольной, а в виде швеллера, двутавра, уголка и пр.

Рис. 7

Выведем формулу наибольшего нормального напряжения, пригодную для инженерных расчетов. Напряжение связано с изгибающим моментом так (рис. 7б):

(14.6)

где: dS - элементарная площадка поперечного сечения балки;

y - расстояние от элементарной площадки до нейтральной оси.

Произведение dS является элементарной внутренней силой, а dSу - элементарным моментом внутренних сил.

Значение подставим из (14.5) в (14.6):

Интеграл обозначается Jи называется моментом инерции сечения относительно нейтральной оси или осевым моментом инерции - это сумма произведений всех элементарных площадок поперечного сечения на квадрат их расстояния от нейтральной оси:

(14.7)

(В скобках заметим, что в некоторых расчетах используется величина, называемая радиусом инерции относительно оси: квадрат радиуса инерции - это отношение осевого момента инерции к площади поперечного сечения:

(14.8)

Физический смысл этого понятия определяется равенством, вытекающим из выражения (16.8):

(14.9)

То есть, осевой момент инерции сечения не изменится, если мысленно осредоточить всю его площадьSна расстоянии iот оси).

Выражение изгибающего момента теперь запишется так:

(14.10)

Значение 1/ из (16.4) подставляем в (16.10):

Откуда:

(14.11)

Отношение осевого момента инерции к расстоянию от нейтральной оси до наиболее удаленной точки сечения называется осевым моментом сопротивления и обозначается W:

(14.12)

Максимальное напряжение растяжения балки:

(14.13)

Осевой момент сопротивления имеет размерность мм³, он является основной расчетной величиной сечения при расчетах на изгиб. Формулы осевого момента сопротивления зависят от формы сечения и приведены в справочниках. Для круглого и прямоугольного сечения (рис. 8):

Рис. 8

Условие прочности при изгибе выглядит так:

(14.14)

где[] - допускаемое напряжение растяжения.

Рекомендуемая литература

напряжение нагруженный балка равновесие

1. Авиационные зубчатые передачи и редукторы. Справочник. Под редакцией Булгакова Э.Б. Москва, «Машиностроение», 1981.

2. Анурьев В.И. Справочник конструктора-машиностроителя. В трех томах. Москва, «Машиностроение», 1982.

3. Артоболевский И.И. Механизмы в современной технике. Том III. Зубчатые механизмы. М., Наука, 1973.

4. Артоболевский И.И. Теория механизмов и машин. М., Наука, 1975.

5. Бернштейн С.А. Сопротивление материалов. М., «Высшая школа», 1961.

6. Гавриленко Б.А. и др. Гидравлический привод. М., Машиностроение, 1968.

7. Детали машин. Атлас конструкций. Под ред. Решетова Д.Н. Москва, «Машиностроение», 1989.

8. Иванов М.Н. Детали машин. Москва, «Высшая школа», 1991.

9. Коловский М.З. Динамика машин. Л., Ленинградский политехнический институт, 1980.

10. Основы расчета и конструирования деталей летательных аппаратов. Под ред. Кестельмана В.Н. Москва, 1989.

11. Пневмопривод систем управления летательных аппаратов. Под ред. Чашина В.А. М., Машиностроение, 1987.

12. Прикладная механика. Под ред. Осецкого В.М. М., «Машиностроение», 1977.

13. Пятаев А.В. Теория механизмов и машин. Учебное пособие. Ташкент, Ташкентский государственный авиационный институт, 2001.

14. Пятаев А.В. Динамика машин. Ташкентский политехнический институт. Ташкент, 1990.

15. Пятаев А.В. Детали машин. Учебное пособие. Ташкент, Ташкентский государственный авиационный институт, 2004.

16. Справочник машиностроителя, том 3. Под редакцией Ачеркана Н.С. Москва, Машгиз, 1963.

17. Справочник машиностроителя, том 4, книги I и II. Под редакцией Ачеркана Н.С. Москва, Машгиз, 1963.

18. Теория механизмов и машин. Под ред. Фролова К.В. М., Высшая школа, 1987.

19. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле. М., Физматгиз, 1959.

20. Трение, изнашивание и смазка. Справочник. Под редакцией Крагельского И.В. и Алисина В.В. Москва, «Машиностроение», 1978.

Размещено на Allbest.ru