Аппроксимация экспериментальных данных для определения вольамперной характеристики нелинейных элементов RC-цепи

Размещено на http://www.allbest.ru/

Аппроксимация экспериментальных данных для определения ВАХ нелинейных элементов RC- цепи

Куралбаев Зауытбек Куралбаевич,

доктор физико-математических наук, профессор,

Ержан Асел Ануаркызы, докторант

Аннотация

цепь нелинейный электронный аппроксимирующий

В проектировании электронных устройств часто возникает проблема определения аналитической зависимости в нелинейных элементах электронных цепей. Известно, что для определения такой зависимости проводятся эксперименты, результаты которых должны быть аппроксимированы. Здесь требуется решить одну из важных задач аппроксимации экспериментальных определения функциональной зависимости между током и напряжением в нелинейном элементе. Статья посвящена анализу существующих аппроксимирующих функций и определению новых видов функций на основе математической обработки результатов экспериментов, проведенных для нелинейных элементов RC-цепи. Для математической обработки экспериментальных данных использован метод наименьших квадратов. Полученные при этом системы алгебраических уравнений решались методом Жордана-Гаусса, а трансцендентные уравнения решались итерационными методами.

Ключевые слова: аппроксимирующие функции, нелинейный элемент, RC-цепи, метод Жордана-Гаусса.

Основная часть

Известно, что на практике часто возникает проблема, связанная с нелинейностью вольт-амперных характеристик, т.е. с определением зависимости тока от напряжения, элементов электронной цепи. Известно, что любая электронная цепь, у которой «реакции и воздействие связаны нелинейными элементами» называется нелинейной [1]. Вольт-амперные характеристики элементов цепи обычно определяются в результате проведенных экспериментов. В литературе [1-3] приведено большое разнообразие графических представлений ВАХ различных элементов электронных цепей. Результаты экспериментов в основном представлены в виде графиков и в практических расчетах широко используются графические методы, кусочно-линейная аппроксимация и другие [1-3]. Однако для теоретического исследования и анализа электронных цепей необходимо аналитическое представление ВАХ нелинейных элементов [1]. Поэтому возникает важная для практики проблема определения аналитических формул, описывающих зависимости между током и напряжением в цепях. С другой стороны, «... анализ нелинейных систем в математическом отношении значительно труднее, чем анализ линейных систем» [2].

В связи с этим возникает необходимость исследования различных подходов к данной проблеме и сделать выбор видов функций, позволяющих наилучшим образом аппроксимацию ВАХ нелинейных элементов цепи.

Постановка проблемы

В связи с необходимостью для разработки математической модели электронной схемы иметь явную зависимость токов и напряжений, выраженную в форме уравнений ВАХ, требуется определить функциональную связь между током и напряжением.

В общем случае электрическая цепь содержит не только элементы, которые с достаточной степенью точности можно считать линейными, но явно нелинейные элементы. Нелинейные элементы отличаются тем, что их параметры (R, L, C) являются функциями приложенного к ним напряжения. Уравнения таких цепей, составленные на основании законов Кирхгофа [1], будут нелинейными. Эти уравнения определяются по результатам экспериментов. Они сводятся к графическому определению величины протекающего в цепи тока при нескольких значениях напряжения и проведению по токам плавной кривой.

Обычно для этой цели используют аппроксимацию экспериментальных данных. В литературе [1-4] предложены различные виды аппроксимирующих функций. Целесообразно привести некоторый анализ свойств этих функций.

Экспериментальные или статистические данные являются основной информацией для определения аналитических зависимостей между рассматриваемыми переменными (показателями). Требуется определить функцию, описывающую такую зависимость между этими переменными, которые хорошо согласуются с экспериментальными данными.

В данной статье проводится анализ различных вариантов аппроксимирующих функций, используемых для описания функциональной зависимости тока от напряжения. Также будут определены неизвестные параметры, от которых зависят эти функции.

Переход к безразмерным переменным

Перед тем как перейти к анализу этих функций, целесообразно использовать безразмерные величины. Переход к безразмерным величинам и использование в расчетах безразмерных параметров обеспечивают определенные удобства при решении задачи на компьютере. Для перехода к безразмерным переменным требуется выбрать характерные величины для данной задачи.

Пусть Uo - некоторое напряжение, являющееся характерным для данного компонента. Тогда может быть характерной величиной тока для постоянного значения сопротивления . Переход к безразмерным величинам осуществляется с помощью следующих формул:

(1)

Здесь - безразмерное напряжение, y - безразмерный ток.

С учетом этих формул искомая аппроксимирующая функция может быть записана в следующем виде: или (2)

Здесь будет искомой функцией, определяющей зависимость между безразмерным током и безразмерным напряжением.

Из анализа существующих способов аппроксимации экспериментальных данных [2] следует, что чаще всего используются следующие функции:

- линейная функция: где неизвестные параметры;

- квадратичная функция: где неизвестные параметры;

- экспоненциальная функция: (3)

и гиперболический синус: (4)

Линейная и квадратичная функции для аппроксимации статистических или экспериментальных данных используются давно и успешно во многих областях науки. Однако линейная функция вида используется только для линейных цепей, и использование ее для описания нелинейных элементов электронных схем нецелесообразно. Широкое применение получило использование квадратичной функции вида

Последние две функции (3) и (4) представляют определенный интерес, они также могут быть использованы для аппроксимации экспериментальных данных. Потому что графики этих функций очень похожи графикам, описывающим ВАХ различных компонентов электрических цепей. Многие графики характеристик нелинейных элементов, имеющихся в литературе [1-3], имеют такие же формы, которые представлены ниже, на рисунках 1 и 2, где приведены графики этих функций. На рисунке 1 представлены графики, когда ток с увеличением напряжения может стремиться к некоторому постоянному значению, а на рисунке 2 изображены графики функции, для которой увеличение аргумента (напряжения) приводит к неограниченному возрастанию значений функции (тока).

Эти функции зависят от единственного неизвестного параметра , значение которого подлежит определению. Значения неизвестных параметров в предлагаемых функциях аппроксимации могут быть разными для разных компонентов электронной цепи. Для определения численных значений этих неизвестных параметров используются данные экспериментов и известный метод наименьших квадратов.

Кроме этого, причиной для выбора этих функций (3) и (4) в качестве аппроксимирующих является то обстоятельство, что для сравнительно небольших значений напряжения (или аргумента) должна выполняться линейная зависимость, т.е. закон Ома.

В самом деле, разложения этих функций в ряды Тейлора в окрестности могут быть представлены в виде следующих степенных рядов:

Если пренебречь малыми величинами, т.е. членами ряда, содержащими второй и выше степеней , то сохранив в этих рядах только первые члены, можно получить формулу Ома с определенной точностью или i = u / R.

Для выяснения применимости этих функций в качестве аппроксимирующих функций зависимости между напряжением и током должны быть рассмотрены конкретные примеры. Примерами для определения аппроксимирующих функций должны быть эксперименты, проведенные для каждого вида элементов электронной цепи.

Математическая обработка результатов эксперимента осуществлена с помощью известного метода наименьших квадратов (МНК). Согласно этого метода, при условии выбора функцию в качестве аппроксимирующей, требуется определить значения неизвестных параметров Для этого используется условие минимума следующей функции:

. (5)

Из курса математики известно [5], что необходимыми и достаточными условиями минимума данной квадратичной функции (6) будут равенства нулю первых ее частных производных:

(6)

Из этих условий, в зависимости от вида выбранной функции аппроксимации, следует система алгебраических или трансцендентных уравнений относительно неизвестных параметров Поэтому задача аппроксимации экспериментальных данных сводится к решению системы алгебраических или трансцендентных уравнений.

Функции вида (3) и (4) в зависимости от параметра могут иметь соответственно графики, показанные на рисунке 1 и 2.

Рис. 1 Графики функции для различных значений

Рис. 2 Графики функции для различных значений

Теперь для определения конкретного вида аппроксимирующих функций необходимо использовать результаты экспериментов, проведенных для двух типов транзисторов.

Аппроксимация характеристик полевого транзистора

Для полевого транзистора определены экспериментальные данные, приведенные в первых двух строках таблицы 1. Здесь рассматриваются две функции в качестве аппроксимирующих.

Таблица 1

Экспериментальные данные и значения аппроксимирующих функций для полевого транзистора

1.1. Экспоненциальная аппроксимация. Сперва в качестве аппроксимирующей функцией принята Для определения неизвестного параметра в данной функции рассматривалось условие минимума следующей функции:

(7)

где экспериментальные данные, количество экспериментальных точек. Необходимым и достаточным условием минимума функции является равенство нулю ее первой производной по . Тогда первая производная функции (7) записывается в следующем виде:

(8)

Полученное уравнение (8) является трансцендентным относительно неизвестного параметра , для решения которого использовался метод итераций. Точность вычисления искомого параметра была задана, для которой условие для завершения итерационного процесса задано в виде следующего неравенства: где В результате получено следующее значение параметра

Затем были вычислены значения аппроксимирующей функции для тех же значений аргумента (таблица 1). Сравнение результатов показывает достаточную близость значений аппроксимирующей функции и экспериментальных данных. Это означает, что функция может быть использована в качестве аппроксимирующей функцией для характеристик нелинейных элементов. Это подтверждается также ее графическим представлением (рисунок 3).

Рис. 3 Графики ВАХ полевого транзистора

1.2. Квадратичная аппроксимация. Если в качестве аппроксимирующей функции использовать квадратичную функцию то будет получена система трех линейных алгебраических уравнений относительно трех неизвестных параметров Здесь рассматривается функция

. (9)

Необходимым и достаточным условием минимума данной функции (9) являются равенства нулю ее первых частных производных по неизвестным параметрам, которое приводит к системе алгебраических уравнений. Для решения данной системы уравнений был использован известный метод Жордана-Гаусса. Здесь в качестве исходных данных использовались экспериментальные данные, приведенные в первых двух строках таблицы 1. В результате выполнения данной программы были получены значения параметров: Значения квадратичной функции приведены в четвертой строке таблицы 1. Сравнение значений данной функции с экспериментальными данными показало достаточно хорошее их совпадение (рисунок 3).

Аппроксимация характеристик биполярного транзистора

Для биполярного транзистора были проведены эксперименты, результаты которых приведены в таблице 2. Для этого случая была решена задача аппроксимации, где также был использован метод наименьших квадратов.

Таблица 2

Экспериментальные данные и значения аппроксимирующих функций для биполярного транзистора

Рис. 4 Графики ВАХ биполярного транзистора

Результаты решения данной задачи приведены на рисунке 4, где приведены такие же графики по экспериментальным данным и графики аппроксимирующих функций для данного случая. В данном случае методом наименьших квадратов найдены значения неизвестных параметров:

- для функциизначение параметра

- для функции значения параметров

Пример для резистивного элемента

Первые две ее строки таблицы 3 содержат экспериментальные данные, приведенные в учебнике [1]. В качестве аппроксимирующей функции использован гиперболический синус Использование метода наименьших квадратов привело к трансцендентному уравнению относительно параметра Решение этого уравнения методом итераций позволило найти значение параметра Затем были вычислены значения функции которые записаны в третьей строке таблицы 3, а графики приведены на рисунке 5.

Таблица 3

Значения тока и напряжения в резистивном элементе [1]

Рис. 5 Графики ВАХ нелинейного резистивного элемента [1]

Заключение

Анализ рассмотренных в данной статье способов аппроксимации экспериментальных данных показал, что предлагаемые для аппроксимации функции и достаточно близко описывают экспериментальные данные и могут быть использованы в определенных условиях для описания функциональной зависимости между током и напряжением. Кроме этого, сравнительный анализ показал, что значения квадратичной функции достаточно близки к экспериментальным значениям и это позволяет сделать вывод о том, что квадратичная функция может быть использована в качестве аппроксимирующей функции с достаточно хорошим приближением.

Литература

1. Бакалов В.П., Дмитриков В.Ф., Крук Б.Е. Основы теории цепей: Учебник для вузов; Под ред. В.П.Бакалова. 2-е изд.,переаб. и доп. М.: Радио и связь, 2000. 592 с.: ил.

2. Бессонов Л.А. Нелинейные электрические цепи: Учебное пособие. М.: «Высшая школа», 1964.- 430 с.

3. Матханов П.Н. Основы анализа электрических цепей. Нелинейные цепи. Учебное пособие для вузов. М.: «Высшая школа», 1977. 272 с. с ил.

4. Фидлер Дж. К., Найтингейл К. Машинное проектирование электронных схем: Пер. с англ. и предисл. Д.И. Панфилова, А.Г. Соколова; Под ред. Г.Г.Казеннова. М.: Высш. шк., 1985. 216 с., ил.

Размещено на Allbest.ru