Использование суперсимметрии для интегрирования уравнений Эйнштейна и гладкая фантомизация

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

Специальность 01.04.02 - Теоретическая физика

Автореферат

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Использование суперсимметрии для интегрирования уравнений Эйнштейна и гладкая фантомизация

Верещагин Сергей Дмитриевич

Работа выполнена в Российском государственном университете

имени Иммануила Канта.

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук,

зав. кафедрой теоретической физики РГУ имени Иммануила Канта

Юров Артём Валерьянович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, ведущий сотрудник Объединенного института ядерных исследований (Дубна),

Манджавидзе Иосиф

кандидат физико-математических наук,

проректор по научной работе БГА,

Кострикова Наталья Анатольевна

Ведущая организация:

Кафедра физики высоких энергий и элементарных частиц физического факультета СПбГУ

Защита состоится «___»________________2006 года в ____ч ____мин

на заседании диссертационного совета К.212.084.02 физического факультета Российского государственного университета имени Иммануила Канта по адресу 236041, г. Калининград, ул. Александра Невского, 14.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Российского государственного университета имени Иммануила Канта.

Автореферат разослан «____»________________2006 года.

Учёный секретарь диссертационного совета В.А. Пахотин

Актуальность темы. Предлагаемая работа посвящена использованию суперсимметричного подхода для построения точных решений космологических уравнений Эйнштейна в метрике Фридмана и нахождения семейств потенциалов самодействия скалярного поля, соответствующих плоскому спектру неоднородностей. Кроме того, исследуются некоторые свойства многомерных преобразований Дарбу-Мутара и связь между спонтанным нарушением суперсимметрии в суперсимметричной квантовой механике (СКМ) и теории поля.

1) Космология в настоящий момент является одним из наиболее интересных и бурно развивающихся разделов физики. Однако, исследования в ней осложняются тем обстоятельством, что известно сравнительно небольшое количество точных решений соответствующих уравнений, адекватное приближение существует далеко не всегда, а численный анализ может пропустить целые классы решений или не заметить некоторые особенности их поведения. В настоящей работе предложен метод, основанный на использовании преобразования Дарбу (или суперсимметрии), позволяющий построить новый класс точных космологических моделей. Так же в работе проведены исследования полученных моделей для некоторых интересных случаев, что, в частности, позволило обнаружить явление гладкой фантомизации, то есть возможность такой эволюции Вселенной, при которой обычное состояние в некоторый момент времени гладко (то есть без разрывов как функций, так и их производных) переходит в состояние с нарушенным слабым энергетическим условием (). В работе исследованы разнообразные следствия этого явления и рассмотрены возможные возражения против него; разработан метод, позволяющий вырезать области с нарушением слабого энергетического условия который позволяет, в частности, построить точную космологическую модель с первичной инфляцией, выходом из неё и вторичной инфляцией.

2) Важнейшей задачей космологии является изучение генерации неоднородностей с плоским спектром. Одним из обсуждаемых в литературе механизмов является так называемая тахионная нестабильность. Исследования показали, что если главный вклад в тензор энергии-импульса вносит некоторое скалярное поле с минимальной связью, то плоский спектр возникает при достаточно жестком ограничении на форму потенциала самодействия и величину входящих в него параметров. В данной работе продемонстрировано, что, используя суперсимметричный подход, можно построить сколь угодно большое семейство потенциалов соответствующих плоскому спектру неоднородностей.

3) Эффективным способом построения суперсимметричных моделей является метод преобразований Дарбу (ПД). В одномерном случае ПД позволяет построить квантовый гамильтониан с заданным конечным дискретным спектром. Изоспектральные системы в одномерном случае возникают тогда, когда опорная функция ПД является положительно определённой. Например, если в качестве таковой выступает волновая функция основного состояния исходного гамильтониана, то спектр (дискретный) нового гамильтониана получается из спектра исходного просто вычёркиванием нижнего уровня. Если, всюду положительная, опорная функция достаточно быстро растёт вдоль обоих направлений вещественной оси, то подобной процедурой можно получить спектр исходного гамильтониана из спектра нового. Наконец, если положительно-определённая опорная функция быстро растёт в одном направлении и убывает в другом, то спектры гамильтонианов, сплетённых посредством ПД - совпадают. В последнем случае реализуется нарушенная суперсимметрия, а в первых двух - точная. Кроме того, можно удалять уровни из любого места спектра группами, если пользоваться схемой Адлера.

В многомерном случае (d>1), ситуация становится гораздо сложнее, поскольку при этом возникает последовательность сплетающихся друг с другом матричных гамильтонианов. Изоспектральными оказываются лишь ближайшие соседи этой цепочки, спектры же двух скалярных гамильтонианов замыкающих цепочку, вообще говоря, никак не связаны. Использование в качестве опорной волновой функции основного состояния исходного скалярного гамильтониана с потенциалом степенного типа, приводит, как и в одномерном случае, к исчезновению нижнего уровня у всех остальных гамильтонианов цепочки. Однако, использование других потенциалов, приводит к качественно новому поведению. Например, в двух измерениях цепочка состоит из двух скалярных и одного матричного гамильтонианов. Можно, оказывается, найти модели, такие, что ПД будет "удалять" нижний уровень в спектре правого замыкающего скалярного гамильтониана, но "оставлять" его в спектре матричного. Можно добиться и обратного: наличия нижнего уровня в спектрах правого замыкающего и матричного. В обоих случаях, в спектре суперсимметричного гамильтониана, который строится блочно-диагональным образом из этих трёх, будет присутствовать двукратно-вырожденный уровень E=0. Аналогичную процедуру можно провести и для произвольной размерности.

Такие модели могут быть весьма интересны с точки зрения теории поля. Как известно, d-мерная суперсимметричная квантовая механика,

построенная по описанной выше схеме может быть рассмотрена, как (0+1)-мерная теория d-компонентного суперполя. Роль независимых переменных в такой модели играют время и двухкомпонентный антикоммутирующий майорановский спинор. Суперсимметричный лагранжиан содержит потенциальное слагаемое (суперпотенциал), которое является логарифмом опорной функции ПД, взятого с обратным знаком. В рамках такой, достаточно простой, но уже нетривиальной теории поля, можно рассмотреть вопрос о спектре масс частиц, входящих в супермультиплет, который содержит d скалярных и d фермионных полей. Ограничимся случаем d=2. Если рассмотреть случай "исчезающего" уровня, то суперсимметрия будет точной. Если выбрать в качестве опорной положительно определённую, и ограниченную вдоль какого-нибудь направления на плоскости функцию, то получится нарушенная суперсимметрия. Наконец, выбирая исходный потенциал модели, так, чтобы нижний уровень одного из замыкающих скалярных гамильтонианов совпадал с нижним уровнем матричного, получим суперсимметричную модель с двукратно вырожденным уровнем E=0. В этом случае суперсимметрия не нарушена - операторы суперсимметрии будут уничтожать соответствующие вакуумные волновые функции, а не переводить их друг в друга. Исследование системы с точной суперсимметрией, но вырожденным основным состоянием может оказаться весьма полезным и в реалистичных моделях.

Цель работы заключается в

разработке математической техники позволяющей строить полевые модели с нарушенной суперсимметрией, используя нарушение суперсимметрии в СКМ;

реализации алгебр расширенной суперсимметрии в двумерной СКМ, в том числе с ненулевым центральным зарядом;

изучении связи многомерных преобразований Мутара с геометрией обобщенного эллиптического комплекса;

построении трехмерных преобразований Мутара связывающих скалярные гамильтонианы при наличии потенциалов типа Ааронова-Бома;

применении методов суперсимметрии для построения точных космологических решений в метрике Фридмана;

изучении обнаруженного явления гладкой фантомизации, т.е. перехода Вселенной в ходе эволюции в состояние, характеризующееся доминированием фантомных полей без разрывов физически значимых функций и их производных; суперсимметрия фантомизация эйнштейн

использование суперсимметричного подхода для построения потенциалов самодействия скалярного поля, приводящих к плоскому спектру неоднородностей.

Научная новизна и положения, выносимые на защиту.

В диссертационной работе получены следующие новые результаты:

Показано, что нарушение суперсимметрии в d-мерной СКМ приводит к «раздвижке» масс в соответствующей (0+1)-мерной теории d-компонентного суперполя. Предложен метод построения суперсимметричной квантовой механики с вырожденным уровнем E=0, и градуированных алгебр с ненулевым центральным зарядом, соответствующих d=2 СКМ.

Предложен метод получения двумерных преобразований Мутара, который может быть обобщен на случай трех измерений путем использования неинтегрируемой Дираковской фазы.

Развит метод построения точных решений уравнений Эйнштейна-Фридмана, использующий преобразование суперсимметрии.

Обнаружено явление гладкой фантомизации.

Показано, что, используя суперсимметричный подход, можно построить сколь угодно большое семейство потенциалов соответствующих плоскому спектру неоднородностей.

Краткое содержание работы

Во введение рассматривается общее состояние проблемы, проводится общий обзор преобразований Дарбу, а также кратко описывается ситуация в современной космологии.

В первой главе рассматриваются основные свойства преобразований Дарбу, существенные для нижеописанных приложений. Обсуждается процедура перестройки дискретного спектра одномерных гамильтонианов с помощью ПД. Показано, что при условии наличия нетривиального ядра в пространстве решений, все дифференциальные операторы N-го порядка сплетающие исходные гамильтонианы с преобразованным, могут быть факторизованы. Обсуждается важность форм-инвариантности, в частности при реализации итераций ПД, описываемых формулами Крама. Обсуждается связь ПД с суперсимметричной квантовой механикой (СКМ). В частности, показано, что нарушение суперсимметрии в одномерной СКМ приводит к раздвижке по массе между суперпартнерами в лагранжиане (0+1) мерной теории поля ассоциированной с исходной СКМ. Обсуждается построение суперсимметричных гамильтонианов с вырожденным уровнем E=0 и обсуждается связь с БПС состояниями. В заключительном разделе описывается алгоритм построения алгебр расширенной суперсимметрии при d=2 и метод введения центрального заряда. Также в этой главе подробно рассмотрено обобщения преобразований Мутара на высшие измерения. Предложен метод получения преобразования Мутара для случая d=3, связывающего между собой скалярные гамильтонианы. Ключевая идея этого метода: устранение неинтегрируемости, возникающей при выводе ПМ путем введения неинтегрируемой дираковской фазы.

Во второй главе рассматривается применение преобразований Дарбу в космологии для построения точных решений уравнений Энштейна-Фридмана. Для этого мы рассмотрели простейший случай плоской вселенной с метрикой ФЛРУ (Фридмана -Ле Метра -Робертсона - Уолкера ) заполненную скалярным полем с лагранжианом . Рассмотрен простейший случай - Вселенная с асимптотическим расширением при больших временах по закону???t2/3, то есть с потенциалом . Далее, при помощи ПД, проводится построение нового точного решения. Запрещенная зона, то есть область нарушения WEC, будет в нём находиться в интервале от t1, до t2, где

,

Вырезая эту область и выполняя сшивку областей по разные стороны от неё, получим следующую картину:

При 0 < t < t1 динамика описывается формулами

,

При t1 < t динамика описывается формулами

,

Где ,

где - потенциалы скалярного поля, - куб масштабного фактора.

Использование этого метода и характерные параметры полученной модели проиллюстрированы графиками 1-3.

Применения двукратного преобразования Дарбу приводит к следующим выражениям для куба масштабного фактора и потенциала скалярного поля соответственно:

,

Эволюция такой вселенной изображена на рисунке 4. На нём можно видеть четыре независимых Вселенных. Запрещённая зона уже вырезана, однако, сшивка ещё не проведена. Буквами i обозначены зоны инфляции. Средние две Вселенных после «сшивки» переходят в одну (зоны инфляции при этом сливаются). Получившаяся при этом Вселенная имеет сингулярности в начале и в конце своего существования и промежуточную зону инфляции.

В этой же главе предложен механизм получения в подобных моделях тахионной нестабильности, приводящий к плоскому спектру неоднородностей скалярного поля.

Для этого рассмотрена модель вида:

где , и вещественны. Выберем решение этого уравнения в виде ():

Эти выражения представляют собой частный случай функций Ганкеля.

После преобразований Дарбу потенциал принимает вид

поэтому при имеем

Это означает, что при достаточно больших значениях , пропорцианально и, следовательно, спектр флуктуаций в этот момент у них, фактически, одинаков. Таким образом, при выборе в качестве базовой функции, функции со спектром, совпадающим с наблюдениями, при помощи преобразований Дарбу мы можем строить новые модели, спектр которых также будет совпадать с наблюдениями.

В третьей главе рассматриваются разные стороны обнаруженного явления гладкой фантомизации (перехода Вселенной в ходе эволюции в состояние, характеризующееся доминированием фантомных полей). Проанализированы основные возможные возражения против его возникновения. Показано, что в рамках стандартных космологических представлений избежать его нельзя.

В заключении кратко рассмотрено содержание диссертации с выделением полученных в ней результатов, а в приложении приведен список работ автора.

Теоретическая и практическая ценность. Полученные в работе результаты могут быть полезны при построении реалистичной полевой модели с нарушенной суперсимметрией и для изучения БПС состояний. Трехмерные ПМ могут позволить существенно расширить класс трехмерных интегрируемых потенциалов, не обладающих дополнительными симметриями, позволяющими эффективно редуцировать задачу в одномерную. Исследование космологических моделей с гладкой фантомизацией и описанный в диссертационной работе метод сшивки приводит к появлению возможности построения моделей инфляции с выходом, не используя процедуру тонкой настройки параметров.

Апробация работы. Основные результаты диссертационного исследования докладывались на

XXXV научной конференции профессорско-преподавательского состава, научных сотрудников, аспирантов и студентов (Калининград : КГУ, 2004);

XXXVI научной конференции профессорско-преподавательского состава, научных сотрудников, аспирантов и студентов (Калининград : КГУ, 2005);

XXXVII научной конференции профессорско-преподавательского состава, научных сотрудников, аспирантов и студентов (Калининград : КГУ, 2006);

Международная конференция молодых учёных в рамках форума «Всемирный год физики в Московском университете» (Москва, 2005);

Международные Фоковские чтения (Санкт-Петербург, 2004);

На семинаре кафедры теоретической физики РГУ им. И. Канта.

Публикация результатов диссертации. Основное содержание диссертации отражено в шести статьях и двух электронных публикациях в Лос-Аламосском архиве, перечень которых прилагается в конце автореферата.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав со сквозной нумерацией формул, заключения, двух приложений и списка использованной литературы. Общий объем диссертации 125 страниц. Диссертация содержит 6 графиков и одну таблицу. Список использованной литературы содержит 95 наименований на 8 страницах.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах

Юров А.В., Верещагин С.Д. Преобразования Дарбу и точно решаемые космологические модели //ТМФ. 2004. Т. 139 (3). С. 405-422.

A.V. Yurov, S. D. Vereshchagin. The Darboux Transformation and Exactly Solvable Cosmological Models. [Электрон. ресурс]. Режим доступа: arXiv: hep-th/0502099

Юров А.В., Верещагин С.Д., Верещагин М.Д. Трёхмерное преобразование Мутара. //Математическое моделирование. 2006.

Т. 18. № 5. С. 111-125.

Юров А.В., Верещагин С.Д. Гладкая фантомизация// Вестник БИЭФ. 2005. Вып. 33. С. 290-297.

Юров А.В., Верещагин С.Д. О связи между нарушением квантомеханической и полевой суперсимметрии //Вестник РГУ имени И.Канта. 2006. №4. С. 15-19.

Верещагин С.Д. О принципиальной неоднозначности предсказания будущего Вселенной по данным наблюдения за масштабным фактором, //Вестник РГУ имени И.Канта. 2006. №4. С. 19-23.

A.V. Yurov, V.A. Yurov, S. D. Vereshchagin. Can we escape from the big rip in the achronal cosmic future? [Электрон. ресурс]. Режим доступа: arXiv:astro-ph/0503433

Верещагин С.Д., Юров А.В. Преобразование Дарбу и тахионная неустойчивость// Исследовано в России. [Электрон. ресурс]. Режим доступа: http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2006/156.pdf

Размещено на Allbest.ru