Размещено на http://www.allbest.ru/

Устойчивость сжатых стержней



1. Понятие о потере устойчивости сжатого стержня

Деформированное (напряженное) состояние сжатия возникает в некоторых звеньях стержневых механизмов. В основном - это шатуны шарнирных и ползунных механизмов, используемых в качестве исполнительных механизмов механических прессов, поршневых компрессоров, поршневых двигателей и пр.

При сжатии стержень может находиться в одном их двух состояний: устойчивом и неустойчивом. Напомним, что устойчивость - это способность конструкции или звена (в данном случае - стержня) сохранять первоначальную форму упругого равновесия под действием внешних сил.

Когда сжатый вдоль оси стержень находится в устойчивом состоянии, то небольшая боковая нагрузка вызовет его упругую деформацию. А именно, под действием этой нагрузки стержень незначительно изогнется, то есть, отклонится от первоначального положения равновесия, но после снятия боковой нагрузки он распрямится, то есть, возвратится в исходное положение равновесия.

Если сила, сжимающая стержень вдоль оси, будет увеличиваться, то при некотором ее значении прямолинейная форма равновесия становиться неустойчивой. В этом случае, даже малая боковая нагрузка приводит к внезапному изгибу, а после снятия этой нагрузки стержень не возвращается в первоначальное прямолинейное положение. Такое явление внезапного изгиба центрально сжатого стержня называется потерей устойчивости или продольным изгибом. Потеря устойчивости опасна тем, что при дальнейшем даже небольшом увеличении продольной силы прогиб стержня быстро увеличивается, и это может привести к его разрушению.

Наименьшая сила, при которой происходит потеря устойчивости центрально сжатого стержня, называется критической силой F_кр. Таким образом, центральная сила, значение которой больше критического, приводит к продольному изгибу стержня (рис. 16.1).

Выше было сказано, что состояние продольного изгиба стержня провоцирует приложенная к нему небольшая боковая сила. Однако в большинстве реальных конструкций такая сила отсутствует. Тем не менее, продольный изгиб стержня возможен вследствие того, что расчетная схема «прямолинейный стержень и центральная (осевая) сжимающая сила» в реальности имеет, по крайней мере, два существенных отличия:

Рис. 16.1.

а) ось стержня не является абсолютно прямолинейной, она имеет небольшую начальную кривизну, например, как следствие неточности изготовления, термообработки и пр.;

б) вектор сжимающей силы не проходит точно по оси стержня, а смещен относительно нее на некоторую величину вследствие тех же причин.

Эти обстоятельства приводят к возникновению изгибающего момента, смоделированного в предыдущих рассуждениях поперечной силой.

Заметим, что продольный изгиб стержня - не единственный случай потери устойчивости первоначальной формы равновесия; при определенных условиях потеря устойчивости может наступить в кольцах, тонкостенных оболочках, балках и пр.



2. Критическая сила при продольном изгибе

Формула Эйлера

Явление продольного изгиба было исследовано в середине 19 века Эйлером (этот русский ученый немецкого происхождения уже упоминался в §5.2 по зубчатым механизмам). В решении Эйлера предполагалось, что изгиб стержня, сжатого осевой силой, происходит в пределах упругих деформаций (в пределах справедливости закона Гука), то есть напряжение в стержне не может превышать предела пропорциональности для его материала. На основании исследования им была предложена формула (формула Эйлера), позволяющая определить величину критической силы F_крдля центрально сжатого стержня. Приведем эту формулу без вывода:

(16.1)

где: Е - модуль продольной упругости материала стержня в МПа;

J_min - наименьший из осевых моментов инерции поперечного сечения стержня в мм⁴ (потеря устойчивости стержня происходит в плоскости наименьшей жесткости);

l - длина стержня в мм;

- коэффициент приведения длины, учитывающий характер закрепления концов стержня.

Произведение lчасто называют приведенной длиной стержня. На рис. 16.2 приведены примеры наиболее часто встречающихся способов закрепления стержней и даны соответствующие им значения коэффициентов . Тонкими линиями показаны возможные формы оси стержня при продольном изгибе.

Под действием критической силы в поперечных сечениях стержня возникают нормальные напряжения, которые также являются критическими _кр. С учетом (16.1) имеем:

Рис. 16.2.

(16.2)

где S - площадь поперечного сечения стержня.

Для преобразования этого выражения используем радиус инерции сечения относительно оси (14.8) - квадрат радиуса инерции равен отношению осевого момента инерции сечения к его площади:

Тогда из (16.2) имеем:



Введем обозначение:

(16.3)

Тогда:

(16.4)

Безразмерная величина (16.3) называется «гибкость стержня» и характеризует его способность сопротивляться искривлению в зависимости от размеров и способа закрепления концов.

Из формулы (16.4) видно, что гибкость полностью определяет величину критического напряжения для стержня из данного материала. Чем больше , тем меньше _кр и тем меньше величина критической силы, вызывающей продольный изгиб стержня. И наоборот - чем меньше гибкость стержня, тем больше величина критического напряжения, однако, она не может превышать предела пропорциональности _П (см. выше). Таким образом, должно соблюдаться условие:



Отсюда:

Знак равенства в этом выражении определяет наименьшее (предельное) значение гибкости _пред, при котором формула Эйлера еще применима:

(16.5)

Приведем значения предельной гибкости для некоторых металлов. Для стали марки Ст 3 _П = 200 МПа, Е = 210⁵ МПа; тогда:

Для стали марки Ст 5 _пред 90, для чугуна _пред 80.

Если гибкость стержня меньше предельного значения, то пользоваться формулой Эйлера нельзя, так как в этом случае получается завышенное (недопустимое) значение критической силы.

3. Устойчивость стержней различной гибкости

Так как формула Эйлера справедлива только для стержней определенной гибкости, то возникает общий вопрос о классификации стержней по их гибкости. В этой связи различают три вида стержней: стержни большой гибкости, стержни средней гибкости и стержни малой гибкости. Причем значение гибкости для металлических стержней может колебаться в пределах 0 << 160.

Для стержней большой гибкости задача устойчивости в пределах упругих деформаций решается при помощи формулы Эйлера, условие применимости которой определяется значением _пред. Таким образом, гибкость таких стержней должна быть больше предельного значения: _пред.

Для стержней средней гибкости потеря устойчивости сопровождается упругопластическими деформациями, а критические напряжения вычисляются по эмпирической формуле Ясинского, русского ученого конца 19 века:

(16.6)

где а и b - коэффициенты, зависящие от материала стержня и определяемые по таблицам справочников.

Найдя критическое напряжение по этой формуле можно найти критическую силу:

При некотором значении гибкости = ₀ величина критического напряжения становится равной опасному (предельному) напряжению при сжатии, в качестве которого для пластичных материалов принимается предел текучести_Т, а для хрупких - предел прочности _В. Это значение гибкости будет границей применимости формулы Ясинского. Таким образом, для стержней средней гибкости должно соблюдаться условие ₀<_пред.

У стержней малой гибкости, то есть, при <₀, опасность потери устойчивости меньше опасности разрушения под действием сжимающей силы. Такой стержень рассчитывается не на устойчивость, а на прочность,: для пластичных материалов _кр = _Т, для хрупких материалов _кр = _В.

В таблице 16.1 [16] приведены значения гибкостей _пред, ₀ и коэффициентов а и bдля некоторых металлов.

где s_у - коэффициент запаса устойчивости; обычно s_у = 2 3.

Рис. 16.3

Таблица 16.1.

Материал	а, МПа	b, МПа	пред	0
Ст 3 Ст 5 Сталь 45 Сплав Д16Т	304 343 589 400	1,12 1,13 3,82 3,33	100 90 85 60	60 55 60 30

На рис. 16.3 приведен график зависимости критического напряжения от гибкости стержня из стали Ст 3.

При расчете устойчивости стержней любой упругости, для обеспечения безопасной работы необходимо, чтобы допускаемая нагрузка [F] была меньше критической, то есть:

4. Местные напряжения и их виды

Изложенные выше основы расчетов на прочность для различных видов деформированных состояний брусьев предполагают использование расчетных схем, связанных с определенным упрощением свойств материала, конструкции бруса и картины внешних нагрузок. В частности, считается, что материал бруса однороден, его конструкция имеет вид одной из простейших форм, а внешние нагрузки приложены к его воображаемой оси в виде сил и силовых моментов. Рассчитанные при таких допущениях напряжения в материале бруса распределяются равномерно по сечению или объему бруса, или характер их распределения подчиняется простым законам в соответствии с формой эпюр сил и моментов.

При решении многих инженерных задач описанные упрощения широко используются, так как позволяют получить достаточно точные результаты с применением простых расчетных зависимостей. Однако в некоторых случаях бывают необходимы уточнения, связанные с возникновением местных напряжений, которые при определенных условиях могут существенно превысить расчетные.

Известны, по крайней мере, два источника местных напряжений: нарушение непрерывности формы бруса и силовой контакт в месте передачи внешней нагрузки между телами (звеньями), образующими высшую кинематическую пару. Напомним, что контакт звеньев в высшей кинематической паре теоретически происходит по линии или в точке. Реально, при учете упругости звеньев, точка превращается в круг, а линия - в прямоугольник, размеры которых малы по сравнению с размерами звеньев. По этой причине при исследовании силового контакта, как источника местных напряжений, форма контактирующих тел не имеет значения.

Нарушение непрерывности формы наблюдается в ступенчатых брусах, а также являются следствием того, что реальная конструкция стержня, вала или балки может отличаться от простейших форм, принятых в расчетных схемах. стержень эйлер напряжение

Рис. 17.1.

На рис. 17.1 представлены некоторые типичные случаи нарушения непрерывности форм брусьев. Стержень или балка прямоугольного сечения, нагруженные растягивающими силами, или изгибающими моментами, могут иметь внутреннее отверстие (рис. 17.1а), двухсторонние вырезы полукруглые (рис. 17.1б), прямоугольные (рис. 17.1в) или треугольные (рис. 17.1г). Резьба (метрическая, дюймовая, или какая-либо другая) является нарушением продольной непрерывности цилиндрической формы растягиваемого стержня (рис. 17.1д). Нарушением продольной непрерывности цилиндрических валов, нагруженных крутящими моментами, являются отверстия 1, внутренние углы ступеней 2 и 3, канавки 4 (рис. 17.1е). Шпоночные вырезы (рис. 17.1к) прямобочные (рис. 17.1л) и эвольвентные (рис. 17.1м) шлицы являются элементами нарушения непрерывности формы сечения круглых валов.

Местные напряжения возникают во всех описанных случаях в результате концентрации напряжений в элементах нарушения непрерывности формы бруса или в результате контактных напряжений при силовом контакте.

5. Концентрация напряжений

В местах нарушения непрерывности формы бруса обычный закон распределения напряжения резко нарушается. В отдельных точках возникают высокие напряжения, которые могут в несколько раз превосходить величину расчетного напряжения и могут явиться причи- ной разрушения бруса.

Явление изменения обычного закона распределения напряжений, вызванного нарушением непрерывности формы бруса, называется концентрацией напряжений. Элементы нарушения непрерывности формы бруса (отверстия, канавки и пр.) называются концентраторами напряжений.

Напряжения в местах их концентраций зависят от формы концентратора напряжений и от свойств материала бруса; эти напряжения определяются теоретически (методами теории упругости) или экспериментально. Здесь приведем некоторые результаты этих исследований.

Концентрация напряжений характеризуется коэффициентом концентрации К:

- при растяжении и изгибе:



(17.1)

где: _max - максимальное нормальное местное напряжение;

_н - номинальное нормальное напряжение, рассчитанное по общим формулам сопротивления материалов в предположении, что концентрация напряжений отсутствует;

- при сдвиге и кручении:

(17.2)

где: _max - максимальное касательное местное напряжение;

_н - номинальное касательное напряжение, рассчитанное по общим формулам сопротивления материалов в предположении, что концентрация напряжений отсутствует.

В качестве примера концентрации растягивающих напряжений на рис. 17.2а показаны эпюры действительных и номинальных напряжений в сечении широкой полосы, ослабленной отверстием. Величина номинального напряжения вычисляется здесь по ослабленному сечению:

где S_o - площадь ослабленного сечения.

Пример концентрации касательных напряжений показан на рис. 17.2б. Ступенчатый вал нагружен крутящим моментом. Внутренний угол ступени имеет скругление (галтель). Эпюра касательных напряжений показывает, что максимальное напряжение имеет место внутри угла ступени. Величина концентрации напряжений зависит от соотношения диаметров ступеней и радиуса закругления галтели.

Величины коэффициента концентрации напряжений приведены в справочниках и зависят от соотношения размеров отверстия и полосы. Если d/b = 0,2 (приблизительно так показано на рис. 17.2а), то в этом случае К = 2,5. При боковых надрезах на растягиваемой или сгибаемой полосе (рис. 17.1б, в, г) значение коэффициента концентрации колеблется от 2 до 7 в зависимости от соотношения размеров. При этом острые внутренние углы в надрезах являются недопустимыми, так как теоретически местное напряжения в этом случае вырастает до бесконечности. Чем больше радиус закругления во внутренних углах вырезов, тем меньше концентрация напряжений. В случае растягиваемого стержня с резьбой (рис. 19.1д) К = 3 5.

Рис. 17.2.

Согласно справочным данным, если D/d = 1,5, r/d = 0,08 (приблизительно так показано на рис. 17.2б), то К = 1,5. Чем больше радиус закругления галтели, тем меньше концентрация напряжений.

Использование в валах отверстий, канавок, шпоночных пазов и шлицев также приводит к концентрации напряжений. И здесь действуют те же правила, которые были описаны выше: для уменьшения концентрации напряжений в возможных случаях необходимо максимально возможно скруглять внутренние углы конструктивных элементов. В частности, в связи с этим, эвольвентные шлицы на валах являются более надежными при работе под нагрузкой, так как имеют плавные переходы от эвольвентной боковой поверхности к поверхности внутреннего диаметра. По этой причине в самолетостроении и в вертолетостроении в силовых механизмах используются только эвольвентные шлицевые соединения.

В заключение заметим, что опасность концентрации напряжений возрастает при увеличении твердости материала деталей. В случае динамических нагрузок концентрация напряжений существенно снижает прочность деталей, выполненных как из хрупких, так и из пластичных материалов, что необходимо учитывать в практических расчетах.

6. Контактные напряжения

Местные напряжения, возникающие в силовом контакте в месте передачи внешней нагрузки между телами (звеньями), образующими высшую кинематическую пару, называются контактными напряжениями. Вследствие упругой деформации материала в месте соприкосновения возникает площадка контакта, по которой и происходит передача давления.

Контактные напряжения играют основную роль при расчете шариковых и роликовых подшипников, зубчатых передач, кулачковых механизмов. Эти напряжения определяются методами теории упругости при следующих допущениях.

1. В зоне контакта возникают только упругие деформации, следующие закону Гука.

2. Линейные размеры площадки контакта малы по сравнению с радиусами кривизны соприкасающихся поверхностей.

3. Силы давления, распределенные по поверхности контакта, нормальны к этим поверхностям.

4. На поверхности контакта возникают только нормальные напряжения.

Основоположником теории контактных напряжений является немецкий ученый Герц (Herz), поэтому контактное напряжение обозначается буквой с индексом Н. Рассмотрим результат этой теории на примере сжатия двух тел, имеющих цилиндрические закругления; контакт тел происходит по этим цилиндрическим поверхностям, оси которых параллельны (рис. 17.3).

Рис. 19.3.

Теоретически контакт этих тел происходит в высшей кинематической паре, то есть по линии. Однако после приложения удельной нагрузки q, в результате упругой деформации контактирующих поверхностей, контакт тел происходит по узкой площадке. Значения максимальных контактных напряжений у_Н находятся на продольной оси симметрии контактной площадки. Значение этих напряжений вычисляется по формуле:



(17.3)

где: Е₁ и Е₂ - модули продольной упругости (модули Юнга) контактирующих тел;

м₁ и м₂ - коэффициент Пуассона (отношение поперечной деформации к продольной);

r₁ и r₂ - радиусы контактирующих цилиндров.

Для упрощения формулы (19.3) введем обозначения приведенного модуля упругости Е_пр и приведенного радиуса кривизны контактирующих поверхностей с_пр:

(17.4)

(17.5)

Кроме того, приблизим формулу (13.3) к расчету стальных деталей, так как в силовых передачах общего машиностроения, а также в самолетостроении, используются в основном стальные детали в подшипниках, зубчатых и кулачковых механизмах. Модуль упругости для стали Е_пр = Е₁ = Е₂ = 2,1·10⁵ Н/мм² (МПа). Коэффициент Пуассона для стали м₁ = м₂ = 0,3. Подставляя эти значения и формулу (17.5) в выражение (17.3) после извлечения числовых значений из-под корня, получим:

(17.6)



Эта формула справедлива для любых стальных цилиндров с постоянными или переменными радиусами кривизны, в том числе для цилиндров с образующими в виде эвольвент, то есть, для поверхностей зубьев. В этом случае, r₁ и r₂ - радиусы кривизны эвольвент зубьев в точке контакта. Знак минус в формулах (17.3) и (17.5) относится к случаю внутреннего контакта, когда поверхность одного из цилиндров вогнутая (контакт роликов с внешним кольцом подшипника, внутреннее зубчатое зацепление и пр.).

Формула (17.6) показывает, что контактные напряжения не пропорциональны нагрузке, например, если нагрузка увеличится в четыре раза, то контактные напряжения возрастут в два раза. То есть, контактные напряжения увеличиваются медленнее, чем нагрузка. Это объясняется тем, что с увеличением нагрузки увеличивается и площадка контакта. Если площадка контакта увеличится настолько, что станет сопоставимой с радиусами кривизны контактирующих тел, то приведенные выше расчетные зависимости оказываются непригодными для нахождения напряжений в контакте.

В частности, такой случай имеет место при внутреннем контакте цилиндров, диаметры которых мало отличаются друг от друга (рис. 17.4а). Примерами такого контакта могут служить низшие кинематические пары плоских механизмов: вал в подшипнике скольжения, шарниры стержневых механизмов, шарниры цепей цепных передач. Разность диаметров здесь минимальна и объясняется необходимостью относительного движения в присутствии смазки. Другим примером является соединение деталей при помощи чистого болта или штифтовое соединение. Разность диаметров в этом случае измеряется сотыми долями миллиметра и объясняется технологическими соображениями сборки или эксплуатации соединения.



Рис. 17.4.

Напряжения при таком контакте уже фактически не являются местными, так как распределены по относительно большой поверхности. Если их и называют иногда местными, то лишь условно, чтобы отличить от других напряжений - растяжения, изгиба или кручения, распределенных равномерно по всему объему деталей.

Контактные напряжения в этих случаях ограничены допустимым удельным давлением в подшипниках и шарнирах или допустимым напряжением смятия между телом болта или штифта и цилиндрической поверхностью отверстия в детали. Действительное распределение напряжений по цилиндрическим контактирующим поверхностям довольно сложно, поэтому расчет ведется условно по напряжению в диаметральной плоскости шарнира или болта (штифта).

Условие прочности на смятие для штифтового соединения, нагруженного растягивающими силами (рис. 17.4б), выглядит так:

(17.7)



где: S_см - площадь смятия;

- толщина наиболее тонкой соединяемой детали;

d - диаметр штифта;

[_см] - допускаемое напряжение смятия.

Допускаемое напряжение смятия обычно принимается в два, два с половиной раза больше допускаемого напряжения на растяжения для материала штифта или наиболее тонкой из соединяемых деталей:



Рекомендуемая литература

1. Авиационные зубчатые передачи и редукторы. Справочник. Под редакцией Булгакова Э.Б. Москва, «Машиностроение», 1981.

2. Анурьев В.И. Справочник конструктора-машиностроителя. В трех томах. Москва, «Машиностроение», 1982.

3. Артоболевский И.И. Механизмы в современной технике. Том III. Зуб¬чатые механизмы. М., Наука, 1973.

4. Артоболевский И.И. Теория механизмов и машин. М., Наука, 1975.

5. Бернштейн С.А. Сопротивление материалов. М., «Высшая школа», 1961.

6. Гавриленко Б.А. и др. Гидравлический привод. М., Машиностроение, 1968.

7. Детали машин. Атлас конструкций. Под ред. Решетова Д.Н. Москва, «Машиностроение», 1989.

8. Иванов М.Н. Детали машин. Москва, «Высшая школа», 1991.

9. Коловский М.З. Динамика машин. Л., Ленинградский политехнический институт, 1980.

10. Основы расчета и конструирования деталей летательных аппаратов. Под ред. Кестельмана В.Н. Москва, 1989.

11. Пневмопривод систем управления летательных аппаратов. Под ред. Чашина В.А. М., Машиностроение, 1987.

12. Прикладная механика. Под ред. Осецкого В.М. М., «Машиностроение», 1977.

13. Пятаев А.В. Теория механизмов и машин. Учебное пособие. Ташкент, Ташкентский государственный авиационный институт, 2001.

14. Пятаев А.В. Динамика машин. Ташкентский политехнический институт. Ташкент, 1990.

15. Пятаев А.В. Детали машин. Учебное пособие. Ташкент, Ташкентский государственный авиационный институт, 2004.

16. Справочник машиностроителя, том 3. Под редак¬циейАчеркана Н.С. Москва, Машгиз, 1963.

17. Справочник машиностроителя, том 4, книги I и II. Под редак¬циейАчеркана Н.С. Москва, Машгиз, 1963.

18. Теория механизмов и машин. Под ред. Фролова К.В. М., Высшая школа, 1987.

19. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле. М., Физматгиз, 1959.

20. Трение, изнашивание и смазка. Справочник. Под редакцией Крагельского И.В. и Алисина В.В. Москва, «Машиностроение», 1978.

Размещено на Allbest.ru