Движение по окружности

Размещено на http://www.allbest.ru//

Движение по окружности

Берников Василий Русланович,

инженер, г. Нижний Новгород.

Рассмотрим равномерное движение точки В массой m с угловой скоростью w_о по окружности на двух шарнирно связанных невесомых стержнях ОА и АВ (рис.1).

Рис. 1.

Если длина стержня АВ < 2R, тогда, очевидно, точка В движется по траектории устойчивого равновесия: окружности радиуса R. При отклонении точки В от состояния равновесия к центру окружности возникает радиальная составляющая скорости, направленная от центра, и возвращает точку В на окружность. При отклонении точки В от состояния равновесия от центра окружности возникает радиальная составляющая скорости, направленная к центру и также возвращает точку В обратно на окружность.

Если вращение стержней произвести в обратную сторону, то из-за прохождения большего пути точки В через определённый промежуток времени стержни примут положение в одну линию, а затем продолжая отставать по времени точка В примет положение устойчивого равновесия противоположное рисунку 1.

Пусть АВ = ОА = R. Точка А, соответственно, и точка В, двигаются по одной окружности с тангенциальным ускорением w с изменяющейся угловой скоростью w на двух шарнирно связанных стержнях ОА и АВ (рис. 2), причём движение к центру ограничено окружностью. Ускорение точки В обеспечивается силой

F = m w.

Треугольник ОАВ равнобедренный, тогда проекция силы F на стержень ВА будет

F_ВА = m w cos (Y/2).

Радиальная составляющая проекции F_ВА, действующая на окружность будет

Fр = m w cos (Y/2) sin (Y/2).

Рис. 2.

При равномерном движении давление радиальной составляющей силы Fр на окружность отсутствует, но оно появляется, если тело отклонить в ту или другую сторону от окружности.

Пусть точка В движется по окружности с замедлением w на двух шарнирно связанных стержнях ОА и АВ (рис. 3), причём движение от центра ограничено окружностью, тогда радиальная составляющая будет действовать на окружность в сторону от её центра (рис. 3).

Рис. 3.

Точку В, взаимодействующей с окружностью, можно считать внешним телом, но входящей в замкнутую систему, так как данная сила взаимодействия возникает только при наличии подвижной боковой связи с телом, обеспечивающей его вращение. Таким образом, кроме известных внешних сил инерции [2, с.364], [4, с.144] (поступательная, центробежная, кориолисова, фазовая) в замкнутой системе появляется ещё одна внешняя сила - радиальная сила бокового взаимодействия.

Рис. 4.

Вычислим среднее [1, с.451] значение Fср проекции Fр^ радиальной силы (рис. 4) перпендикулярной диаметру полуокружности для твёрдого тела. Энергия поступательного движения может переходить в энергию вращательного движения и наоборот [3, с.424-428]. Для этого, достаточно вычислить значение для полуокружности движущегося с положительным ускорением тела, так как для полуокружности с замедлением тела будет то же самое значение, но с противоположным направлением

р

Fср = 1 /р ? mwcos(Y/2)sin(Y/2)sinб dб = (2 /р)mwcos(Y/2)sin (Y/2)

0

или, используя формулу двойного угла из тригонометрии

Fср = mwsinY/р. (1.1)

Пусть m=1кг; w=5м/с²; Y=90°, тогда

Fср = 1Ч5Чsin90°/р » 1,59Н.

Теперь вычислим радиальную силу для жидкости (рис. 5). Пусть положительное ускорение начинается с приложением силы в начале полуокружности.

Рис. 5.

движение окружность скорость радиальный

Запишем элементарную функцию радиальной силы, действующей на элемент трубки тора массой ?m и длиной ??:

?Fр = (1/2)?mwsin(?Y). (1.2)

Масса элемента равна плотности потока, умноженной на его объём

?m = с ?V. (1.3)

Длина половины тора по средней линии

? = р R,

где р - число пи.

Объём половины тора

V = р² Rr² = рR р r² = ? р r²,

где r - радиус трубки тора.

Для элементарного объёма запишем

?V = ?? р r².

Известно, что для окружности

?? = R?Ш,

Тогда

?V = р r² R?Ш. (1.4)

Подставим выражение (1.4) в (1.3) получим:

?m = с р r² R?Ш. (1.5)

Теперь подставим (1.5) в (1.2), тогда

?Fр = (1/2)с р r² R wsin(?Y)?Ш. (1.6)

Радиальная сила, действующая в перпендикулярном диаметру полуокружности направлении на один элемент (рис. 5)

?Fр^ = ?FрsinY= (1/2)с р r² R wsinYsin(?Y)?Ш. (1.7)

Рис. 6.

Так как в жидкости действует сила инерции от каждого элемента на соседний, то необходимо учесть их радиальную составляющую (рис.6)

?Fри = ?mwsin(?Y/2). (1.8)

?Fри - это радиальная сила инерции, которая действует с последнего элемента на предыдущий. Если количество элементов n, то на k-й элемент действует радиальная сила инерции (n-k)?Fри. Радиальная сила инерции, действующая в перпендикулярном диаметру полуокружности направлении на один элемент

?Fри = (n-k)?mwsin(?Y/2)sinY = (n-k)с р r² Rwsin(?Y/2)sinY?Ш. (1.9)

Итак, общая радиальная сила, действующая в перпендикулярном диаметру полуокружности направлении на один элемент будет

?Fk^ = с р r² R wsinY[(1/2)sin(?Y) + (n-k)sin(?Y/2)]?Ш. (1.10)

Уравнение (1.10) решаем приближённым методом для 11 элементов.

Пусть w=5м/с²; r=0,02м; с=1000кг/м³; R=0,2м; n=11; ?Y=18°; Y=(0°,18°,36°,…,180°), тогда общая радиальная сила, действующая в перпендикулярном диаметру полуокружности направлении будет

F^ » 2,3Н.

Если положительное ускорение циркулирующей среды начинается с приложением силы из конца полуокружности, тогда проекция радиальной силы будет действовать в обратном направлении.

Для системы, циркулирующая среда, в которой движется с замедлением по окружности с замедляющей силой в конце циркулирующей среды радиальная сила имеет такое же направление как на рис.5, а с замедляющей силой в начале циркулирующей среды в обратную сторону.

Для системы, циркулирующая среда, в которой движется равномерно по окружности радиальная сила отсутствует.

Литература

1. Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике, 14-е изд., - М.: ООО «Большая медведица», АПП «Джангар», 2001, 864с.

2. Сивухин Д. В. Общий курс физики. Т.1. Механика. 5-е изд., стереот. - М.: ФИЗМАТЛИТ., 2010, 560с.

3. Хайкин С.Э. Физические основы механики, М.: Наука, 1971, 752с.

4. Берников В.Р., Силы инерции и основной закон механики, «Журнал научных публикаций аспирантов и докторантов», №11 (101), ноябрь 2014, стр.144-165, ISSN 1991-3087.

Размещено на Allbest.ru