Связь уравнений плоскопараллельной фильтрации с системой Карлемана

Размещено на http://www.allbest.ru/

Связь уравнений плоскопараллельной фильтрации с системой Карлемана

Толпаев Владимир Александрович

Колесников Алексей Владимирович

Установившаяся плоскопараллельная фильтрация несжимаемой жидкости в изотропном неоднородном пласте с проницаемостью , где - размерная постоянная, а - безразмерная функция декартовых координат , в плоскости течения, описывается системой уравнений [1]

; . (1)

В (1) через и обозначены потенциал и функция тока течения (где Р - приведенное давление, а - динамическая вязкость жидкости).

Связь уравнений движения жидкости с системой Карлемана.

Многие авторы (О.В. Голубева, Г.В. Голубев, Ю.А. Гладышев, и др.) для решения уравнений

(2)

и

(3)

получающихся в результате перекрестного дифференцирования системы (1), применяли подстановки

и . (4)

С помощью подстановок (4) относительно новых вспомогательных функций вместо (2) и (3) получаются уравнения Гельмгольца. Однако целесообразнее применять подстановки (4) не к разрозненным друг от друга уравнениям (2) и (3), а к исходной системе уравнений (1), так как последняя полнее описывает движение жидкости, нежели отдельно одно уравнение (2) или (3).

После подстановки (4) в систему (1), последняя, как легко проверить, примет вид:

(5)

где через обозначена функция

. (6)

Система уравнений (5) относится к системе уравнений Карлемана [2]. Практическая польза перехода от системы (1) к системе (5) определяется двумя факторами. Во-первых, для случаев, когда (6) является функцией одной переменной, удается модифицировать метод Н.И. Назарова, позволяющий общее решение системы (5) выразить через произвольную аналитическую функцию комплексного переменного. Заметим, что в этих случаях общее решение системы (1) по методу Н.И. Назарова тоже выражается через произвольную аналитическую функцию, но с более сложными коэффициентами в соответствующих функциональных рядах. Во-вторых, практическая польза перехода к системе (5) определяется еще и тем, что для системы Карлемана, в отличие от системы (1), могут быть предложены итерационные методы решения, что позволит решать задачи фильтрации с помощью новых подходов.

Вывод уравнений для функций и , удовлетворяющих системе Карлемана.

Дифференцируя первое уравнение системы (5) по , второе - по и складывая, получим:

,(7)

где - оператор Лапласа. Если умножить первое уравнение системы (5) на , второе - на и сложить, получим:

, (8)

где - оператор «набла», , а и - орты декартовой системы координат. Теперь, с учетом равенства (8), уравнению (7) можно придать вид

. (9)

Если в выражение подставить (6), то после тождественных преобразований окончательно получим следующее уравнение для :

, (10)

. (11)

С помощью аналогичных выкладок для второй функции системы (5) получаем уравнение

, (12)

. (13)

Эти же самые уравнения (10 и (12) получаются и в результате подстановки (4) в уравнения (2) и (3). Именно так и поступали О.В. Голубева и др. авторы, применявшие в своих решениях подстановки (4). Однако никто из этих авторов не указывал, что решения уравнений (10) и (12), описывающие одно и то же течение, сопряжены друг с другом при помощи системы уравнений Карлемана (5).

Литература

плоскопараллельный фильтрация несжимаемый жидкость

1. Голубева О.В. Курс механики сплошных сред. - М.: «Высшая школа», 1972.- 368 с.

2. Положий Г.Н. Теория и применение - аналитических и - аналитических функций и их приложения. - Киев, «Наукова дума», 1973.- 423 с.

Размещено на Allbest.ru