Расчет тока в электрических сетях

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

Федеральное агентство железнодорожного транспорта

Уральский государственный университет путей сообщения

Кафедра "Электрические машины"

ЭЛЕКТРОТЕХНИКА

А.А. Косяков

Екатеринбург Издательство УрГУПС 2014

Оглавление

Введение

1. Задание на курсовую работу

1.1 Расчёт цепи постоянного тока

1.2 Расчёт цепи переменного тока

1.3 Расчёт трёхфазной цепи

1.4 Расчёт переходного процесса

2. Примеры выполнения расчётов

2.1 Расчёт цепи постоянного тока

2.2 Расчёт цепи переменного тока

2.3 Расчёт трёхфазной цепи

2.3.1 Расчёт трёхфазной цепи с нулевым проводом

2.3.2 Расчёт трёхфазной цепи без нулевого провода

2.4 Расчёт переходного процесса

2.4.1 Расчёт переходного процесса при д < щ₀

2.4.2 Расчёт переходного процесса при д > щ₀

Библиографический список

Введение

Выполнение курсовой работы по дисциплине "Электротехника" закрепляет знания, полученные на лекциях, практических и лабораторных работах. Отчёт по курсовой работе служат прообразом технических отчётов по электротехническим расчётам, которые приходится проводить инженеру в его практической деятельности.

Курсовая работа состоит из четырёх расчётно-графических работ. Описание каждой работы включает задание на выполнение расчётов, расчётную схему и таблицы параметров электрической цепи. Индивидуальные варианты схем и параметров для каждого студента задаются преподавателем.

Каждая расчётно-графическая работа в составе курсовой работы рассчитана на самостоятельное выполнение и проверку правильности расчётов. Следовательно, итоговая оценка за курсовую работу формируется по факту выполнения расчётно-графических работ в срок, установленный интервальной шкалой максимальных баллов рейтинга:

- оценка "отлично" выставляется студентам, выполнившим все расчётно-графические работы в установленные сроки;

- оценка "хорошо" выставляется студентам, выполнившим три или две расчётно-графические работы в установленные сроки, а одну или две расчётно-графические работы - с просрочкой не более одного рейтингового срока (6 недель);

- оценка "удовлетворительно" выставляется студентам, выполнившим все расчётно-графические работы с большей просрочкой.

Курсовая работа выполняется в отдельной тетради или на листах формата А4, сформированных в том. На титульном листе указывается фамилия, имя, отчество студента, номер группы и номер варианта курсовой работы. В отчёте по курсовой работе каждая расчётно-графическая работа должна включать название, задание, расчётную и графическую части.

1. Задания на курсовую работу

1.1 Расчёт цепи постоянного тока

электрический ток цепь контурный

Задана расчётная схема и параметры цепи (таблица 1).

Требуется.

1. Рассчитать токи во всех ветвях методом контурных токов.

2. Проверить правильность расчётов по законам Кирхгофа.

3. Составить баланс мощностей.

4. Построить потенциальную диаграмму для замкнутого контура, проходящего через точки подсоединения вольтметров. Определить показания вольтметров по потенциальной диаграмме.

5. Определить ток в резисторе, подключенном к точкам аб, методом эквивалентного генератора. При определении ЭДС эквивалентного генератора следует воспользоваться методом узловых потенциалов.

Таблица 1

Параметры цепи постоянного тока

№	Е1, В	Е2, В	Е3, В	Е4, В	Е5, В	Е6, В	R1, Ом	R2, Ом	R3, Ом	R4, Ом	R5, Ом	R6, Ом	R7, Ом	I, А
1	40	20	70	50	60	30	5	8	15	4	6	9	12	5
2	20	20	60	60	75	40	80	90	6	12	8	15	20	4
3	90	100	30	75	50	120	15	12	6	8	10	14	25	2
4	60	50	70	80	100	40	25	10	12	6	20	8	15	3
5	100	30	60	90	40	80	15	6	10	18	8	5	12	2
6	20	40	90	30	60	50	10	4	16	8	12	25	6	3
7	80	100	60	50	90	30	16	10	20	6	18	22	8	2
8	40	120	80	90	30	50	12	15	10	8	3	9	18	5
9	90	80	120	50	75	60	18	6	20	12	15	9	10	3
10	80	60	75	100	50	90	20	15	25	10	5	14	8	4
11	40	50	20	60	80	30	8	12	6	15	16	20	10	3
12	50	70	30	60	100	75	18	5	12	20	10	25	16	6
13	60	90	40	75	120	80	10	16	6	25	12	14	20	4
14	80	100	30	75	90	40	16	4	20	10	15	22	12	3
15	40	80	60	30	70	50	15	20	12	8	10	14	18	4
16	40	20	70	50	60	30	5	8	15	4	6	9	12	5
17	20	20	60	60	75	40	80	90	6	12	8	15	20	4
18	90	100	30	75	50	120	15	12	6	8	10	14	25	2
19	60	50	70	80	100	40	25	10	12	6	20	8	15	3
20	100	30	60	90	40	80	15	6	10	18	8	5	12	2
21	20	40	90	30	60	50	10	4	16	8	12	25	6	3
22	80	100	60	50	90	30	16	10	20	6	18	22	8	2
23	40	120	80	90	30	50	12	15	10	8	3	9	18	5
24	90	80	120	50	75	60	18	6	20	12	15	9	10	3



1.2 Расчёт цепи переменного тока

Задана расчётная схема и параметры цепи (таблица 2). Напряжение между точками а-б изменяется по закону u_аб = U_m*sin(щt+ш). Частота - 50 Гц.

Требуется.

1. Определить токи, напряжения и мощности на всех участках цепи.

2. Выполнить проверку правильности решения по законам Кирхгофа.

3. Составить баланс активных и реактивных мощностей.

4. Построить волновые диаграммы напряжения, тока и мощности на входе цепи.

5. Построить векторные диаграммы токов и напряжений.

Таблица 2

Параметры цепи переменного тока

№	R1, Ом	L1, мГн	C1, мкФ	R2, Ом	L2, мГн	C2, мкФ	R3, Ом	L3, мГн	C3, мкФ	Um, В	, градусы
1	12	70	500	18	30	125	10	50	450	25	30
2	15	25	125	12	80	500	8	10	200	50	45
3	10	60	600	16	15	150	12	75	400	30	60
4	20	20	100	10	70	400	14	30	125	40	90
5	8	50	650	12	20	200	15	70	500	60	30
6	18	100	300	6	25	125	10	60	400	15	45
7	12	25	150	9	60	600	18	40	100	100	60
8	15	30	175	10	90	300	6	10	250	70	90
9	20	80	450	15	30	175	10	50	600	80	30
10	16	40	100	8	50	500	12	20	200	60	90
11	10	75	600	6	10	150	15	40	125	75	45
12	8	15	200	10	75	600	14	30	125	50	60
13	20	50	125	10	25	100	16	75	300	30	90
14	10	60	650	15	75	350	12	25	175	20	45
15	18	90	400	6	15	250	10	50	600	90	30
16	12	70	500	18	30	125	10	50	450	25	30
17	15	25	125	12	80	500	8	10	200	50	45
18	10	60	600	16	15	150	12	75	400	30	60
19	20	20	100	10	70	400	14	30	125	40	90
20	8	50	650	12	20	200	15	70	500	60	30
21	18	100	300	6	25	125	10	60	400	15	45
22	12	25	150	9	60	600	18	40	100	100	60
23	15	30	175	10	90	300	6	10	250	70	90
24	20	80	450	15	30	175	10	50	600	80	30







1.3 Расчёт трёхфазной цепи

Задана расчётная схема и параметры цепи (таблицы 3 и 4). Для схем с нулевым проводом считать заданной систему фазных напряжений генератора U_A, U_B, U_C, сдвинутых между собой на 120°. Для остальных схем считать известными линейные напряжения генератора U_AВ, U_BС, U_CА. Углы сдвига между напряжениями следует определить по теореме косинусов.

Требуется.

1. Определить все токи, напряжения и мощности на всех элементах цепи.

2. Определить мощность всей цепи по показаниям двух или трёх ваттметров, подключенных непосредственно к зажимам генератора.

3. Построить векторную диаграмму токов и топографическую векторную диаграмму напряжений.

4. Разложить аналитически и графически полученную систему токов генератора на симметричные составляющие.

Таблица 3

Заданные напряжения

№	UA, B	UВ, В	UС, В	UАВ, В	UВС, В	UСА, В
1	150	150	100	300	300	200
2	200	100	100	400	250	250
3	150	200	250	200	150	150
4	100	200	200	150	200	250
5	300	250	100	250	400	400
6	100	150	200	200	200	400
7	300	200	150	200	250	170
8	150	300	250	250	250	100
9	200	100	300	350	200	400
10	175	250	100	400	300	250
11	125	200	100	300	450	250
12	250	150	120	175	250	300
13	150	250	200	350	200	275
14	275	175	125	450	300	275
15	175	100	200	250	150	300
16	150	150	100	300	300	200
17	200	100	100	400	250	250
18	150	200	250	200	150	150
19	100	200	200	150	200	250
20	300	250	100	250	400	400
21	100	150	200	200	200	400
22	300	200	150	200	250	170
23	150	300	250	250	250	100
24	200	100	300	350	200	400

Таблица 4

Параметры трёхфазной цепи

№	ZЛ, Ом	Z0, Ом	Z1, Ом	Z2, Ом	Z3, Ом	Z4, Ом
1	1 + j·35	12 - j·10	24 + j·30	12 + j·18	18 + j·28	10 - j·20
2	2 + j·4	16 + j·20	30 - j·25	18 + j·20	20 - j·16	12 + j·25
3	3 + j·5	20 + j·22	20 - j·12	16 + j·26	15 + j·15	16 - j·15
4	4 + j·6	24 - j·14	24 + j·16	20 - j·25	12 + j·18	18 - j·18
5	1 + j·4	22 + j·32	15 + j·18	24 + j·30	14 - j·20	20 + j·10
6	2 + j·5	20 - j·10	14 - j·25	15 - j·16	22 + j·30	18 - j·30
7	3 + j·4	18 - j·16	25 + j·24	18 - j·22	30 - j·18	16 + j·18
8	2 + j·6	15 + j·18	16 - j·10	12 - j·20	12 + j·24	14 - j·22
9	3 + j·6	12 + j·20	28 - j·20	10 - j·26	16 - j·18	12 + j·16
10	2 + j·7	8 - j·12	18 - j·20	22 + j·15	20 - j·22	10 - j·24
11	3 + j·7	10 + j·22	30 - j·30	28 + j·20	18 - j·20	20 + j·25
12	1 - j·5	14 - j·10	22 + j·14	8 - j·24	28 - j·25	28 + j·15
13	4 + j·7	25 + j·20	35 - j·35	25 + j·10	32 - j·25	16 - j·26
14	2,5 + j·4	30 - j·24	25 + j·18	10 - j·15	15 + j·10	10 + j·22
15	4 + j·6	32 + j·15	16 - j·22	20 + j·8	28 - j·14	8 - j·25
16	2 + j·5	26 - j·14	18 + j·24	25 - j·14	32 - j·20	12 + j·18
17	2 + j·6	26 + j·30	24 - j·25	30 + j·10	8 - j·12	14 - j·24
18	4 + j·5	14 - j·16	23 + j·16	24 - j·24	16 - j·20	20 + j·20
19	2 + j·3	12 + j·10	25 - j·20	12 - j·18	25 + j·34	24 + j·30
20	2 + j·4	10 - j·12	20 + j·15	24 - j·35	20 + j·12	16 - j·14
21	1 + j·4	16 + j·20	25 - j·25	18 + j·30	15 - j·16	10 + j·20
22	2,5 + j·4	12 + j·20	35 - j·18	28 + j·20	16 - j·18	10 - j·10
23	1 + j·5	25 + j·20	25 + j·30	15 - j·16	28 + j·26	16 - j·18
24	4 + j·6	14 - j·14	16 - j·24	18 + j·22	14 - j·20	14 - j·24



1.4 Расчёт переходного процесса

Задана расчётная схема и параметры цепи (таблица 5).

Требуется.

1. Определить законы изменения всех токов и напряжений после коммутации классическим методом. По полученным выражениям построить графики изменения всех токов и напряжений в промежутке времени от t = 0 до t = 5·ф.

2. Заменить источник постоянного напряжения источником синусоидальной ЭДС е(t) = Е_m·sinщt, где Е_m = Е. Определить закон изменения входного тока классическим методом.

3. Определить законы изменения тока, протекающего по катушке, и напряжения на конденсаторе от источника постоянного напряжения операторным методом. Сравнить результаты расчёта, полученные классическим и операторным методом.

Таблица 5

Заданные параметры цепи

№	L, мГн	С, мкФ	R1, Ом	R2, Ом	Е, В	щ, рад/с
1	225	50	12	12	520	300
2	360	600	60	120	500	80
3	750	150	414	690	1000	100
4	320	400	170	210	600	80
5	360	60	500	760	1200	200
6	400	100	300	12	100	80
7	280	40	400	585	1500	300
8	600	500	140	10	200	60
9	640	80	118	990	200	150
10	140	100	200	10	200	250
11	200	400	220	178	100	120
12	320	200	120	90	600	125
13	500	500	300	475	1000	60
14	270	150	150	15	200	150
15	250	125	100	990	2000	200
16	400	200	120	240	800	120
17	1000	400	90	980	1500	50
18	500	200	120	360	1000	100
19	200	50	70	400	800	300
20	300	100	500	20	300	200
21	480	80	185	440	750	150
22	480	120	60	15	300	150
23	720	90	160	1900	2500	150
24	600	150	140	20	200	100



2. Примеры выполнения расчётов

2.1 Расчёт цепи постоянного тока

Дана расчётная схема (рис. 1) и параметры цепи (таблица 6).

Рис. 1 Расчётная схема

Таблица 6

Параметры цепи постоянного тока

Е1, В	Е3, В	Е4, В	Е5, В	Е6, В	R1, Ом	R2, Ом	R3, Ом	R4, Ом	R5, Ом	R6, Ом	R7, Ом	I, А
70	30	60	100	75	18	5	12	20	10	25	16	6

Для выполнения задания (п. 1.1), схему по рис. 1 необходимо преобразовать следующим образом.

1. Изобразить источник тока.

2. Объединить общие точки.

3. Произвольно выбрать направление токов в ветвях.

4. Произвольно выбрать направление контурных токов.

5. Обозначить все узлы и точки изменения потенциала в контуре, для которого предполагается построение потенциальной диаграммы.

Преобразованная схема изображена на рис. 2.

Рис. 2 Преобразованная расчётная схема

Следует отметить, что в схеме по рис. 2 ток I₆ = 0, так как он включен в цепь с вольтметром V₁, проводимость которого равна нулю. Следовательно, в данной цепи имеется четыре независимых контура, при этом один контурный ток I известен. Таким образом, по методу контурных токов следует составить три уравнения:

E₃ - E₁ = i₁₁ · (R₁ + R₇ + R₃) + i₂₂ · R₇ - i₃₃ · R₃

E₄ = i₂₂ · (R₂ + R₇ + R₄) + i₁₁ · R₇ + i₃₃ · R₄

E₄ + E₅ - E₃ = i₃₃ · (R₃ + R₄ + R₅) - i₁₁ · R₃ + i₂₂ · R₄ - I · R₅

Решаем уравнения и находим контурные токи:

i₁₁ = 1,281 А

i₂₂ = - 1,852 А

i₃₃ = 5,772 А

На основе найденных контурных токов находим токи в ветвях:

I₁ = - i₁₁ = - 1,281 А

I₂ = i₂₂ = - 1,852 А

I₃ = i₁₁ - i₃₃ = - 4,491 А

I₄ = i₂₂ + i₃₃ = 3,92 A

I₅ = i₃₃ - I = - 0,228 A

I₇ = i₁₁ + i₂₂ = - 0,571 А

Схема по рис. 2 включает четыре узла и четыре независимых контура, из которых один включает источник тока I. Следовательно, для проверки правильности расчётов следует составить три уравнения по I закону Кирхгофа и три уравнения по II закону Кирхгофа:

I₂ = I₁ + I₇

I₇ = I₃ + I₄

I₄ = I₂ + I₅ + I

E₃ - E₁ = I₇ · R₇ + I₃ · R₃ - I₁ · R₁

E₄ = I₂ · R₂ + I₇ · R₇ + I₄ · R₄

E₄ + E₅ - E₃ = I₄ · R₄ + I₅ · R₅ - I₃ · R₃

- 1,852 = - 1,852

- 0,571 = - 0,571

3,92 = 3,92

- 40 = - 39,97

60 = 60

130 = 130

Проверка по законам Кирхгофа подтверждает правильность выполненных расчётов с погрешностью не более 5%.

Для составления баланса мощности предварительно необходимо определить разность потенциалов в точках подключения источника тока. Искомую величину напряжения найдём по закону Ома:

ц_б - I₅ · R₅ + E₅ = ц_e U_I = ц_e - ц_б = E₅ - I₅ · R₅ = 102,3 В

Составим и рассчитаем уравнение баланса мощности:

E₁ · I₁ + E₃ · I₃ + E₄ · I₄ + E₅ · I₅ + U_I · I =

=

601,8 = 601,8

Результаты расчёта мощностей подтверждают правильность найденных значений токов с погрешностью не более 5%.

Построение потенциальной диаграммы будем производить для контура а-в-г-б-д-е-ж, так как данный контур проходит через точки подключения вольтметров.

Примем потенциал ц_а = 0. Тогда потенциалы других точек контура можно определить по закону Ома:

ц_в = ц_а - I₇ · R₇ = 9,136 В

ц_г = ц_в + Е₄ = 69,14 В

ц_б = ц_г - I₄ · R₄ = - 9,26 В

ц_д = ц_б - I₅ · R₅ = - 6,98 В

ц_е = ц_д + Е₅ = 93,02 В

ц_ж = ц_е - Е₁ = 23,02 В

ц_а = ц_ж + I₁ · R₁ = - 0,038 В

Для определения показания вольтметра V₁ необходимо также рассчитать потенциалы ц_з и ц_и. Поскольку ток I₆ = 0, потенциалы ц_з = ц_и, их величину можно определить по закону Ома:

ц_з = ц_и = ц_б - Е₆ = - 84,26 В

Потенциальная диаграмма, построенная по результатам расчётов, приведена на рис. 3.

Рис. 3 Потенциальная диаграмма

По потенциальной диаграмме определяем показание вольтметров:

V₁ = 84,26 В; V₂ = 76,12 В.

Для определения тока в резисторе, подключенном к точкам а-б, методом эквивалентного генератора схему по рис. 2 следует преобразовать следующим образом.

1. Разорвать ветвь а-б.

2. Исключить ветви с вольтметрами.

3. Обозначить узловые потенциалы. Один любой узловой потенциал следует принять равным нулю, на схеме это решение можно отметить знаком заземления.

4. Направить токи в ветвях, включающих точки а и б.

Преобразованная схема изображена на рис. 4.

Рис. 4 Схема для определения ЭДС эквивалентного генератора

В преобразованной схеме по рис. 4 имеется три узла - б, в и е, принимаем потенциал ц_б = 0. Потенциалы ц_в и ц_е рассчитаем по методу узловых потенциалов:

Решаем уравнения и находим узловые потенциалы:

ц_в = 32,37 В; ц_е = 113,8 В.

Для определения потенциала ц_а предварительно необходимо найти ток I₁ по закону Ома:

ц_в - I₁ · R₇ - I₁ · R₁ + E₁ = ц_е А.

Зная значение тока I₁, по закону Ома можно найти потенциал ц_а:

ц_а = ц_в - I₁ · R₇ = 37,75 В

ЭДС эквивалентного генератора определится как разность потенциалов ц_б и ц_а:

Е_ЭГ = ц_б - ц_а = - 37,75 В

Для определения внутреннего сопротивления эквивалентного генератора R_вн, преобразуем схему по рис. 4 следующим образом.

1. Все источники ЭДС замыкаем.

2. Источник тока размыкаем.

Преобразованная схема изображена на рис. 5.

Рис. 5.5 Схема для определения внутреннего сопротивления эквивалентного генератора

Внутреннее сопротивление эквивалентного генератора - это эквивалентное сопротивление схемы по рис. 5 относительно точек а-б. Для его определения следует в схеме (рис. 5) эквивалентно преобразовать соединённые в треугольник сопротивления R₃, R₄, R₅ в соединённые в звезду сопротивления R₃₄, R₄₅, R₅₃ (рис. 6):

5,714 Ом,

4,762 Ом,

2,857 Ом.

Рис. 6 Преобразованная схема для определения внутреннего сопротивления эквивалентного генератора

Определим внутреннее сопротивление эквивалентного генератора:

15,4 Ом.

Зная Е_ЭГ и R_вн, найдём ток I₂ по формуле

- 1,85 А.

Как можно отметить, результаты расчёта тока I₂ методом эквивалентного генератора и методом контурных токов отличаются не более чем на 5%. Следовательно, цепь постоянного тока рассчитана верно.

2.2 Расчёт цепи переменного тока

Дана расчётная схема (рис. 6) и параметры цепи (таблица 7). Частота - 50 Гц, следовательно, угловая частота щ = 314 рад/с.

Рис. 6 Расчётная схема

Таблица 7

Параметры цепи переменного тока

R1, Ом	L1, мГн	C1, мкФ	R2, Ом	L2, мГн	C2, мкФ	R3, Ом	L3, мГн	C3, мкФ	Um, В	, градусы
20	50	125	10	25	100	16	75	300	30	60

В соответствии с заданием (п. 1.2) принимаем u_аб = U_m*sin(щt+ш) = = 30·sin(314t+60°) = В, а схему по рис. 6 преобразовываем следующим образом.

1. Направляем токи в ветвях.

2. Обозначаем напряжение источника энергии U_вх.

Преобразованная схема изображена на рис. 7.



Рис. 7 Преобразованная расчётная схема

Расчёт токов и напряжений на всех участках цепи выполняем символическим методом, используя закон Ома и законы Кирхгофа.

По закону Ома находим напряжения и токи на элементах R₂, L₂, C₂:

А,

В,

А,

А,

В,

В.

Ток i₃ находим по второму закону Кирхгофа:

А.

Ток i₁ находим по первому закону Кирхгофа:

А.

Напряжения на элементах R₃, C₃, R₁, L₁, C₁ находим по закону Ома:

В,

В,

В,

В,

В.

Напряжение на входе цепи находим по второму закону Кирхгофа:

В.

Определяем мощности на всех участках и на входе цепи:

Вт,

Вт,

Вт,

вар,

вар,

вар,

вар,

вар,

вар,

В·А.

Схема по рис. 7 включает три узла и три независимых контура. Следовательно, для проверки правильности расчётов следует составить два уравнения по первому закону Кирхгофа и три уравнения по второму закону Кирхгофа:

Проверка по законам Кирхгофа подтверждает правильность выполненных расчётов с погрешностью не более 5%.

Баланс мощностей составляем отдельно для активных и реактивных мощностей:

P_вх = P₁ + P₂ + P₃

690,5 = 690,5

Q_вх = Q_L1 + Q_L2 + Q_аб + Q_С1 + Q_С2 + Q_С3

-224 = -224

Результаты расчёта мощностей подтверждают правильность решения задачи с погрешностью не более 5%.

Для построения волновых диаграмм напряжения, тока и мощности на входе цепи удобно использовать программные средства - электронные таблицы или математические прикладные пакеты. Волновые диаграммы напряжения, тока и мощности для рассматриваемого примера (u_вх(t)=144·sin(314t-28,85°), i₁(t)=5,041·sin(314t-10,88°), p_вх(t)= u_вх(t)·i_вх(t)) изображены на рис. 8, 9 и 10.



Рис. 8 Волновая диаграмма напряжения на входе цепи

Рис. 9 Волновая диаграмма тока на входе цепи



Рис. 10 Волновая диаграмма мощности на входе цепи

Векторные диаграммы токов и напряжений можно построить на одной комплексной плоскости, выделив токи и напряжения, например, разными цветами, либо на двух отдельных комплексных плоскостях. Векторные диаграммы для рассматриваемого примера изображены на рис. 11 и 12.

Рис. 11 Векторная диаграмма напряжений



Рис. 12 Векторная диаграмма токов

2.3 Расчёт трёхфазной цепи

Принципы расчёта трёхфазных цепей с нулевым проводом и без нулевого провода одинаковы, но подходы к решению немного отличаются. Потому в данном разделе рассмотрены примеры выполнения расчётно-графической работы "Расчёт трёхфазной цепи" для обоих случаев.

2.3.1 Расчёт трёхфазной цепи с нулевым проводом

Дана расчётная схема (рис. 13) и параметры цепи (таблица 8).

Рис. 13 Расчётная схема

Таблица 8

Параметры трёхфазной цепи с нулевым проводом

UA, B	UВ, В	UС, В	ZЛ, Ом	Z0, Ом	Z1, Ом	Z2, Ом	Z3, Ом	Z4, Ом
175	250	100	2 + j·6	24 + j·14	14 - j·25	20 - j·25	12 + j·18	18 - j·18

В соответствии с заданием (п. 1.3) принимаем В, В, В, а схему по рис. 13 преобразовываем следующим образом.

1. Добавляем в схему три ваттметра.

2. Обозначаем нулевую точку приёмника (0').

3. Направляем токи в ветвях.

Преобразованная схема изображена на рис. 14.

Рис. 14 Преобразованная расчётная схема

Приёмник Z₀ подключен непосредственно к линейному напряжению U_BC, следовательно, ток i₀ можно найти по закону Ома:

А.

Для нахождения остальных токов схему по рис. 14 необходимо эквивалентно преобразовать (рис. 15).

Рис. 15 Преобразованная расчётная схема

Рассчитаем сопротивления Z_A, Z_B, Z_C, обозначенные на рис. 15:

Ом,

Ом,

Ом.

Используя метод узловых потенциалов, рассчитаем напряжение смещения нейтрали

В.

Токи i_A, i_B, i_C рассчитаем, используя II закон Кирхгофа:

А,

А,

А.

Ток i_N рассчитаем по закону Ома:

А.

Токи генератора i_ВГ и i_СГ рассчитаем по I закону Кирхгофа:

А,

А.

По закону Ома найдём напряжение и токи на элементах Z₁ и Z₄:

В,

А,

А.

Поскольку все токи найдены, можно построить векторную диаграмму токов (рис. 16).

Рис. 16 Векторная диаграмма токов

По закону Ома найдём напряжения на всех элементах цепи и построим топографическую векторную диаграмму напряжений (рис. 17):

В,

В,

В,

В,

В.



Рис. 17 Топографическая векторная диаграмма напряжений

Определим мощности всех элементов цепи и суммарную активную мощность Р_П, потребляемую цепью:

ВА,

ВА,

ВА,

ВА,

ВА,

ВА,

ВА,

ВА,

ВА,

Вт.

Определим активную мощность всей цепи Р_Г (мощность, передаваемую в цепь от генератора) по показаниям трёх ваттметров:

Вт.

Как можно отметить, результаты расчёта потребляемой мощности Р_П и мощности Р_Г, передаваемой в цепь от генератора отличаются не более чем на 5%. Следовательно, трёхфазная цепь рассчитана верно.

Для аналитического разложения системы токов генератора на симметричные составляющие примем условное обозначение оператора поворота . Тогда систему токов прямой последовательности можно рассчитать по выражениям

А,

А,

А.

Систему токов обратной последовательности рассчитаем по формулам

А,

А,

А.

Токи нулевой последовательности рассчитаем по выражению

А.

Сложение симметричных составляющих системы токов генератора изображено на векторной диаграмме (рис. 18).

Рис. 18 Разложение системы токов генератора на симметричные составляющие

2.3.2 Расчёт трёхфазной цепи без нулевого провода

Дана расчётная схема (рис. 19) и параметры цепи (таблица 9).

Рис. 19 Расчётная схема

Таблица 9

Параметры трёхфазной цепи без нулевого провода

UAВ, B	UВС, В	UСА, В	ZЛ, Ом	Z0, Ом	Z1, Ом	Z2, Ом	Z3, Ом	Z4, Ом
400	300	250	1 + j·5	12 - j·10	24 + j·30	12 + j·18	18 + j·28	10 - j·20

В соответствии с заданием (п. 1.3), углы сдвига фаз между линейными напряжениями U_AВ, U_ВС, U_СА следует определить по теореме косинусов. Для определения углов можно построить вспомогательную векторную диаграмму линейных напряжений (рис. 20).

Рис. 20 Векторная диаграмма линейных напряжений

Определим углы б и в по теореме косинусов:

,

.

Тогда

В,

В,

В.

Для выполнения задания (п. 1.3) преобразовываем схему по рис. 19 следующим образом.

1. Добавляем в схему два ваттметра.

2. Направляем токи в ветвях.

Преобразованная схема изображена на рис. 21.

Рис. 21 Преобразованная расчётная схема

Приёмник Z₀ подключен непосредственно к линейному напряжению U_CА, следовательно, ток i₀ можно найти по закону Ома:

А.

Для нахождения остальных токов схему по рис. 21 необходимо эквивалентно преобразовать (рис. 22).

Рис. 22 Преобразованная расчётная схема

Рассчитаем сопротивления Z_A, Z_B, Z_C, обозначенные на рис. 22:

Ом,

Ом,

Ом.

Токи i_A, i_B, i_C рассчитаем по следующим выражениям:

А,

А,

А.

Токи генератора i_АГ и i_СГ рассчитаем по I закону Кирхгофа:

А,

А.

По закону Ома найдём напряжения на элементах Z_Л:

В,

В,

В.

Напряжение на элементе Z₁ найдём по II закону Кирхгофа:

В.

Определим ток i₁ по закону Ома:

А.

Токи i₂ и i₃ рассчитаем по I закону Кирхгофа:

А,

А.

Поскольку все токи найдены, можно построить векторную диаграмму токов (рис. 23).

Рис. 23 Векторная диаграмма токов

По закону Ома найдём напряжения на всех элементах цепи и построим топографическую векторную диаграмму напряжений (рис. 24):

В,

В,

В.

Рис. 24 Топографическая векторная диаграмма напряжений

Определим мощности всех элементов цепи и суммарную активную мощность Р_П, потребляемую цепью:

ВА,

ВА,

ВА,

ВА,

ВА,

ВА,

ВА,

ВА,

Вт.

Определим активную мощность всей цепи Р_Г (мощность, передаваемую в цепь от генератора) по показаниям двух ваттметров:

Вт.

Как можно отметить, результаты расчёта потребляемой мощности Р_П и мощности Р_Г, передаваемой в цепь от генератора отличаются не более чем на 5%. Следовательно, трёхфазная цепь рассчитана верно.

Для аналитического разложения системы токов генератора на симметричные составляющие примем условное обозначение оператора поворота . Тогда систему токов прямой последовательности можно рассчитать по выражениям

А,

А,

А.

Систему токов обратной последовательности рассчитаем по формулам

А,

А,

А.

Поскольку трёхфазная система не имеет нулевого провода, токов нулевой последовательности в данной системе не будет.

Сложение симметричных составляющих системы токов генератора изображено на векторной диаграмме (рис. 25).

Рис. 25 Разложение системы токов генератора на симметричные составляющие

2.4 Расчёт переходного процесса

Рассмотренные в разделе принципы расчёта переходных процессов едины для любых форм токов и напряжений. Но для лучшего понимания сущности расчётов в данном разделе представлены два примера выполнения расчётно-графической работы.

2.4.1 Расчёт переходного процесса при д < щ₀

Дана расчётная схема (рис. 26) и параметры цепи (таблица 10).

Рис. 26 Расчётная схема

Таблица 10

Параметры цепи

L, мГн	С, мкФ	R1, Ом	R2, Ом	Е, В	щ, рад/с
240	300	30	70	400	100

Для выполнения задания (п. 1.4) в расчётной схеме (рис. 26) следует направить токи. Преобразованная расчётная схема изображена на рис. 27.

Рис. 27 Преобразованная расчётная схема

Расчёт переходного процесса классическим методом проводим в следующем порядке.

1. Рассчитываем основные начальные условия - напряжение на конденсаторе и ток, протекающий через катушку до начала коммутации:

А,

В.

2. Составляем по закону Ома и законам Кирхгофа дифференциальные уравнения состояния цепи во время коммутации, для момента, когда ключ уже замкнулся:

,

,

,

.

3. Находим неосновное начальное условие

А/с.

4. Рассчитаем значение тока, протекающего через катушку, установившееся после окончания переходного процесса (ключ замкнут):

 А.

5. Для определения корней характеристического уравнения сначала запишем эквивалентное сопротивление цепи во время коммутации так же, как если бы источник постоянной ЭДС Е был источником переменной ЭДС:

.

Далее в этом выражении следует заменить jщ на р и приравнять полученное выражение к нулю, определив корни характеристического уравнения F(p):

,

,

.

6. Решение дифференциального уравнения зависит от типа корней характеристического уравнения. Если корни комплексные (как в рассматриваемом случае), решение дифференциального уравнения будет следующим:

, (1)

где А и в - постоянные интегрирования. Для того, чтобы их найти, необходимо взять производную по t уравнения (1):

. (2)

Далее запишем уравнения (1) и (2) в момент времени t = 0 (в момент коммутации):

, (3)

, (4)

и подставим в уравнения (3) и (4) основное и неосновное начальные условия, а также величины i_Lуст, д и щ':

,

,

решив которые, определим в = - 56,21° и А = 11,23 А и подставим найденные значения постоянных интегрирования, а также величины i_Lуст, д и щ', в выражение (1), получив закон изменения тока, протекающего через катушку при коммутации:

.

7. Законы изменения всех остальных токов и напряжений в схеме по рис. 27 можно найти по законам Ома и Кирхгофа, уже выраженным в п. 2 настоящего расчёта:

В,

В,

А,

А.

8. Для построения графиков изменения всех токов и напряжений следует рассчитать постоянную времени

с

и определить длительность переходного процесса

с.

Для построения графиков изменения всех токов и напряжений удобно использовать программные средства - электронные таблицы или математические прикладные пакеты. Графики изменения токов и напряжений в рассматриваемом примере изображены на рис. 28 - 32.



Рис. 28 График изменения тока, протекающего через катушку

Рис. 29 График изменения напряжения на конденсаторе



Рис. 30 График изменения напряжения на элементе R₁

Рис. 31 График изменения входного тока



Рис. 32 График изменения тока, протекающего через конденсатор

Для выполнения расчёта переходного процесса в цепи однофазного синусоидального тока, в схеме по рис. 27 следует заменить источник постоянной ЭДС Е на источник синусоидальной ЭДС е(t) = Е_m·sinщt, где Е_m = Е. При этом рекомендуется схему по рис. 27 изобразить заново, с учётом введённого преобразования (рис. 33).

Рис. 33 Преобразованная схема замещения

Порядок расчёта переходного процесса классическим методом не зависит от типа источника ЭДС. Расчёт выполняется следующим образом.

1. Символическим методом рассчитываем напряжение на конденсаторе и ток, протекающий через катушку до начала коммутации:

А,

В,

А.

Считаем, что коммутация происходит в момент времени t = 0. Исходя из этого, записываем основные начальные условия, подставив в найденные законы изменения u_C(t) и i_L(t) момент времени t = 0:

А,

В.

2. Составляем по закону Ома и законам Кирхгофа дифференциальные уравнения состояния цепи во время коммутации, для момента, когда ключ уже замкнулся:

,

,

,

.

3. Находим неосновное начальное условие

А/с.

4. Символическим методом рассчитываем значение тока, протекающего через катушку, установившееся после окончания переходного процесса:

А,

А.

5. Корни характеристического уравнения не зависят от типа источника ЭДС, следовательно, рассчитывать их ещё раз нецелесообразно.

6. Решение дифференциального уравнения зависит от типа корней характеристического уравнения. Если корни комплексные (как в рассматриваемом случае), решение дифференциального уравнения будет следующим:

, (5)

где А и в - постоянные интегрирования. Для того, чтобы их найти, необходимо взять производную по t уравнения (5):

. (6)

Далее запишем уравнения (5) и (6) в момент времени t = 0 (в момент коммутации), подставив основное и неосновное начальные условия, а также величины i_Lуст(0), д и щ':

,

,

решив которые, определим в = - 74,81° и А = - 12,76 А и подставим найденные значения постоянных интегрирования, а также величины i_Lуст(t), д и щ', в выражение (5), получив закон изменения тока, протекающего через катушку при коммутации:

.

7. Закон изменения входного тока можно найти по законам Ома и Кирхгофа, уже выраженным в п. 2 настоящего расчёта:

Для выполнения последнего раздела задания (п. 1.4) - расчёта переходного процесса в схеме по рис. 27, прежде всего следует выбрать операторный метод расчёта. В большинстве случаев эффективно использовать метод приведения к основным начальным условиям (метод ключа), в котором ключ в схеме заменяется источником энергии.

В рассматриваемом примере замыкающийся ключ следует заменить на источник ЭДС , направленный согласно току, протекающему по ключу после окончания коммутации, индуктивность - на pL, емкость - на , а сопротивление R₂ и источник ЭДС Е - исключить. Полученная операторная схема изображена на рис. 27, и токи в этой схеме направлены иначе, чем в схеме по рис. 34, в соответствии с направлением нового источника ЭДС.

Рис. 34 Операторная схема

В схеме по рис. 34 U_кл - напряжение на ключе, которое можно определить по закону Ома:

В,

i_L(0) - ток, протекающий по катушке до коммутации - основное начальное условие, определённое выше.

В соответствии с заданием, выразим в операторной форме напряжение на конденсаторе и ток, протекающий через катушку:

,

.

Как можно отметить, элементы выражений I'_L(p) и U'_C (p) в знаменателе включают характеристическое уравнение , корни которого были определены выше. Подставим в указанные выражения характеристическое уравнение F(p):

,

.

Переход от операторных функций I'_L(p) и U'_C (p) к оригиналам i'_L(t) и u'_C (t) осуществляется с использованием теоремы разложения, которая при двух накопителях энергии сводится к применению известных формул (табл. 11):

А,

В.

Таблица 11

Переход от операторных функций к оригиналам

Операторная функция	Оригинал
	p1,2 - действительные	p1,2 - комплексные (p1,2 = - д ± jщ')

Примечание: .

Найденные функции i'_L(t) и u'_C (t) не учитывают основные начальные условия. Для их учёта найденные функции i'_L(t) и u'_C (t) следует сложить с учётом знака с основными начальными условиями i'_L(0) и u'_C (0). В данном примере (рис. 27 и 34) токи i'_L(0) и i'_L(t) совпадают по направлению, а напряжения u'_C (0) и u'_C (t) - противоположны:

А,

В.

Как можно отметить, результаты расчётов тока i_L(t) классическим и операторным методами отличаются не более чем на 5%. Записи функций u_C (t), рассчитанных классическим и операторным методами на первый взгляд значительно отличаются. Однако, построив графики функций u_C (t), рассчитанных различными методами, и вычислив абсолютную погрешность , обнаружим (рис. 35), что результаты расчётов напряжения u_C (t) классическим и операторным методами в любой момент времени t также отличаются не более, чем на 5%. Следовательно, переходный процесс был рассчитан верно.

Рис. 35 Оценка погрешности расчёта напряжения u_C (t)

2.4.2 Расчёт переходного процесса при д > щ₀

Дана расчётная схема (рис. 36) и параметры цепи (таблица 12).

Рис. 36. Расчётная схема

Таблица 12

Параметры цепи

L, мГн	С, мкФ	R1, Ом	R2, Ом	Е, В	щ, рад/с
800	400	170	290	500	60

Для выполнения задания (п. 1.4) в расчётной схеме (рис. 36) следует направить токи. Преобразованная расчётная схема изображена на рис. 37.

Рис. 37 Преобразованная расчётная схема

Расчёт переходного процесса классическим методом проводим в том же порядке, как было описано в п. 2.4.1.

1. Рассчитываем основные начальные условия:

 А,

В.

2. Составляем по законам Ома и Кирхгофа дифференциальные уравнения состояния цепи во время коммутации, для момента, когда ключ разомкнулся:

,

,

,

.

3. С помощью последовательной подстановки уравнений по законам Ома и Кирхгофа находим неосновное начальное условие:

А/с.

4. Рассчитаем значение тока, протекающего через катушку, установившееся после окончания переходного процесса (ключ разомкнут):

А.

5. Для определения корней характеристического уравнения запишем эквивалентное сопротивление цепи во время коммутации так же, как если бы источник постоянной ЭДС Е был источником переменной ЭДС:

.

Далее в этом выражении заменим jщ на р и приравняем полученное выражение к нулю, определив корни характеристического уравнения F(p):

,

,

,

p₁ = - 8,85; p₂ = - 130,6.

6. Решение дифференциального уравнения зависит от типа корней характеристического уравнения. Если корни действительные (как в рассматриваемом случае), решение дифференциального уравнения будет следующим:

, (7)

где А₁ и А₂ - постоянные интегрирования. Для того, чтобы их найти, необходимо взять производную по t уравнения (7):

. (8)

Далее запишем уравнения (7) и (8) в момент времени t = 0 (в момент коммутации):

, (9)

, (10)

и подставим в уравнения (9) и (10) основное и неосновное начальные условия, а также величины i_Lуст, p₁ и p₂:

,

,

решив которые, определим A₁ = - 0,047 А и А₂ = 1,771 А и подставим найденные значения постоянных интегрирования, а также величины i_Lуст, p₁ и p₂ в выражение (7), получив закон изменения тока, протекающего через катушку при коммутации:

.

7. Законы изменения всех остальных токов и напряжений в схеме по рис. 37 можно найти по законам Ома и Кирхгофа, уже выраженным в п. 2 настоящего расчёта:

В,

В,

А,

А,

В,

В.

8. Для построения графиков изменения всех токов и напряжений следует рассчитать постоянную времени с и определить длительность переходного процесса с.

Графики изменения токов и напряжений в рассматриваемом примере изображены на рис. 38 - 43.



Рис. 38 График изменения тока, протекающего через катушку

Рис. 39 График изменения напряжения на конденсаторе



Рис. 40 График изменения тока, протекающего через конденсатор

Рис. 41 График изменения тока, протекающего через элемент R₁



Рис. 42 График изменения напряжения на элементе R₁

Рис. 43 График изменения напряжения на элементе R₂

Для выполнения расчёта переходного процесса в цепи однофазного синусоидального тока, в схеме по рис. 37 следует заменить источник постоянной ЭДС Е на источник синусоидальной ЭДС е(t) = Е_m·sinщt, где Е_m = Е. Преобразованная схема изображена на рис. 44.



Рис. 44 Преобразованная схема замещения

Выполним расчёт переходного процесса классическим методом.

1. Символическим методом рассчитываем напряжение на конденсаторе и ток, протекающий через катушку до начала коммутации:

А,

В.

Записываем основные начальные условия, подставив в найденные законы изменения u_C(t) и i_L(t) момент времени коммутации t = 0:

А,

В.

2. Находим неосновное начальное условие, подставив в найденное при расчёте переходного процесса в схеме по рис. 44 выражение основные начальные условия и е(0) = 0:

А/с.

3. Символическим методом рассчитываем значение тока, протекающего через катушку, установившееся после окончания переходного процесса:

А.

4. Решение дифференциального уравнения зависит от типа корней характеристического уравнения. Если корни действительные (как в рассматриваемом случае), решение дифференциального уравнения будет следующим:

, (11)

где А₁ и А₂ - постоянные интегрирования. Для того, чтобы их найти, необходимо взять производную по t уравнения (11):

. (12)

Далее запишем уравнения (11) и (12) в момент времени t = 0 (в момент коммутации), подставив основное и неосновное начальные условия, а также величины i_Lуст(0), p₁ и p₂:

,

,

решив которые, определим A₁ = - 5,29 А и А₂ = 4,128 А и подставим найденные значения постоянных интегрирования, а также величины i_Lуст(0), p₁ и p₂, в выражение (11), получив закон изменения тока, протекающего через катушку при коммутации, для данной цепи одновременно являющегося входным током:

.

Выполним расчёт переходного процесса в схеме по рис. 37 методом ключа. В рассматриваемом примере размыкающийся ключ следует заменить источником тока , направленным противоположно току, протекавшему по ключу до коммутации, индуктивность - на pL, емкость - на , а сопротивление R₂ в цепи источника тока и источник ЭДС Е - исключить. Полученная операторная схема изображена на рис. 45, и токи в этой схеме направлены иначе, чем в схеме по рис. 37, в соответствии с направлением нового источника тока.



Рис. 45 Операторная схема

Величина тока J_кл определяется током, протекавшим по ключу до коммутации:

А,

i_L(0) - ток, протекающий по катушке до коммутации - основное начальное условие, определённое выше.

Выразим в операторной форме напряжение на конденсаторе и ток, протекающий через катушку: