Моделирование движения шарика в вязкой жидкости

Размещено на http://www.allbest.ru/

Лабораторная работа

Моделирование движения шарика в вязкой жидкости

жидкость вязкий моделирование компьютерный



Цель работы - изучение закономерностей движения небольшого сферического тела в вязкой жидкости методом компьютерного моделирования и выбор оптимальных параметров эксперимента для определения вязкости жидкости методом Стокса.

Вязкость жидкости - свойство жидкости оказывать сопротивление относительному перемещению ее слоев, которое проявляется том, что возникает сила трения между слоями жидкости, движущимися с различными скоростями. Количественной характеристикой вязкости является коэффициент динамической вязкости, или коэффициент внутреннего трения. Классическим экспериментальным методом определения коэффициента динамической вязкости жидкости является метод Стокса, основанный на закономерностях падения шарика в вязкой среде. Вычисление коэффициента динамической вязкости в практической работе осуществляется по результатам измерения времени равномерного движения шариков различного радиуса в вязкой среде по следующей формуле [1.1]:

гдез - коэффициент динамической вязкости жидкости, g- ускорение свободного падения, g =9,81 м/с², r - радиус шарика, сш - плотность материала, из которого сделан шарик (как правило, сталь), сж - плотность жидкости, в которой движется шарик (например, касторовое масло), v - скорость равномерного движения шарика, R - радиус сосуда, h - высота столба жидкости.

Поскольку шарик движется равномерно, скорость его движения может быть определена по формуле:

где S - расстояние, пройденное шариком, t - время движения шарика. Окончательно расчетная формула имеет вид:

Точность результата измерения зависит от точности, с которой измерены, входящие в расчетную формулу величины, и от правильного выбора параметров эксперимента - радиуса шарика и области равномерного движения. Выбор оптимальных параметров можно осуществить на основании моделирования процесса падения шарика в вязкой среде.

Относительная погрешность в определении вязкости может быть рассчитана по формуле:

От радиуса шарика зависят 2-еи 5-еслагаемые. ?r - погрешность в измерении радиуса шарика, определяется возможностями приборов. Для микрометра, используемого в данной практической работе, она составляет половину цены деления, равную 0,01 мм, следовательно, ?r = 0,005 мм.

Относительная погрешность в определении скорости может быть связана с тем, что, во-первых, шарик движется не в неограниченной среде, а в сосуде, ограниченном стенками, а во-вторых, с тем, что движение считается равномерным.

Скорость движения шарика может быть представлена как:

Тогда относительная погрешность, связана с предположением о движении шарика в безграничной среде, равна:

где v₀ - скорость равномерного движения шарика в сосуде, v_р - скорость равномерного движения шарика в безграничной среде.

Относительная погрешность, связанная с неравномерностью движения шарика равна:

При t>?, у_v^/ >0. Выбирая для начала отсчета времени, положение шарика такое, что у_v^/ >>у_v движение с хорошей степенью точности можем считать равномерным. Выбор соответствующего момента времени может быть осуществлен по результатам расчета v и S.

Расчет относительной погрешности в определении вязкости жидкости для различных радиусов шарика производится с помощью стандартного табличного процессора, например, MS Excel.

Для численного моделирования - закономерностей движения шарика в вязкой среде и для расчета значений времени t и положения S, начиная с которых движение шарика будет равномерным, так же используется табличный процессор (MS Excel).

- скорость равномерного движения шарика в жидкости

- поправка, связанная с наличием стенок сосуда

д₁ = (k₁ ? 1)?100% - относительная погрешность, связанная с поправкой, учитывающей влияние стенок сосуда

- поправка, связанная с конечной высотой сосуда

д₂ = (1 ? k₂)?100% - относительная погрешность, связанная с наличием поправки, учитывающей конечную высоту сосуда

д = (1 ? k₁·k₂)?100% - относительная погрешность, связанная с наличием обеих поправок

Моделирование движения шарика в вязкой жидкости при установлении режима равномерного движения

- скорость, приобретенная шариком за время падения в воздухе

- скорость равномерного движения

a =б - в*v - ускорение

Таблица 1.1 - Определение оптимального радиуса шарика.

с, кг/м3	r, мм	vр	k1	д1	k2	д2	д	дr
7800	0,0005	0,0037278	0,9259259	-0,074074	0,9945301	0,0054699	0,0791388	20
сж, кг/м3	0,001	0,0149112	0,862069	-0,137931	0,9891197	0,0108803	0,1473106	10
960	0,0015	0,0335502	0,8064516	-0,193548	0,9837678	0,0162322	0,2066388	6,6666667
з, Па·с	0,002	0,0596448	0,7575758	-0,242424	0,9784736	0,0215264	0,2587321	5
1	0,0025	0,093195	0,7142857	-0,285714	0,973236	0,026764	0,3048314	4
R, м	0,003	0,1342008	0,6756757	-0,324324	0,9680542	0,0319458	0,3459093	3,3333333
0,015	0,0035	0,1826622	0,6410256	-0,358974	0,9629273	0,0370727	0,3827389	2,8571429
h, м
0,3
g, м/с2

Таблица 1.2 - Зависимость параметров движения шарика в вязкой жидкости от его радиуса

r, м	Шаг	V0	Vp	t	S	?t
0,001	12	0	0,014896	0,012	0,000153	0,001
0,0015	15	0	0,033516	0,0275	0,000791	0,0025
0,0017	13	0	0,043049	0,039	0,001463	0,003
0,002	17	0	0,059584	0,0595	0,003132	0,0035
0,0025	12	0	0,0931	0,084	0,006812	0,007
0,003	15	0	0,134064	0,135	0,016007	0,009
0,0035	14	0	0,182476	0,182	0,029336	0,013

Таблица 1.3 - Зависимость параметров движения шарика в вязкой жидкости от высоты, с которой он падает в жидкость

h, м	Шаг	V0	Vp	t	S	?t
0,05	17	0,989949	0,014896	0,017	0,001943	0,001
0,1	18	1,4	0,0149	0,018	0,00267	0,001
0,15	18	1,71464	0,0149	0,018	0,00321	0,001
0,2	18	1,97989899	0,014896	0,018	0,002674	0,001

Вывод: В ходе работы Я изучил закономерности движения небольшого сферического тела в вязкой жидкости методом компьютерного моделирования и выбрал оптимальные параметры эксперимента для определения вязкости жидкости методом Стокса.

Программная реализация методов математического моделирования

Цель работы - ознакомление с принципами программной реализации численных методов на примере оценки погрешности. Пусть имеется несколько значений каких-либо параметров х_i, используемых для расчёта либо измерения, и известны их относительные погрешности Дi. Требуется определить величину погрешности в результате операций над этими параметрами. Математические выражения, значения их параметров и погрешности этих параметров к данному заданию приведены соответственно в таблицах 2.1 и 2.2.

В качестве результата должны быть получены значение проведённого расчета и погрешность этого расчёта.

Данные, получаемые в эксперименте, всегда имеют некоторую неточность. Погрешность измерений диктуется ограниченной точностью приборов, допущениями при моделировании, округлениями при вычислениях. За счёт погрешности начальных данных формируется погрешность результата вычисления.

Под относительной погрешностью Дi > 0 данных х_iподразумевается, что значение исходных данных (например, полученных при измерении) может лежать между х_i(1 - Дi) и х_i(1 + Дi). Абсолютные погрешности определяются как Дi|х_i|. При сложении или вычитании двух чисел абсолютные погрешности складываются. При умножении (делении) складываются относительные погрешности.

Задание для моделирования

В программе моделируются два выражения: вычисление заданного математического расчёта; вычисление погрешности этого расчёта. Отметим, что, вычисление абсолютных погрешностей при выполнении некоторых операций и перевод этих абсолютных погрешностей обратно к относительным удобнее моделировать сразу же во втором выражении, без введения дополнительных операторов.

Выполнение работы:

Таблица 2.1 - Значения и погрешности параметров

серия	параметры
	А	В	С	D	E
1	15 ± 2%	5 ± 1%	2 ± 0,5%	12 ± 1,5%	9 ± 0,6%
2	3 ± 0,2%	4 ± 0,2%	13 ± 1%	2 ± 0,4%	7 ± 0,3%
3	1 ± 0,1%	8 ± 1%	5 ± 0,2%	14 ± 3%	12 ± 2%

Выберем три примера из таблицы с математическими выражениями и найдем для них относительные и абсолютные погрешности с учетом таблицы параметров для трех серий.

Таблица 2.2 - Значения относительных и абсолютных погрешностей

Серия	Уравнение 0	Уравнение 5	Уравнение 5
			X			X			X
1	0,825	4,356	5,28	0,235	0,05	0,255	0,093	6,5	70,5
2	0,526	1,4	15,672	0,03	0,211	0,181	0,114	0,262	2,3
3	0,417	34,16	84,32	0,464	0,291	0,629	0,051	0,007	0,14

Таблица 2.3 - Используемые математические уравнения.

	Уравнение 1(0)	Уравнение 2(5)	Уравнение 3(5)
	(A-B)/C+(C-D)*B/E	((A-B)*(B+C))/((C-D)*(D+E))	A*B/C+A*D/E+B-D

Вывод: в данной практической работе мы закрепили навыки вычисления погрешностей при известных параметрах, используемых для расчета, в результате проведения операций над этими параметрами; провели необходимые расчеты над математическими выражениями.

Моделирование случайных чисел

Цель работы - изучить методы и алгоритмы моделирования случайных величин.

Случайным опытом или экспериментом называется процесс, при котором возможны различные исходы, так что нельзя заранее предсказать, каков будет результат. Величина X={x_i}=x₁, x₂, …, x_n, представляющая собой результат случайного опыта, называется случайной величиной. Непостоянство результата такого опыта может быть связано с наличием случайных ошибок измерений или со статистической природой самой измеряемой величины (например, процесс распада радиоактивного вещества). Будем обозначать отдельные значения, которые принимает случайная величина (не обязательно численные), как x_i, где i = 1, 2, …, n. Любая функция от x_i будет также случайной величиной.

Под моделированием случайной величины Х принято понимать процесс получения на ЭВМ её выборочных значений x₁, ..., x_n.

На практике используются три основных способа генерации случайных чисел:

- табличный (файловый) - ввод таблиц равномерно распределённых случайных чисел;

- аппаратный (физический) - использование специального приспособления - "датчика" случайных чисел, формирующего случайные величины путём физического моделирования некоторых случайных процессов (излучения радиоактивных источников, шумов электронных ламп и др.);

- алгоритмический (программный) - использование псевдослучайных (квазислучайных) последовательностей, реализуемых программным генератором случайных чисел.

Псевдослучайными числами называются числа, вырабатываемые ЭВМ рекуррентным способом по специальным алгоритмам, когда каждое последующее число x_i получается из предыдущих в результате применения некоторых арифметических и логических операций. Такая последовательность чисел удовлетворяет известным критериям случайности, хотя входящие в эту последовательность числа зависимы между собой. Одним из недостатков этого метода является периодичность образованных программным способом псевдослучайных чисел, но для ряда задач, не требующих большого количества случайных чисел, длина периода является достаточной.

Среднее значение полученной последовательности: 0,503991

Дисперсия полученной последовательности: 0,083185

Среднее значение дискретной случайной величины: 32,048

Дисперсия дискретной случайной величины: 198,9571

Таблица 3.1 - Абсолютная и относительная частота попаданий в интервал.

Интервал	Частота попаданий в данный интервал	Относительная частота попадания
0-0,1	47	0,094
0,1-0,2	51	0,102
0,2-0,3	50	0,1
0,3-0,4	43	0,086
0,4-0,5	55	0,11
0,5-0,6	54	0,108
0,6-0,7	42	0,084
0,7-0,8	58	0,116
0,8-0,9	53	0,106
0,9-1	47	0,094
8,00	78	0,156
15,00	168	0,336
21-26	154	0,308
35,00	0	0
51-58	100	0,2

Таблица 3.2 - Параметры для моделирования дискретной величины.

Таблица распределения
xi	8	15	21	26	35	51	58
pi	0,1	0,05	0,15	0,2	0,3	0,1	0,1
	0-0,1	0,1-0,15	0,15-0,3	0,3-0,5	0,5-0,8	0,8-0,9	0,9-1

Рисунок 3.1 - Гистограмма по относительной частоте попаданий.

Рисунок 3.2 - Относительная частота попаданий (для дискретной величины)

Вывод: в данной работе были изучены методы и алгоритмы моделирования случайных величин

Визуальный язык программирования: Visual Basic for Applications

Цель работы - получить начальные сведения о написании макросов на встроенном в MSOffice языке программирования Visual Basic for Applications (VBA).

VBA - это подмножество визуального языка программирования VisualBasic (VB), которое включает почти все средства создания приложений VB.

VBA отличается от языка программирования VB тем, что система VBA предназначена для непосредственной работы с объектами Office, в ней нельзя создавать проект независимо от приложений Office. Таким образом, в VBA языком программирования является VB, а инструментальная среда программирования реализована в виде редактора VB, который может активизироваться из любого приложения MS Office.

Например, для того, чтобы открыть редактор VBA из приложения Excel необходимо выполнить команду Сервис / Макрос / Редактор VBA или комбинацией клавиш Alt + F11. Вернуться из редактора в приложение можно, выбрав команду Microsoft Excel в меню Вид или комбинацией клавиш Alt + F11.

С помощью встроенного в редактор VBA набора элементов управления и редактора форм пользователь может создать пользовательский интерфейс для разрабатываемого проекта с экранной формой. Элементы управления являются объектами, а для каждого объекта определен ряд возможных событий (например, щелчок или двойной щелчок мыши, нажатие клавиши, перетаскивание объекта и т.д.).

Каждое событие проявляется в определенных действиях программы (откликах, реакции). Пользовательская форма позволяет создавать окна диалога приложений. Язык программирования VBA служит для написания кода программы, например для создания функций пользователя в Excel.

Тот факт, что система программирования VBA предназначена для работы с объектами Office, позволяет эффективно ее применять для автоматизации деятельности, связанной с разработкой различных типов документов.

Таблица 4.1 - Полученные значения

0,705548	0,488397		0	0,1	43	0,086
0,533424			0,1	0,2	49	0,098
0,579519			0,2	0,3	61	0,122
0,289562			0,3	0,4	53	0,106
0,301948			0,4	0,5	60	0,12
0,77474			0,5	0,6	56	0,112
0,014018			0,6	0,7	42	0,084
0,760724			0,7	0,8	46	0,092
0,81449			0,8	0,9	41	0,082
0,709038			0,9	1	49	0,098

Sub Primer1()

a = 0

For i = 1 To 500

Sheets(1).Cells(i, 1) = Rnd

a = a + Sheets(1).Cells(i, 1)

Next i

Sheets(1).Cells(1, 2) = a / 500

For i = 0 To 0.9 Step 0.1

Sheets(1).Cells(i * 10 + 1, 4) = i

Sheets(1).Cells(i * 10 + 1, 5) = i + 0.1

Next i

For i = 1 To 10

Sheets(1).Cells(i, 6) = 0

For j = 1 To 500

If Sheets(1).Cells(j, 1) > Sheets(1).Cells(i, 4) And Sheets(1).Cells(j, 1) < Sheets(1).Cells(i, 5) Then

Sheets(1).Cells(i, 6) = Sheets(1).Cells(i, 6) + 1

End If

Next j

Sheets(1).Cells(i, 7) = Sheets(1).Cells(i, 6) / 500

Nexti

EndSub

Вывод: в этой работе была разработана программа по исследованию параметров случайных чисел.



Решение систем линейных алгебраических уравнений

Цель работы - на практике освоить и проверить методы расчета систем линейных алгебраических уравнений.

Современная вычислительная математика располагает большим арсеналом методов, а математическое обеспечение ЭВМ -- многими пакетами прикладных программ, позволяющих решать различные возникающие на практике линейные системы. Чтобы ориентироваться среди методов и программ и в нужный момент сделать оптимальный выбор, нужно разбираться в основах построений методов и алгоритмов, учитывающих специфику постановок задач, знать их сильные и слабые стороны и границы применимости.

Все методы решения линейных алгебраических задач (наряду с задачей решения СЛАУ, это и вычисление определителей, и обращение матриц, и задачи на собственные значения) можно разбить на два класса: прямые и итерационные. Прямые методы - это такие методы, которые приводят к решению за конечное число арифметических операций. Если операции реализуются точно, то и решение также будет точным (в связи с чем к классу прямых методов применяют еще название точные методы). Итерационными методами называют методы, в которых точное решение может быть получено лишь в результате бесконечного повторения единообразных (как правило, простых) действий.

Другое ограничение будет касаться рассматриваемых систем. Условимся говорить о численном решении таких СЛАУ, у которых число уравнений совпадает с числом вещественных неизвестных, причем будем предполагать наличие единственного решения, если существование и единственность не следует из каких-либо условий.

Такое ограничение здесь довольно естественно, так как решение и недоопределенных, и переопределенных систем, а также систем с

комплексными коэффициентами и переменными, в конечном счете, сводится к решению однозначно определенных вещественных систем.

Итак, изучается вопрос о численном решении систем вида

(5.1)

или иначе, векторно-матричных уравнений

Ах = b,

где b = (b₁, b₂, …, b_n)^T -- вектор свободных членов и x = (x₁, x₂,…, x_n)^Т -- вектор неизвестных (он же в другой интерпретации может означать и вектор-решение) с вещественными координатами, а А = -- вещественная nn-матрица коэффициентов данной системы. Эффективность способов решения системы во многом зависит от структуры и свойств матрицы А: размера, обусловленности, симметричности, заполненности (т.е. соотношения между числом ненулевых и нулевых элементов), специфики расположения ненулевых элементов в матрице и др.

Таблица 5.1 Изначальная матрица

3	-4	6	5	X
1	7	-3	17	Y
8	2	5	24	Z

Таблица 5.2 Решение по методу Гаусса

3	-4	6	5	X
0	-25	15	-46	Y
0	0	-6,71053	-24,9474	Z

Найденные переменные:

X= -0,34118

Y= 4,070588

Z= 3,717647

Код программы, используемый в Visual Basic:

Sub Suz ()

Dim A(2, 3) As Variant

For i = 0 To 2

For j = 0 To 3

A(i, j) = Sheets(1).Cells(i + 1, j + 1)

Next j

Next i

For b = 0 To 1

For j = b + 1 To 2

K = A(b, b) / A(j, b)

For i = b To 3

A(j, i) = A(b, i) - A(j, i) * K

Next i

Next j

Next b

z = A(2, 3) / A(2, 2)

y = (A(1, 3) - A(1, 2) * z) / A(1, 1)

x = (A(0, 3) - A(0, 2) * z - A(0, 1) * y) / A(0, 0)

Sheets(1).Cells(1, 6) = x

Sheets(1).Cells(2, 6) = y

Sheets(1).Cells(3, 6) = z

For i = 0 To 2

For j = 0 To 3

Sheets(1).Cells(i + 10, j + 1) = A(i, j)

Next j

Next i

End Sub

Вывод: при выполнении данной работы мы освоили и проверили методы расчета систем линейных алгебраических уравнений, в частности методом Гаусса, при этом выполняя работу и изучая код в Visual Basic программы Excel.

Размещено на Allbest.ru