Влияние перманентного стохастического возмущения на состояния взаимодействующих с окружающей средой осцилляторов и ротаторов

Размещено на http://www.allbest.ru/

На правах рукописи

Влияние перманентного стохастического возмущения на состояния взаимодействующих с окружающей средой осцилляторов и ротаторов

01.04.02 - Теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени доктора физико-математических наук

Иванов Вячеслав Николаевич

Омск 2009

Работа выполнена на кафедре физики Омского государственного технического университета

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, СНС Бойченко Александр Михайлович.

доктор физико-математических наук, профессор Коренблит Сергей Эммануилович.

доктор физико-математических наук, профессор Широков Игорь Викторович.

Ведущая организация: Томский государственный университет.

Защита состоится 3 марта 2010 г. на заседании диссертационного совета Д 212.074.04 при Иркутском государственном университете по адресу: 664003, г. Иркутск, ул. К.Маркса, 1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИГУ.

Автореферат разослан « »

Ученый секретарь диссертационного совета Мангазеев Б.В.

осциллятор ротатор стохастический

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Учёт влияния окружающей среды на квантовые системы является одной из важнейших задач, возникающих в спектроскопии. В частности, в спектроскопии атомов и молекул. Причём, при теоретическом рассмотрении влияния окружения на молекулы в качестве моделей широко используются квантовые осцилляторы и ротаторы. Наиболее полно изучено поведение изолированных молекул под действием стационарных и регулярных во времени возмущений. Однако проблема учета стохастических возмущений требует дополнительных исследований, особенно в случае, когда речь идет о молекулах в жидкостях и газах. В этих средах происходит объединение молекул в кластеры и вандерваальсовские молекулы, имеющие большое эффективное сечение. Из-за такого объединения частота ударных возмущений отдельной молекулы, входящей в ассоциат, может оказаться близкой по величине к частоте столкновений, испытываемых обычной броуновской частицей, т.е. около столкновений в секунду. Задача усложняется ещё и тем, что молекулы в таком ассоциате взаимосвязаны, и любое вызванное возмущением изменение состояния отдельной молекулы оказывает влияние на соседей, что в конечном итоге сказывается и на самой молекуле. В частности, существенной эта проблема становится в случае, когда молекулы взаимодействуют с излучением, частота которого близка к резонансной, а изучаемая квантовая система является, по сути, подсистемой более сложного объекта и участвует в коллективных движениях. Здесь возникает необходимость учёта как регулярных во времени возмущений, вызванных реакцией окружающей среды на изменение изучаемой подсистемы, так и релаксационных процессов, обусловленных стохастическим возмущением.

Квантовые осцилляторы и ротаторы - хорошо изученные объекты, особенности влияния на которые как стационарных, так и регулярных во времени возмущений подробно исследованы. Методы учёта ударных возмущений этих объектов также известны. Эти методы имеют как свои достоинства, так и недостатки.

Хорошо отработанный метод описания релаксации квантовых систем, основанный на формализме статистического оператора (формализме матрицы плотности) позволяет, в принципе, учитывать перманентный характер стохастического возмущения. Однако при аналитическом рассмотрении динамики изменения выделенной квантовой подсистемы, особенно в резонансном приближении, он имеет ограниченные возможности. Это связано с тем, что при использовании формализма матрицы плотности число уравнений, которые необходимо при решении принимать во внимание пропорционально квадрату числа учитываемых квантовых состояний выделенной подсистемы. А это значит, что уже при рассмотрении трехуровневой квантовой подсистемы аналитическое решение возможно только при использовании методов теории возмущений (метода последовательных приближений), которая вблизи резонанса становится неэффективной. При использовании численных методов решения по той же причине могут возникать трудности при интерпретации результатов. Кроме того, при рассмотрении состояний выделенной квантовой подсистемы с помощью статистического оператора возникает необходимость априорного «огрубления» задачи и сведения интегро-дифференциального уравнения, к дифференциальному уравнению. В противном случае практически невозможно выделить ограниченную квантовую подсистему в качестве самостоятельного объекта изучения.

Широко используемый феноменологический подход к учету релаксации, когда эволюцию квантовой подсистемы рассматривают в рамках уравнения Шрёдингера, вводя «руками» во временную часть волновых функций дополнительные сомножители, приводящие к затуханию квантовых состояний, позволяет формально избежать при рассмотрении задач в резонансном приближении ряда трудностей, присущих методу статистического оператора. Однако априорное введение констант релаксации обычно мало связано со свойствами окружающей среды и приводит к заметным сложностям при попытке учета столкновительных процессов. В конечном итоге, из-за необходимости довольно сильных априорных предположений о характере затухания квантовых состояний те преимущества, что имеет феноменологический подход при решении задач в резонансном приближении, в значительной степени теряются. В принципе, при попытке учета релаксационных процессов на языке волновых функций возможен формальный переход от уравнения Неймана, описывающего с помощью статистического оператора поведение квантовой системы в термостате, к уравнению Шрёдингера. Однако он применим для систем, состояние которых является практически чистым. Попытка использования его при рассмотрении систем, находящихся в смешанных состояниях, не дает желаемого результата.

Цель и задачи работы. Целью данной работы является разработка метода учета релаксационных явлений в случае перманентного стохастического возмущения квантовых осциллятора и ротатора, в котором по возможности были бы объединены достоинства метода статистического оператора и формализма волновых функций. Целью данной работы является также решение ряда статистических и спектроскопических задач, связанных как с перманентным стохастическим возмущением, так и в общем случае нелинейным характером взаимодействия подсистем сложной квантовой системы, решение которых обычными методами затруднено.

Методом, позволяющим проводить указанный выше учет стохастического возмущения и вводить в рассмотрение нелинейные операторы, описывающие состояния подсистем сложных квантовых образований, является подход, основанный на идеологии интегралов по путям Фейнмана. Он состоит в построении уравнения Шрёдингера сразу для волновых функций, описывающих квантовые состояния исследуемой подсистемы, испытывающей перманентное стохастическое возмущение. Использование таких -функций позволяет сохранить при рассмотрении состояний возмущенных квантовых систем весьма эффективную схему решения уравнения Шрёдингера, разработанную для резонансных задач. Это расширяет возможности аналитического исследования поведения квантовых подсистем в конденсированных средах. В то же время сам факт некоторого усреднения волновой функции по влиянию окружающей среды, т.е. построение _функции, соответствующей некоторому ансамблю идентичных квантовых подсистем, взаимодействующих с окружением, позволяет при интерпретации результатов руководствоваться идеями статистической физики.

Фейнмановская формулировка квантовой механики строится на представлении амплитуды вероятности (волновой функции) в некоторый момент времени, как суммы вторичных волн (амплитуд вероятности), фаза которых определяется величиной действия, вычисленного по альтернативным траекториям, соединяющим начальное и конечное состоянии. Такая интерпретация -функции позволяет еще на стадии перехода от интегралов по траекториям к уравнению Шрёдингера вводить в число причин, определяющих вид вторичных волн, кроме квантовых флуктуаций стохастическое возмущение.

В процессе выполнения работы были намечены и решены следующие задачи:

1) проведен анализ причин, могущих повлиять на волновую функцию квантового объекта, являющегося элементом более сложной системы;

2) построен формализм введения в метод интегралов по путям Фейнмана стохастического возмущения, позволяющий записывать уравнение Шредингера непосредственно для усредненных по влиянию окружения волновых функций;

3) предложен один из возможных способов учета в уравнении Шрёдингера для функции выделенной подсистемы реакции окружающей среды на эволюцию этой подсистемы, позволяющий формально рассматривать квантовые подсистемы как замкнутые объекты;

4) проведено сравнение формализма эффективных, усредненных по влиянию окружения волновых функций с формализмом матрицы плотности и показана их близость;

5) решен с помощью построенного для эффективных волновых функций уравнения Шрёдингера ряд тестовых задач;

6) изучено влияние нелинейного характера взаимодействия квантовых осцилляторов и ротаторов на заселенность их энергетических уровней;

7) предложена и решена задача о рассеянии интенсивного электромагнитного излучения взаимодействующими атомами, участвующих в коллективных движениях;

8) рассмотрено влияние анизотропии возмущения на заселённость энергетических уровней осциллятора;

9) изучено, как меняются квантовые состояния испытывающих перманентное стохастическое возмущение осцилляторов в стационарном магнитном поле.

Объекты и методы исследования. В качестве объектов исследований выбраны квантовый осциллятор, квантовый ротатор и отдельный атом, взаимодействующие с окружающей средой. Все построения, проведенные в данной работе, являются теоретическими. Рассмотрение задач статистической физики и нелинейной спектроскопии проведено с помощью уравнения Шрёдингера, построенного для эффективных волновых функций. Правильность части полученных результатов на качественном и количественном уровне проверялась путем их сравнения с известными экспериментальными данными.

Научная новизна. Предложен новый подход к проблеме описания релаксации квантовых подсистем, являющихся элементами более сложных объектов. Разработан способ введения в уравнение Шредингера операторов, учитывающих статистические свойства окружающей среды. Показано, что именно взаимодействие с окружающей средой приводит к тому, что квантовая подсистема находится обычно в одном из своих стационарных состояний, волновая функция которого является решением стационарного уравнения Шрёдингера. Получено, что перманентное стохастическое возмущение и нелинейный характер взаимодействия с окружающей средой приводят при температурах ниже некоторого предела к Бозе-конденсации состояний квантовых осцилляторов и ротаторов. Эта конденсация меняет физические свойства квантовых ансамблей (молекул). Получено в рамках квантовой механики, что из-за взаимодействия осцилляторов и ротаторов с окружающей средой вероятности нахождения их в состояниях с различной энергией различны, и в широком диапазоне температуратур близки к распределению Больцмана. Отмечен и изучен возможный механизм преобразования излучения при рассеянии света на атомах, являющихся элементами сложных квантовых систем.

Научная и практическая ценность. Результаты работы расширяют возможности теоретического исследования поведения конденсированных квантовых систем, взаимодействующих как с электромагнитным излучением, так и другими системами. Разработанный метод учета перманентного стохастического возмущения и самовоздействия квантовых подсистем дает новый инструмент редукции при изучении больших квантовых систем к квазизамкнутым системам меньшего размера. Выявленные особенности заселения энергетических состояний квантовых осцилляторов и ротаторов открывают новые возможности при создании веществ с заданными свойствами. Полученные результаты по динамике возбуждения спектров излучения атомов, являющихся элементами сложных систем, могут быть использованы при создании устройств по преобразованию света.

Защищаемые положения:

1. Введение в рамках фейнмановского подхода к квантовой механике вероятностной меры при переходе от континуального интегрирования к мультипликативному позволяет при её соответствующем определении записать уравнение Шрёдингера для эффективной, усредненной по влиянию окружения -функции выделенной подсистемы, являющейся элементом большого ансамбля.

2. Причинами нахождения квантовой подсистемы при в собственных состояниях стационарного уравнения Шрёдингера являются перманентное стохастическое возмущение и нелинейное взаимодействие подсистемы с окружением.

3. Нелинейный характер взаимодействия выделенной квантовой подсистемы с окружением и перманентное стохастическое возмущение приводят к различным вероятностям заселения энергетических уровней квантовых систем. Причем, у квантовых осцилляторов и ротаторов эти распределения близки в широком диапазоне температур к распределению Больцмана.

4. При температурах ниже некоторого предела из-за нелинейного характера взаимодействия с окружением при наличии перманентного стохастического возмущения возможна Бозе_конденсация состояний квантовых осцилляторов и ротаторов.

5. Наличие перманентного стохастического возмущения и самовоздействие квантовых подсистем через окружение приводят в случае участия атомов в коллективном движении к комбинационному рассеянию света ансамблем квазисвободных атомов.

6. Анизотропия возмущения приводит к понижению температуры, при которой возможна Бозе-конденсация состояний осцилляторов.

7. Бозе-конденсация состояний осциллятора в магнитном поле становится возможной при более низкой температуре, нежели без поля, а при больших напряженностях поля вообще невозможна.

Публикации. Список работ, в которых опубликованы основные результаты по теме диссертации, приводится в конце автореферата.

Личный вклад автора в работы, содержащие основные результаты и вывод диссертации. Постановка задач и формулировка выводов принадлежит автору диссертационной работы.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на выездной сессии Совета по спектроскопии СО АН СССР в г. Омске (1997), на Х Всесоюзном симпозиуме-школе по молекулярной спектроскопии высокого и сверхвысокого разрешения (июнь 1992, г. Омск), на XIV Международной конференции по нелинейной и когерентной оптике (сентябрь 1992, г. С. Петербург), на конференции с приглашением иностранных ученых «Импульсные лазеры на переходах атомов и молекул» (сентябрь 1993, г. Томск), на XI симпозиуме-школе с приглашением иностранных ученых HIRUS-94 (июнь 1994, Г. Москва). на Международной конференции «Импульсные лазеры на переходах атомов и молекул» (март 1996, г. Томск), на XI Международной Вавиловской конференции по нелинейной оптике (июнь 1998, г. Новосибирск), на III Международной конференции «Импульсные лазеры на переходах атомов и молекул» (сентябрь 1998, г. Томск), на IV Международной конференции «Импульсные лазеры на переходах атомов и молекул» (сентябрь 1999, г. Томск), на V Международной конференции “AMPL-2001” (сентябрь 2001, г. Томск), на VI Международной конференции “AMPL-2003” (сентябрь 2003, г. Томск), на VII Международной конференции “AMPL-2005” (сентябрь 2005, г. Томск), на VIII Международной конференции “AMPL-2007” (сентябрь 2007, г. Томск), на IX Международной конференции “AMPL-2009” (сентябрь 2009, г. Томск) .

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав и заключения. Она изложена на 206 страницах машинописного текста. Список литературы содержит 113 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении изложена мотивация исследования; обсуждены причины выбора объекта изучения; сформулированы цель работы и основные положения выносимые на защиту; дана краткая характеристика основных разделов диссертации.

В первой главе диссертации известные методы Лэкса и Цванцига применены для построения уравнения Неймана для систем, испытывающих перманентное стохастическое возмущение.

Метода Лэкса, основывается на предположении, что матрица плотности сложной квантовой системы является достаточно «массивной» и её заметные изменения происходят за промежутки времени , значительно большие характерных времен изменения оператора взаимодействия выделенной подсистемы с окружением. Кроме того, в нём априори предполагается, что окружающая среда - это термостат и перемешивания состояний подсистемы и окружения нет.

Исходным при построении уравнения для статистического оператора в методе Лэкса является уравнение Шрёдингера, записанное для сложной квантовой системы, имеющей большое число степеней свободы

(- гамильтониан подсистемы, эволюцией которой интересуются; _ гамильтониан окружения; - оператор взаимодействия подсистемы с окружающей средой; предполагается, что по норме значительно меньше как , так и ).

На флуктуации гамильтониана окружающей среды и оператора взаимодействия налагались следующие ограничения: они имеют стационарный характер, а время корреляций между ними значительно меньше характерных времен изменения квантовой подсистемы.

Статистический оператор всей системы представляется в виде прямого произведения матрицы плотности выделенной подсистемы на матрицу плотности термостата : . После вычисления шпура по матрице плотности термостата от правой и левой части уравнения Неймана для для статистического оператора подсистемы следует соотношение

.

В этом уравнении квадратные скобки обозначают коммутатор операторов; _ регулярная по времени составляющая оператора взаимодействия выделенной квантовой подсистемы с окружающей средой.

Кроме двух коммутаторов в уравнении стоит интеграл столкновений.

В предположении, что гамильтониан термостата можно представить в виде двух слагаемых, одно из которых является регулярной функцией времени и за промежутки порядка сколько-нибудь заметно не меняется, а второе - стохастическая составляющая гамильтониана окружения , найдено упрощённое выражение этого интеграла. При условии, что норма значительно больше нормы оператора взаимодействия подсистемы и термостата этот интеграл равен:



В общем случае величина параметров и обусловлена статистикой, которой подчиняется гамильтониан термостата. Если по норме значительно превосходит , для величины справедливо: . Причём, в случае, когда соответствует возбуждённой в пространстве электромагнитной волне, можно ориентируясь на теорему о равнораспределении энергии по степеням свободы приближенно оценить: (постоянная Больцмана, температура термостата). Параметр - положительное число, значение которого приближённо можно считать равным средней мощности флуктационного излучения.

Таким образом, в случае, когда окружающая среда рассматривается как термостат, уравнение Неймана для статистического оператора выделенной подсистемы, испытывающей перманентное стохастическое возмущение, имеет форму

.

Из полученных результатов следует, что даже в случае, когда регулярный во времени оператор возмущения подсистемы близок к нулю, диагональные матричные элементы статистического оператора со временем должны убывать. Это значит, что отсутсвие обратной связи между выделенной подсистемой и термостатом приводит со временем к распаду этой подсистемы.

Кроме того, в главе рассматриваются возможные следствия отказа от предположения о невозможности перемешивания состояний подсистемы и окружения. Для этого автор воспользовался модификацией метода Цванцига, разработанной чл.-корр. РАН С.Д. Твороговым (соответствующие материалы любезно предоставлены автору диссертации С.Д. Твороговым).

Подход Цванцига к описанию релаксации квантовых систем также основывается на разбиении большой квантовой системы на две подсистемы. Одну “массивную”, (ее обычно объявляют термостатом), и другую “легкую”, динамикой поведения которой при взаимодействии с окружением интересуются. При этом записывают уравнение Неймана для полной квантовой системы и затем редуцируют его до уравнения для статистического оператора выделенной “легкой” квантовой подсистемы. При предположении о возможности перемешивания состояний подсистем (вариант метода Цванцига, предложенный С.Д.Твороговым, позволяет это перемешивание учесть) получается уравнение

( - эффективный гамильтониан взаимодействия первой подсистемы со второй) в котором дополнительный интеграл столкновений является нелинейной функцией . Интеграл столкновений становится линейной функцией только при пренебрежении перемешиванием состояний выделенной подсистемы и окружения.

Полученные результаты показывают, что при редукции задачи о поведении части сложной системы к задаче только для одной подсистемы, уравнение Шрёдингера, описывающее эту подсистему в общем случае должно быть нелинейным. Однако выявление более конкретных закономерностей этой нелинейности при предположении, что вторая подсистема имеет стохастически меняющиеся слагаемые, в рамках формализма Цванцига крайне затруднено из-за больших математических проблем.

Во второй главе описан предлагаемый автором работы метод учёта перманентного стохастического возмущения квантовых систем. Этот метод использует эффективные усреднённые по влиянию окружения волновые функции, являющиеся решением уравнения Шрёдингера. При таком подходе сохраняется эффективная схема решения уравнения Шрёдингера.

При построении уравнения Шрёдингера для усреднённых функций используется метод Фейнмана.

Согласно Фейнману волновая функция удовлетворяет интегральному соотношению

,

где ? классическое действие, вычисленное по произвольной траектории, соединяющей начальную и конечную точки; под знаком интеграла соответствует континуальному суммированию по всем возможным кривым, соединяющим начальную и конечную точки.

Метод Фейнмана можно трактовать как разновидность способа описания распространения волн в среде. Причем, введение «единичных вторичных» волн и сопоставление каждой из них своего эйконала (траектории, или пути) позволяет формально разделить сложную квантовую систему на две подсистемы. Одна из них - это подсистема, эволюция которой интересует, а вторая - это остальная часть сложной системы. Первой при построении операторов, учитывающих стохастическое возмущение, ставится в соответствие -функция. Вторая же рассматривается как некоторая среда, в которой распространяются «вторичные» волны. В методе Фейнмана каждая альтернативная траектория - эта случайная ломанная линия, реализация которой обусловлена квантовыми флуктуациями.

В число причин, влияющих на реализацию той или иной траектории, предлагается включать перманентное стохастическое возмущение выделенной подсистемы соседями. Тогда вероятность того, что часть траекторий окончится в данный момент времени в данной точке пространства, совпадает с вероятностью, записанной для броуновской частицы. При переходе от континуального интегрирования к мультипликативному фейнмановский пропагатор усредняется по вероятности реализации траекторий. В итоге для усреднённых волновых функций подсистемы, находящейся в марковском термостате, построено по фейнманоскому алгоритму уравнение Шрёдингера:

(- гамильтониан изолированной подсистемы, - оператор потенциальной энергии, - регулярный во времени оператор возмущения).

Влияние окружения в построенном уравнении Шрёдингера учитывается с помощью двух параметров: (эффективная температура термостата, его «вязкость»). Кроме того в гамильтониан полученного уравнения Шрёдингера входит как параметр скорость подсистемы относительно окружающей среды.

Переход от уравнения Шредингера к уравнению Неймана для статистического оператора позволяет записать с точностью до членов, пропорциональных :

.



Если перейти, принимая во внимание теорему вириала, в этом уравнении к матричным элементам, вычисленным в энергетическом представлении, то для осциллятора и ротатора в итоге получаются уравнения, совпадающими с точностью до обозначений с уравнениями для матрицы плотности, полученным в приближении Лэкса.

Указанные совпадения позволяют сделать вывод о том, что волновые функции, удовлетворяющие построенному уравнению для усреднённых функций, в значительной степени учитывают возмущающие факторы.

В том случае, когда нельзя пренебрегать обратной связью между выделенной подсистемой и ближайшим окружением, уравнение Шрёдингера должно быть нелинейным. Во второй главе диссертации представлен один из возможных алгоритмов введения с помощью фейнмановского пропагатора нелинейных слагаемых в уравнение Шрёдингера, записанного для подсистемы, испытывающей перманентное стохастическое возмущение.

Поскольку весовая функция, по которой усредняется пропагатор, строится по законам классической статистики, учет влияния подсистемы на окружающую среду и, как следствие, через неё на себя может проявиться только при соответствующем построении лагранжиана. Другими словами, в лагранжиане кроме обычных должно содержаться слагаемое, содержащее функционал (в общем случае нелинейный). Так как лагранжиан определяется с точностью до полной производной от любой функции координат и времени, такая добавка вполне допустима. На функционал накладываются априорные ограничения. 1. Наличие в пропагаторе функционала не должно менять его групповые свойства (это сохраняет вычислительную схему метода Фейнмана и позволяет построить нелинейное уравнение Шрёдингера). 2. Волновая функция подсистемы сохраняет со временем нормировку.

Уравнение Шредингера, записанное при учёте априорных предположений для эффективных волновых функций, имеет вид:

.

(Часть возможных решений этого уравнения можно выразить через волновые функции , являющиеся решением линейного уравнения: ).

Нелинейный функционал можно рассматривать как оператор, учитывающий обратную связь, возникающую в сложной системе. Его вид показывает, что на окружающую подсистему среду оказывает влияние, прежде всего, движение частей этой подсистемы. В случае, когда скорость диффузии подсистемы в среде близка к нулю, функционал представляет собой с точностью до множителя среднее значение кинетической части гамильтониана выделенной подсистемы.

В третьей главе рассматриваются способы решения стационарного уравнения Шрёдингера, записанного для квантовых подсистем, испытывающих стохастическое возмущение. При этом основное внимание посвящается способам нахождения собственных волновых функций линейного уравнения

Найдено точное решение этого уравнения для водородоподобного атома, осциллятора и ротатора. Особенность найденных -функций водородоподобного атома и осциллятора являются условия их ортогональности. Так для водородоподобного атома скалярное произведение двух различных функций при интегрировании по угловым переменным удовлетворяет стандартным условиям ортогональности. Но для радиальных частей функций условие ортогональности нарушается.

Волновые функции осциллятора, испытывающего перманентное стохастическое возмущение, отличаются от волновых функций изолированного квантового осциллятора. Они записываются с помощью полиномов Эрмита комплексной переменной и так же являются неортогональными.

Состояния жёсткого ротатора, испытывающего стохастическое возмущение, не отличаются от состояний изолированного ротатора. Однако константа разделения имеет более сложный вид.

Кроме того в третьей главе представлена разработанная рекурсивная процедура решения уравнения Шрёдингера для произвольных квантовых систем, испытывающих перманентное ударное возмущение.

В четвёртой главе диссертации представлены результаты исследований влияния на излучение и рассеяние света ансамблем атомов деформаций их электронных оболочек, обусловленных движением атомов относительно соседей.

Основной проблемой при определении величины деформаций и их влияния на излучение атомов является адекватное задание в уравнении Шрёдингера оператора взаимодействия. В обычной схеме сделать это можно только феноменологически. Учет влияния стохастического возмущения атомов с помощью фейнмановского пропагатора позволяет вводить операторы, обусловленные движением естественным образом. Введение вероятностной меры при переходе в методе Фейнмана от контимуального интегрирования к мультипликативному автоматически приводит к появлении в уравнении Шрёдингера операторов, содержащих скорость дрейфа выделенной системы относительно соседей. В дипольном приближении линейное уравнение Шрёдингера для эффективных волновых функций при этом имеет вид:



( - невозмущенный гамильтониан изолированного атома, _ оператор потенциальной энергии, и - масса и заряд электрона, _ дипольный момент, скорость окружающей среды относительно выделенной подсистемы).

Дополнительный оператор в уравнении позволяет учитывать вызванные движением атомов относительно друг друга деформации атомных оболочек и, как следствие, изменение со временем их дипольного момента.

Поскольку атомы в молекулах и кристаллах колеблются около положения равновесия, функция близка к гармонической: (- амплитудное значение скорости колебаний атома, - циклическая частота колебаний).

При использовании сохраняющих нормировку волновых функций в двухуровневом приближении для осцилляций дипольного момента атома получается выражение:

.

Множитель (собственная частота квантового перехода) при подстановке в него типичные значения, по порядку величины близок к 10^-3-10^-2. Это значит, что этот возникающий из-за деформаций оболочки атома дипольный момент на много порядков превосходит величину дипольного момента индуцированного низкочастотным излучением с частотой . Следовательно, электромагнитное излучение, обусловленное деформациями атомов, является заметной величиной.

В диссертации в классическом пределе найдено значение интенсивности излучения твёрдого тела, связанного с деформациями атомов за счёт колебаний. Получено, что при с ростом частоты интенсивность будет убывать обратно пропорционально квадрату частоты. При интенсивность излучения пропорциональна , причем, если принять во внимание, что ( - температура кристалла), то для этого излучения . Поскольку условия, приводящие к соотношению выполняются практически всегда, полученные результаты указывают на один из каналов теплового излучения твёрдых тел.

Возникающая деформация атомных оболочек приводит к весьма заметным значениям индуцированного дипольного момента. Это, естественно, влияет на характере взаимодействия этих атомов с внешним излучением. Причем, в силу значительной величины дополнительной низкочастотной составляющей дипольного момента, в спектре рассеяния света атомами возникают комбинационные частоты. В приближении трёхуровневого водородоподобного атома в главе теоретически рассматривается комбинационное рассеяние интенсивного лазерного излучения ансамблем атомов, участвующих в колебаниях, обусловленных возбуждением в среде стоячей звуковой волны. Получено, что в рассеянном атомами излучении должны присутствовать кроме основной частоты еще как интенсивные низкочастотные электромагнитные волны (нечетные гармоники звуковой частоты ), так и волны с частотами (частота лазерного излучения, целое число). Причем, имеет место пространственная стратификация рассеянного лазерного излучения.

Кроме комбинационного рассеяния в случае стоячих звуковых волн в диссертации в рамках развиваемого автором подхода рассматривается рассеяние света в случае, когда из-за нагрева в веществе имеет место градиент температуры, и возникают звуковые волны в направлении этого градиента. Получено, что при синхронизации колебаний системы атомов этими звуковыми волнами, она излучает низкочастотные электромагнитные волны с нечетными гармониками звуковой частоты.

В двух и трехуровневом приближении рассмотрено рассеяние света атомами, испытывающими деформационное влияние соседей. Выявлено, что в спектре рассеяния кроме основной частоты падающего на систему атомов электромагнитного излучения присутствуют комбинационные частоты. Причём, эти частоты отличаются от несущей четными гармониками низкочастотных колебаний, что согласуется с хорошо известными фактами по спонтанному комбинационному рассеянию света. Выявлено, что в случае, когда колебания атомов синхронизованы звуковой волной, стоксовые компоненты рассеянного излучения должны значитель превосходить антистоксовые по интенсивности. В случае, когда возникающее низкочастотное излучение начинает существенно влиять на синхронизацию колебаний соседних атомов, картина рассеяния становится близкой к вынужденному комбинационному рассеянию. Сделанные оценки показывают, что в рассеянном излучении стоксовые и антистоксовые компоненты имеют практически равные интенсивности. Причем, интенсивность этих компонент значительно превосходит интенсивность света при синхронизации колебаний акустической волной. При этом конус рассеяния стоксовой компоненты уже, чем конус рассеяния антистоксовой. Качественно эта картина совпадает с тем, что наблюдают в экспериментах по вынужденному комбинационному рассеянию.

В пятой главе диссертации представлены результаты, полученные при анализе влияния перманентного стохастического возмущения на заселённость квантовых состояний осцилляторов и ротаторов в предположении, что они являются стабильными образованиями.

Как уже было отмечено, часть состояний квантовых систем, описываемых нелинейным уравнением Шрёдингера, можно найти, пользуясь соотношением:

,

где - волновые функции, удовлетворяющие уравнению Шрёдингера при .

Злесь - регулярные в математическом смысле функции времени, а - собственные функции стационарного уравнения Шрёдингера

.

Однако в силу нелинейности исходного уравнения среди его решений существуют и такие, у которых коэффициенты в суперпозиции являются нерегулярными функциями времени. В частности, это может иметь место в отсутствие регулярного во времени возмущения при флуктуациях параметра .

Эти «дополнительные» решения определяют заселённость квантовых уровней.

Для того чтобы ряд являлся решением нелинейного уравнения достаточно, чтобы коэффициенты удовлетворяли дифференциальным уравнениям:



,

.

При этом для чисел заполнения квантовых состояний справедливо:

,

где аргумент косинуса - это фаза комплексного числа .

Если рассматривать равновесное состояние выделенной квантовой подсистемы, то записанная система уравнений имеет решение, если отличным от нуля является только одно из чисел (). То есть числа заполнения могут принимать значения только нуль и единица. При этом автоматически выполняется условие .

При анализе динамики изменения заселенностей уровней из-за нелинейности уравнения Шрёдингера необходимо одновременно отслеживать поведение всех квантовых уровней, в том числе и незаполненных. Такой учёт с помощью методов, разработанных для анализа решения нелинейных уравнений, показывает, что в случае, когда параметр больше некоторого критического значения, незаполненные состояния выделенной подсистемы являются устойчивыми. Для осцилляторов при значениях параметра меньше критического значения (малое положительное число, собственная частота осциллятора, квантовое число), при котором уравнение Шрёдингера все ещё остается нелинейным, возможно скачкообразное изменение заселенности квантовых уровней выделенной подсистемы.

При учетё того, что вероятности изменения состояний нижних и верхних уровней различны, в диссертации численными методами найдено распределение заселенности различных квантовых состояний осциллятора.

На рисунках 1-5 представлены результаты численного моделирования, полученные для различных величин . Найденное распределение вероятности заселения энергетических уровней показано кружками, сплошная линия с квадратиками - приведенное для сравнения распределение Больцмана. Из полученных в диссертации результатов следует, что при основными причинами того, что физические системы, близкие по свойствам к осцилляторам, находятся в состояниях, совпадающих с собственными функциями стационарного уравнения Шредингера, а их переходы из состояния в состояние происходят скачком, являются перманентное стохастическое возмущение и нелинейное взаимодействие этих систем с окружающей средой. Влиянием этих факторов обусловлено и то, что у осцилляторов вероятность заселения ниже лежащих энергетических уровней оказывается больше, чем вероятность заселения верхних.

Важной особенностью поведения осцилляторов является то, что изменение заселенности квантовых уровней осциллятора при может происходить не всегда. Анализ показывает, что осциллятор может перейти только на те верхние уровни, квантовые числа которых удовлетворяют условию . Записанное соотношение указывает на то, что при эффективной температуре ниже предела должна наблюдаться Бозе_конденсация состояний осциллятора. Эта Бозе-конденсация не зависит от того, сталкиваются ли осцилляторы друг с другом или с другими частицами, например, электронами. При ее возникновении, по сути, прекращается обмен энергией между окружающей средой и колебательными степенями свободы осцилляторов. Это обстоятельство указывает на то, что у веществ, имеющих свободные носители заряда и близких по свойствам к системе слабо связанных осцилляторов, при протекании электрического тока при температуре ниже величины энергия, идущая на нагрев, должна быть минимальна. Другими словами, должна наблюдаться ситуация, близкая к сверхпроводимости.

В диссертации проведено исследование влияния магнитного поля и величины плотности тока на Бозе-конденсацию ансамбля заряженных осцилляторов. Получено, что температура, при которой должна происходить Бозе-конденсация состояний осцилляторов, зависит от величины магнитного поля:

.

Величина квантовых чисел зависит от температуры, но в двух предельных случаях: поле велико и поле мало этой зависимостью можно пренебречь.

Если имеет место соотношение , Бозе_конденсация состояний осцилляторов исчезает.

Зависимость температуры Бозе_конденсация от скорости направленного дрейфа возмущающих частиц имеет вид:

.

В работе при предположении, что переходы с более возбуждённых уровней на нижние сопровождаются излучением, получены распределения интенсивности излучения осцииляторов. Подобрана эмпирическая формула, определяющая связь между длиной волны, на которую приходится максимум интенсивности излучения, и температурой:

().

Кроме того, в пятой главе рассмотрен вопрос влияния стохастического возмущения на движение заряженных частиц в стационарном магнитном поле. Получено, что в случае сильного магнитного поля (импульс заряженной частицы в направлении магнитного поля) у интуцированных полем осцилляторов так же возможна Бозе-конденсация.

Рассмотрение влияния перманентного стохастического возмущения на состояния ротаторов приводит к результатам подобным тем, что получены для осцилляторов. Однако, вследствие вырождения энергетических уровней, волновая функция ротатора имеет более сложный вид:

.

Коэффициенты в общем случае нерегулярные функции времени.

Как показывает анализ, вероятности заселённости энергетических уровней , где подчиняется системе нелинейных алгебраических уравнений

.

Эта система имеет счетное множество решений: числа могут принимать значения только ноль и единица. Причем, единицей может быть только одно число заполнения. В работе получено, что переходы из одного состояния в другое при стохастическом возмущении ротатора квантовые переходы возможны только между состояниями с различной энергией. Переходы имеют характер скачка. Однако, при переходы невозможны. То есть при температуре ниже этого предела ротатор, попав в нижнее положение равновесия, не сможет перейти из него на верхний уровень без сильного внешнего воздействия. Следовательно, при температуре ниже будет иметь место Бозе-конденсация состояний ротатора. Представляется, именно этот эффект проявляется в теплоемкости газов. Важным свойством такой Бозе-конденсации состояний является отсутствие как спонтанного, так и вынужденного излучения ротаторов при температуре ниже некоторого предела.

На рисунках 6 и 7 приведены вычисленные распределения вероятностей для двух различных соотношений ; там же для сравнения построены кривые, соответствующие распределению Больцмана. Как видно из представленных результатов, вычисленные распределения вероятности заселения энергетических уровней довольно близки к распределению Больцмана.

В заключении сформулированы основные результаты и выводы диссертационной работы, изложены их новизна и научная ценность, приведены экспериментальные и теоретические подтверждения. Отдельный абзац посвящен благодарности автора людям, доброжелательное внимание которых к работе способствовало её написанию.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. В рамках статистического подхода проведён анализ влияния на выделенную подсистему перманентного стохастического возмущения, обусловленного остальной частью квантовой системы. Редуцированное к уравнению подсистемы уравнение Неймана квантовой системы в случае, когда окружение представляет собой массивный термостат, является линейным. Из полученного уравнения следует, что при этом состояние выделенной подсистемы должно описываться волновой функцией, не сохраняющей нормировку во времени.

2. При анализе случая, когда обратной связью пренебрегать нельзя (изменение состояния подсистемы существенно сказывается, по крайней мере, на ближайших соседях), показано с помощью метода Цванцига, что уравнение для матрицы плотности выделенной подсистемы должно быть нелинейным. Следовательно, в общем случае и уравнение Шрёдингера должно содержать нелинейные слагаемые.

3. Показано, что метод интегралов по путям Фейнмана дает возможность ввести в число факторов, влияющих на квантовую подсистему, перманентное стохастическое возмущение, и разработан соответствующий алгоритм. Стохастическое возмущение учитывается при переходе от континуального интегрирования к мультипликативному путём усреднения фейнмановского пропагатора по вероятности реализации случайных альтернативных траекторий. Это усреднение позволяет учитывать стохастические возмущения, корреляционное время которых много меньше характерных времен изменения квантовой подсистемы. Предложенный алгоритм усреднения пропагатора по вероятностям реализации возможных альтернативных траекторий позволяет кроме того вводить в число возмущающих факторов скорость направленного движения окружающей среды относительно выделенной подсистемы.

4. Показано, что если при усреднении сохраняются групповые свойства пропагатора, получающееся в итоге интегральное уравнение эквивалентно уравнению Шрёдингера, записанному для эффективных волновых функций, учитывающих влияние на квантовую подсистему перманентного стохастического возмущения.

5. Проанализировано поведение статистического оператора «чистого» состояния выделенной подсистемы, построенного с помощью усреднённых по влиянию окружения волновых функций. Показано, что в случае, когда обратной связью с окружением можно пренебречь, этот статистический оператор удовлетворяет такому же по структуре уравнению Неймана, что и оператор, полученный в результате редукции матрицы плотности сложной системы к матрице плотности подсистемы. Для ротаторов и осцилляторов эти уравнения для элемементов матрицы плотности, записанных в энергетическом представлении, в частном, но важном случае взаимодействия с электромагнитном полем вообще совпадают.

6. Получено уравнение Шрёдингера для сохраняющих нормировку во времени усреднённых по влиянию окружения волновых функций. Это уравнение является нелинейным, и его гамильтониан по форме близок к гамильтониану, используемому в молекулярной спектроскопии при описании стационарного влияния соседних молекул друг на друга.

7. Показано, что часть решений нелинейно уравнения совпадает с перенормированными волновыми функциями, являющимися решением линейного уравнения Шрёдингера, записанного для усреднённых волновых функций.

8. Найдены точные решения уравнения Шрёдингера для усредненных функций атома водорода, осциллятора и ротатора. Построена теория возмущения для усреднённых волновых функций произвольного атома. Показано, что стохастическое возмущение может приводить к нарушению условий ортогональности для волновых функций, являющихся решением стационарного уравнения Шрёдингера.

9. Получено, что при меняющейся со звуковой частотой скорости дрейфа атомов относительно окружения, у них вследствие деформации электронной оболочки индуцируются осциллирующие со звуковой частотой дипольные моменты, соизмеримые по величине с резонансным. Эти индуцированные дипольные моменты дают заметный вклад в тепловое излучение твёрдых тел.

10. Показано, что действие на атомы, осциллирующие относительно соседей, резонансного квантовому переходу оптического излучения приводит к комбинационному рассеянию света. Получены в двухуровневом и трехуровневом приближении условия, при которых это комбинационное рассеяние становится заметным. Показано, что в случае, когда осцилляции обусловлены упругими волнами, интенсивность стоксовой компоненты много больше интенсивности антистоксовой. В случае, когда низкочастотные осцилляции синхронизованы низкочастотной электромагнитной волной, стоксовая и антистоксовая компоненты становятся соизмеримы между собой. Они являются более интенсивными, нежели аналогичные составляющие при синхронизации колебаний упругими волнами, причем наиболее интенсивны эти компоненты в направлении, совпадающем с направлением падающей на квантовую подсистему световой волны.

11. Получено, что при возбуждении в твердом теле стоячей звуковой волны и облучении его электромагнитным излучением, это твердое тело может стать излучателем низкочастотного электромагнитного излучения с узкой диаграммой направленности.

12. Проанализировано влияние нелинейности уравнения Шрёдингера на его возможные решения. Получено, что кроме регулярных по времени решений это уравнение допускает и нерегулярные решения, переходы между которыми носят характер скачка. Получено, что из-за разной вероятности изменения состояний нижних и верхних уровней заселенность более низких уровней квантового осциллятора больше, чем верхних. Построены методами математического моделирования кривые заселенности квантового осциллятора при разных отношениях энергии колебаний и температуры. Кривые в широком диапазоне температур близки к распределению Больцмана.

13. Анализ возможных решений нелинейного уравнения Шрёдингера показывает, что при температуре ниже величины у осцилляторов, испытывающих перманентное стохастическое возмущение должна наблюдаться Бозе_конденсация состояний. Такая Бозе-конденсация приводит к тому, что система осцилляторов становится «невидимой» в оптическом диапазоне вблизи частоты, совпадающей с собственной частотой осцилляторов. Кроме того, из этого результата следует, что у твёрдых тел, свойства которых близки к свойствам слабосвязанных осцилляторов, при наличии в этих телах свободных носителей заряда при понижении температуры ниже должны резко уменьшаться тепловые потери.

14. Рассмотрено влияние нелинейного характера взаимодействия ротаторов на заселённость их энергетических уровней. Получено, что при понижении температуры ниже критической величины имеет место Бозе-конденсация состояний ротатора, что должно приводить к эффекту «невидимости» ротаторов в оптическом диапазоне вблизи вращательных частот.

15. Исследовано влияние перманентного стохастического влияния на циклотронное излучение заряженных частиц в стационарном магнитном поле. Получено, что при увеличении напряженности поля выше некоторой критической величины, зависящей от температуры, циклотронное излучение может исчезнуть.

16. Получено, что анизотропия возмущения (движение возмущающих частиц преимущественно в одном направлении) может привести к исчезновению Бозе_конденсации состояний осцилляторов.

17. Рассмотрено влияние магнитного поля на Бозе-конденсацию состояний заряженных осцилляторов. Получено, что с ростом напряженности магнитного поля эта конденсация должна наблюдаться при всё более низкой температуре, а при превышении напряженности поля величины такой конденсации вообще не будет.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ

1. Иванов В.Н. Связь эффективных волновых функций с формализмом матрицы плотности.// Изв. вузов. Физика. - 1998. Т.41. №7. С. 13-17.

2. Иванов В.Н. К вопросу о квантовых состояниях.//Изв. вузов. Физика. - 1983. Т.26. №4. С. 60-62.

3. Иванов В.Н. Ограничение длины траекторий и уравнение Клейна-Гордона. //Изв. вузов. Физика. - 1984. Т.27. №12 - С. 63-66.

4. Иванов В.Н. Кинетический способ описания релаксации квантовых систем. //Оптика атмосферы. - 1991. Т.4. №1. С. 82-87.

5. Иванов В.Н. Рассеяние света нестабильными двухуровневыми атомами.//Оптика атмосферы. - 1988. Т.1. №11. С. 10-15.

6. Иванов В.Н., Творогов С.Д. Об интерференции квантовых состояний в сильных полях. //Изв. РАН. Сер. Физика. - 1992. Т.56. №8. С. 76-83.

7. Иванов В.Н. Эвристический способ описания релаксации квантовых систем. //Изв. вузов. Физика. - 1996. Т.39. №2. С. 7-13.

8. Иванов В.Н. Об одном канале передачи энергии от кинетических электронным степеням свободы молекул. //Изв. вузов. Физика. - 1996. Т.39. №9. С. 20-26.

9. Иванов В.Н. Водородоподобный атом в марковском термостате. //Изв. вузов. Физика. - 1993. Т.36. №9. С. 8-11.

10. Иванов В.Н., Иванов И.В. Тепловое излучение системы слабосвязанных осцилляторов, испытывающих перманентное стохастическое возмущение. // Оптика атмос. и океана. - 2007. Т.20. №11. С. 31-39.

11. Иванов В.Н., Иванов И.В. Возможный эффект «исчезновения» излучения у ансамбля взаимодействующих молекул.//Оптика атмос. и океана. - 2004. Т.17. №2-3. С. 201-205.

12. Иванов В.Н. Влияние направленного движения частиц в термостате на релаксацию квантовых систем. //Изв. вузов. Физика. - 1993. Т.36. №3. С. 110-113.

13. Иванов В.Н. Преобразование видимого когерентного излучения в инфракрасное. //Оптика атмос. и океана. - 1995. Т.8. № 11. С. 1642-1647.

14. Иванов В.Н. Генерация ансамблем атомов, дрейфующим в марковском термостате, второй гармоники рассеиваемого лазерного излучения.// Оптика атмос. и океана. - 1998. Т.11. №2-3. С. 274-276.

15. Иванов В.Н., Ласица А.М. Влияние звуковых и низкочастотных электромагнитных волн, распространяющихся в веществе, на спектральный состав рассеянного лазерного излучения.//Оптика атмос. и океана. - 1999. Т.12. №11. С. 1037-1040.

16. Иванов В.Н., Ласица А.М. Генерация гармоник лазерного излучения в ударной волне ансамблем трехуровневых атомов.//Оптика атмос. и океана. - 1999. Т.12. №11. С. 1045-1046.

17. Иванов В.Н. Влияние нелинейного взаимодействия молекул на их излучение.//Оптика атмос. и океана. - 2002. Т.15. №3. С. 275-281.

18. Иванов В.Н., Иванов И.В. Комбинационное рассеяние лазерного излучения атомами, участвующими в колебательном движении. //Оптика атмос. и океана. - 2004. Т.17. №2-3. С. 157-158.

19. Иванов В.Н. Влияние интерференции квантовых состояний на уширение энергетических уровней в сильном электромагнитном поле. //Изв. вузов. Физика. - 1993. Т.36. №11.С.8-12.

20. Иванов И.В., Иванов В.Н. Влияние стационарного магнитного поля на спектр излучения молекул. //Изв. Томского политехнического университета. Математика и механика. Физика - 2008. Т.312. №2. С. 71-72.