Определение весового коэффициента для регуляризации при измерении желобов колец шарикоподшипников

Размещено на http://www.allbest.ru/

Определение весового коэффициента для регуляризации при измерении желобов колец шарикоподшипников

Суслин Владимир Павлович,

Джунковский Андрей Владимирович,

Холодов Дмитрий Алексеевич

Аннотации

Definition of weight for the regularization of the measurement gutter ball rings

Suslin Vladimir Pavlovich,

candidate Sc. of Engineering professor of the sub-department of "Automobiles",

Djunkovskiy Andey Vladimirovich,

candidate Sc. of Engineering lecturer of the sub-department of "Standardization, Metrology and Certification",

Kholodov Dmitry Alexeevich,

graduate of the sub-department of "Automation and Control".

MGMU "MAMI".

В статье описан метод определения весовых коэффициентов регуляризирующего звена для плохо обусловленных задач, связанных с измерением деталей, в конструкцию которых входит тороидальная поверхность с малым сектором образующей.

Ключевые слова: координатно-измерительная машина, шариковые подшипники, тороидальные поверхности, плохо обусловленные задачи, регуляризация, l-кривые.

This paper describes a method for determining the weights regularizing care for ill-conditioned problems associated with the measurement of parts in a design that includes a toroidal surface with low education sector.

Keywords: cmm, ball-bearings, torus, ill-posed problem, regularization, l-curve.

Для полного досборочного контроля шарикоподшипников требуется измерять параметры дорожки качения колец подшипника. Желоб дорожки качения представляет собой тор с сектором образующей окружности около 80є [3]. Результаты процесса измерения такой тороидальной поверхности дорожки качения шарикоподшипника на координатно-измерительных машинах (КИМ) и других технических устройствах, где основу метода определения параметров поверхности представляет метод наименьших квадратов (МНК), сильно зависят от малых изменений входных данных, что недопустимо и приводит к большим погрешностям [2]. Подобные задачи относятся к классу некорректно поставленных или плохо обусловленных задач [1].

В лаборатории САПР Университета машиностроения была исследована возможность и обоснованность применения регуляризации при измерении малых секторов геометрических объектов [4].

На КИМ параметры беговой дорожки шарикоподшипника измеряется минимум по 3м сечениям, в каждом из которых берется 3 точки. Оптимальным количеством точек для измерения является 16, т.е. 4 сечения по 4 точки в каждом [5]. Геометрические параметры тора (центр, ось, радиус и радиус сечения) определялись (МНК). При этом производилась минимизация функции:

(1)

Где

-

функция минимизации, содержащая сумму квадратов отклонений измеренных точек от поверхности тора; - искомые параметры тора: радиус кольца, радиус дорожки, центральная точка и вектор оси тора (рисунок 1).

Значение начального приближения для радиуса сечения тора определялось как средний радиус измеренных сечений. Начальные приближения для остальных параметров тора были получены с помощью окружности, проходящей через центры измеренных сечений.

Рис. 1. Внутреннее кольцо подшипника.

Эксперименты показали, что решения, полученные описанным способом, не устойчивы к малым изменениям входных данных и задача является плохо обусловленной [2].

В программе ГеоАРМ реализована регуляризация для тороидальных поверхностей путем модификации минимизируемой функции за счет включения в нее отклонений определяемых параметров от их номинальных значений. При этом функция получает вид:

(2)

где: reg() - регуляризирующий член, содержащий в себе номинальные значения определяемых параметров и весовой коэффициент.

В чертеже подшипника содержатся такие априорные данные, как радиус желоба беговой дорожки и диаметр беговой дорожки кольца шарикоподшипника. Оба этих параметра должны быть включены в функцию т.к. они взаимосвязаны и за счет изменения одного параметра во время итерационного процесса поиска минимума может быть достигнуто требуемое значение другого, без увеличения суммы квадратов отклонений.

(3)

где: - номинальные значения параметров; - веса параметров (коэффициенты регуляризации).

Слишком большие весовые коэффициенты сводят задачу к сравнению измеренного тора с его математической моделью т.к. значения параметров тора жестко заданы большими коэффициентами, и сумма квадратов отклонений измеренных точек никак не влияет на решение задачи.

Если веса будут слишком маленькие, то регуляризирующий член не сможет оказать влияние на процесс минимизации и задача по-прежнему останется плохо обусловленной.

Таким образов встает задача выбора весового коэффициента для найденного регуляризирующего параметра. Эффективным и наиболее наглядным методом является метод l-кривой [6-8].

Для проведения эксперимента были сделаны точные математические модели беговых дорожек внутренних и наружных колец подшипников 206А и 307А. Допуск на размеры радиуса желоба беговой дорожки составляет +0.08мм, допуск на диаметр беговой дорожки составляет ±0,025мм.

Рис. 2. Модель беговой дорожки кольца шарикоподшипника и допустимые отклонения на размеры.

На поверхностях построенных моделях были насчитаны точки, и их координаты испорчены случайными величинами, имитирующими процесс измерения и погрешности, возникающие из-за несовершенства измерительной техники и качества измеряемой поверхности.

Т.к. при слишком маленьких весовых коэффициентах w регуляризация не приносит результатов, а при слишком больших процесс построения поверхности становится процессом сравнивания ее с точной моделью, необходимо определить оптимальный весовой коэффициент. Для этого был проведен ряд вычислений параметров поверхности с разными весовыми коэффициентами и построен график, по вертикальной оси которого отложена разница между вычисленным измеряемым параметром поверхности и ее оптимальным значением в мм, а по горизонтальной оси отложены значения весовых коэффициентов для регуляризирующего члена. Примеры графиков, полученных в ходе вычислительного эксперимента (когда измерялась математическая модель тора с добавленными случайными погрешностями в точках измерения) изображены на рисунке 3.

Рис. 3. L-кривые для определения оптимального весового коэффициента регуляризации.

Построенные графики наглядно демонстрируют оптимальное значение весового коэффициента в точке перегиба, где w = 0.003. Так же видно, что значение полученных параметров поверхностей при отсутствии регуляризирующего члена (w = 0) отличается от номинального более чем на треть поля допуска, а значит, подобный метод расчета не пригоден для данной плохо обусловленной задачи [9]. О плохой обусловленности задачи свидетельствует то, что изменение отклонения формы на порядок меньше изменения параметров измеряемой поверхности.

Проведение измерительных экспериментов, в ходе которых происходило определение параметров беговых дорожек колец подшипников на КИМ DKM 1-300DP с погрешностью измерений ±(3+L/200) мкм, подтверждает результаты, полученные в ходе вычислительного эксперимента (рисунок 4). тор подшипник геометрический

Примеры графиков, полученных при измерении колец шариковых подшипников 307А.01, 206А.01, 8103.01, 8205.01 показаны на рисунке 4.

Рис. 4. L-кривые для определения оптимального весового коэффициента регуляризации для колец подшипника 307А.01.

Графики построены по данным, полученным после обмеров наружного и внутреннего колец подшипника 307А.01. Они демонстрируют, что при добавлении регуляризирующего звена с малым коэффициентом (до w = 0.002ч0.003) происходит быстрое приближение параметра к номинальным значениям. Погрешность, возникающая при определении параметров построенной поверхности, без регуляризирующего звена составляет 30 мкм, что больше, чем треть поля допуска для данных размеров. Из этого можно сделать вывод о непригодности МНК для построения поверхностей, обмеренных на малой области, без включения в формулу минимизации регуляризирующего члена. Оптимальный весовой коэффициент w находится в точке перегиба графика отклонений полученного значения параметра от его номинальной величины.

Литература

1. А.Н. Тихонов, В.Я Арсенин "Методы решения некорректных задач" - Москва "Наука" 1979.

2. Суслин В.П., Джунковский А.В., Холодов Д.А. Плохо обусловленные задачи в геометрических измерениях торовых поверхностей / Известия МГТУ "МАМИ". -2010г. - №1. 7с.

3. Суслин В.П., Джунковский А.В., Макаров А.И., Холодов Д.А. Новый метод контроля геометрических параметров колец шарикоподшипников / Автомобильная промышленность. - 2010г. - №11. 6с.

4. Суслин В.П., Джунковский А.В., Шутер М.Г. Новый метод определения геометрических параметров объектов при измерениях на малых областях/ Законодательная и прикладная метрология.- 2008.- №6.

5. Суслин В.П., Джунковский А.В, Холодов Д.А. Определение оптимального количества точек при измерении колец подшипников качения на координатно-измерительных машинах / Труды 77 международной научно-технической конференции ААИ МГТУ "МАМИ".

6. P. C. Hansen The L-curve and its use in the numerical treatment of inverse problems / Department of Mathematical Modelling, Technical University of Denmark, DK-2800 Lyngby, Denmark

7. М.Н. Левин, А.В. Татаринцев, А.Э. Ахкубеков. Метод Laplace-DLTS с выбором параметра регуляризации по L-кривой / Физика и техника полупроводников, 2009, том 43, вып. 5

8. Д.В. Кирьянов, Е.Н. Кирьянова Вычислительная физика / Полибук Мультимедиа 2006г

9. ПМГ 92-2009. Правила по межгосударственной стандартизации. Метрологическая экспертиза проектов межгосударственных и национальных стандартов.

Размещено на Allbest.ru