Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Общие свойства и методы расчета (анализа) линейных цепей постоянного тока

1. Общие и методические замечания

Основы электротехники были заложены трудами великих ученых - Г. Омом, Э. Ленцем, Д. Джоулем, Г. Кирхгофом и др.

Так в 1827 году Г. Ом установил связь между сопротивлением, напряжением и током на участке цепи; русский академик Э. Ленц одновременно и независимо от Д. Джоуля, открыл закон преобразования электрической энергии в тепловую (1842 г.); основные закономерности расчета разветвлённых электрических цепей сформулировал Г. Кирхгоф (1845 г).

Теория электрических цепей разделяется на две части - на анализ и на синтез электрических цепей.

В предлагаемом пособии будут рассматриваться вопросы анализа электрических цепей. В первых трех главах первой части изучаются процессы, проходящие при постоянных токах.

Постоянным током называется ток, неизменный во времени.

Совокупность устройств, предназначенных для производства, передачи и потребления электрической энергии, называется электрической цепью. Простейшая электрическая цепь схематически показана на рис. 1. а и б.

Рис. 1.

Источником электрической энергии называется устройство, в котором механическая, химическая, световая или другие виды энергии преобразуются в электрическую. Одна из разновидностей реального источника электрической энергии ЭДС Е и внутренним сопротивлением R_В изображена на рис. 1. а и б. Это источник напряжения.

Электрические цепи, рассматриваемые в первой части настоящего пособия - это цепи с сосредоточенными параметрами.

Участок электрической цепи, на котором существенное значение имеет необратимое преобразование электрической энергии в другие виды энергии (например, в тепловую, световую и т. д.) на схемах представляется в виде резистора, имеющего сопротивление R. На рис. 1. а и б - это, например, сопротивление нагрузки R_Н (приемник энергии).

Источник электрической энергии соединен с приемником проводами. Если не будет сделана специальная оговорка, то мы будем считать их сопротивление равным нулю (R_пров. = 0). При необходимости сопротивление проводов можно учесть виде сосредоточенного сопротивления.

Электрические цепи бывают неразветвленными и разветвлёнными.

В схемах различают ветви - участки цепи, по которым протекает одни и тот же ток, и узлы - соединение не менее трех ветвей (участков цепи). Рисунки 2 а и б поясняют сказанное.

Рис. 2

Некоторые части электрических схем могут быть активными, а другие - пассивными. Часть электрической схемы, в которой содержатся источники электрической энергии, называется активной частью. В пассивной части схемы отсутствуют источники электрической энергии. Применяемые в ряде случаев обозначения активной и пассивной частей схемы приведены на рис. 3 а и б.

Рис. 3

Значение первой главы настоящего пособия для дальнейшего изучения курса ТОЭ чрезвычайно велико.

Задачи анализа, как правило, сводятся к нахождению токов в ветвях схемы. Развитие и совершенствование различных методов расчета цепей связано в основном с уменьшением числа решаемых уравнений. Следует подчеркнуть, что в основе всех методов лежат законы Ома и Кирхгофа.

При изучении материала настоящей главы необходимо обратить внимание на изменение потенциала вдоль участка пени. Следует научиться записывать закон Ома для участка цепи, в том числе содержащего источники ЭДС.

При изучении материала о законах Кирхгофа надо обратить внимание на порядок расчета. Особенно это относится к правилам знаков при составлении уравнений по второму закону Кирхгофа. Рекомендуем правила расчета выучить. То же самое относится и к другим методам расчета.

2. Электрическое напряжение. Электрический потенциал. Разность потенциалов

Изменение потенциала вдоль участка цепи

Рассмотрим область пространства, в котором существует электрическое поле. Это может быть поле неподвижных зарядов или поле постоянных токов, протекающих по неподвижным проводникам, при условии, что поле исследуется вне области действия источников электродвижущих сил.

При перемещении какого-либо заряда из одной точки в другую силы поля, действующие на заряд, совершают работу. Отношение этой работы к переносимому заряду называется электрическим напряжением между рассматриваемыми точками.

Иногда вместо термина «напряжение между точками» употребляют термин «падение напряжения между точками».Если конечная точка для всех перемещений рассматриваемого пространства задана, то величина совершаемой работы при перемещении заряда из произвольной точки А в конечную точку N будет функцией только координат точки А. Отношение величины работы к величине заряда называют потенциалом точки А.

Следует отметить: что путь перемещения заряда может проходить в средах, различающихся друг от друга своими свойствами (например, в диэлектриках, в проводниках и т. д.).

Величина работы, совершаемой силами поля, определяется только положением начальной и конечной точек пути перемещения заряда. В соответствии со сказанным можно определить напряжение между точками А и В как разность потенциалов между этими точками:

Потенциал заданной конечной точки можно считать равным нулю.

Под воздействием электрического поля, созданного источниками электрической энергии внутри проводников, в них начинается упорядоченное движение зарядов - электрический ток.

Проследим изменение потенциала вдоль участка электрической цепи. Это позволит установить общие правила, которыми мы будем пользоваться в дальнейшем.

Рассмотрим участок электрической цепи, содержащий только резистор R, по которому протекает ток I (рис. 4). Ток протекает от точки А с более высоким потенциалом к точке В с более низким потенциалом. Пусть известен потенциал точки А. Определим потенциал точки В.

Рис. 4

Пусть известен потенциал точки А. Определим потенциал точки В. Он будет меньше потенциала точки А на величину падения напряжения на резисторе R:

Разность потенциалов между точками А и В - есть напряжение между этими точками

(1)

Если же известен потенциал точки В, то потенциал точки А при заданном направлении тока будет выше потенциала точки В на величину падения напряжения на резисторе R:

и напряжение определяется аналогично предыдущем

Очевидно, что (см. рис. 4).

Рис. 1.5

Рассмотрим участок цепи, содержащий только ЭДС Е (см. рис. 5). Пусть известен потенциал точки А. При переходе через источник ЭДС (по стрелке) потенциал повышается на величину ЭДС Е. Поэтому для потенциала точки В следует записать

и разность потенциалов

Если же известен потенциал точки В, то потенциал точки A меньше на величину ЭДС Е (переход через источник осуществляется против стрелки).

Разность потенциалов получается такой же

Очевидно, что (см. рис. 5).

3. Закон Ома

а) Участок цепи содержит только резистор R

Между током, напряжением и сопротивлением участка цепи существует, как было записано (1), зависимость

Это и есть закон Ома. Размерность: U -в вольтах, В, I - в амперах, А; R - в омах, Ом. Наряду с сопротивлением R при расчетах вводят понятие проводимости участка цепи как величину, обратную сопротивлению

g =

При этом g - в сименсах, См = Ом^-1.

Перепишем закон Ома в таком виде

Рис. 6

Если сопротивление (проводимость) элемента цепи не зависит от тока в нём, то график I(U), т. е. вольт - амперная характеристика (ВАХ) элемента, представляется в виде прямой линии (см. рис. 6). В этом случае говорят, что элемент цепи обладает линейной характеристикой. В первой части курса мы будем заниматься только линейными цепями.

б) Участок цепи содержит источники ЭДС

Если на участке цепи есть одна или несколько ЭДС, то для того чтобы записать закон Ома, рассмотрим изменение потенциала вдоль такого участка (рис. 7).

Рис. 7

Пусть известен потенциал точки 2. Проследим изменение потенциала при переходе от точки 2 к точке 1 в соответствии с правилами, изложенными в параграфе 2

; ; ;

; или

;

;

.

Из последнего выражения определим ток

(3)

Анализируя полученную формулу, следует отметить, что значение тока по (3) может иметь как положительный, так и отрицательный знак. На это обратим особое внимание.

При расчёте цепей направления токов, как правило, заранее не известны. Поэтому перед началом расчёта их направления выбирают произвольно. Такие направления токов называют положительными. Если при расчёте получается ток с отрицательным знаком, то это значит, что положительное направление тока прямо противоположно действительному. То же самое относится и к выбору положительных направлений напряжений.

4. Эквивалентные схемы источников энергии

Реальный источник электрической энергии имеет внешнюю характеристику, представленную на рис. 9, и может быть представлен в виде двух эквивалентных схем.

а) Схема с источником ЭДС. Источник напряжения

Рассмотрим схему, в которой внутреннее сопротивление источника R_b условно изображено отдельно (рис. 8).

Рис. 8

Ток в данной схеме (4)

Напряжение на зажимах нагрузки

 (5)

Из двух последних уравнений можно получить

(6)

(7)

Уравнение (7) при Е = const и R_В = const есть уравнение прямой линии (рис. 9). В то же время оно является ВАХ левой части схемы рис. 8, т. е. внeшней характеристикой источника напряжения U= f (I) (см. рис. 9)

Для её построения рассмотрим два режима.

Режим холостого хода (Х.Х); R_Н = ; (рис. 10).

Из (7) при I = 0 имеем

U = U_X = E(8)

Режим короткого замыкания (КЗ); R_Н = 0; (рис. 11).

Из (7) при U = 0

(9)

Рис. 9



Рис. 10

Рис. 11

По этим двум режимам можно построить ВАХ (внешнюю характеристику) источника напряжения (см. рис. 9), или по известной характеристике определить параметры E и R_В источника.

Если внутреннее сопротивление источника R_В равно нулю, то получается идеальный источник, и по (7) при R_в = 0 U = E

Внешняя характеристика U = f (I) такого источника показана на рис. 9 (пунктир).

В этом случае имеем идеальный источник напряжения с ЭДС E = const. Реальный источник напряжения приближается к идеальному, если он работает в режиме. Близком к режиму холостого хода (8). Предыдущую схему можно представить другой эквивалентной схемой (относительно нагрузки).

Из (7) получаем

(10)

Обозначая согласно (9)

; и далее , имеем , или , (11)

где J - ток источника тока.

Выражению (11) соответствует схема (см. рис.12).

Рис. 12

Из уравнения (10) (12)

Это есть внешняя характеристика источника энергии I = f(U), изображенного на рис. 13. Это схема с источником тока J.

Рис. 13

кирхгоф электрический ток энергия



Рис. 14 Рис. 15 Рис. 16

Режим холостого хода. R_Н = ; I = 0; (рис. 14). Из (12)

Режим короткого замыкания. R_Н = 0; (рис. 15).

Из (12)

По данным этих двух режимов можно построить внешнюю характеристику источника I = f(U).

Если внутреннее сопротивление источника велико (R_В ; g_В 0), то получается идеальный источник и по (12) при R_В оказывается, что J = I. Говорят, что в этом случае имеем идеальный источник тока J = const (см. рис. 16). Внешняя характеристика I = f(U) такого источника показана на рис 13 пунктиром. Реальный источник электрической энергии с источником тока приближается по своим свойствам к идеальному, если он работает в режиме, близком к режиму короткого замыкания. Внутреннее сопротивление источника тока бесконечно велико.

Примерами источников напряжения, приближающимися к источнику ЭДС, могут быть различные генераторы постоянного тока с регулируемым напряжением на выходных зажимах. В качестве примера источника тока, приближающемуся к идеальному, могут быть названы, например, источники энергии основанные на излучении заряженных частиц, так как при этом ток источника определяется скоростью распада. Другими примерами могут служить генераторы постоянного тока с регулируемым током на выходе.

При расчетах электрических цепей реальный источник электрической энергии представляют источником напряжения или источником тока, в том числе и в случаях, когда за внутреннее сопротивление источника принимается любое сопротивление, соизмеримое с сопротивлением нагрузки. Переход от одной схемы к другой иногда значительно облегчает расчеты.

Рассмотрим правила перехода от одного вида источника к другому

Рис. 17

Рис. 18

Пример 1. На рис. 17. приведена схема с источником ЭДС Е=12 В; R_B=2 Ома. Необходимо перейти к схеме с источником тока.

Решение

Определим ток источника тока

J=

Составляем схему с источником тока. Она изображена на рис.18. Обратите внимание: источник тока действует в ту же сторону, что и ЭДС.

Рис. 19 Рис. 20

Пример 2. На рис. 19 приведена схема с источником: J = 10 A; R_В = 3 Ома. Необходимо перейти к схеме с источником ЭДС.

Решение

Определяем ЭДС источника

Е = R_ВJ =310 = 30 В.

Составляем схему с источником ЭДС. Она изображена на рис. 1.20. Следует обратить внимание на то, что источник ЭДС действует в ту же сторону, что источник тока.

Условимся в дальнейшем, что внутренними сопротивлениями реальных источников напряжения будем или пренебрегать, или учитывать их в сопротивлении нагрузки; в случае реальных источников тока внутренними проводимостями будем или пренебрегать, или учитывать их в проводимости нагрузки. Условимся также, что когда будем говорить «источник ЭДС», то под этим подразумевать идеальный источник напряжения с R_В = 0; когда - «источник тока», то под этим подразумевать идеальный источник тока с g_B = 0 (R_В ).

Следует подчеркнуть, чти переход от одной схемы к другой не влияет на режим нагрузки. Однако мощности, развиваемые источником ЭДС и источником тока, оказываются разными. Но об этом подробнее в следующих параграфах.

5. Применение законов Кирхгофа к расчету электрических цепей

При расчете электрических цепей используют два закона Кирхгофа. Они являются наиболее общими и универсальными законами электрических цепей и лежат в основе всех других методов.

Первый закон Кирхгофа

Он основан на принципе непрерывности электрического тока и применяется к узлам схемы. Необходимо условиться, например, что ток, уходящий от узла, берется со знаком «+» (плюс), а ток, приходящий к узлу - со знаком «-» (минус). Можно и наоборот. Если в схему b ветвей, токи которых подлежат определению, и у узлов, то - по первому закону Кирхгофа составляется у - 1 уравнений.

Первый закон Кирхгофа формулируется следующим образом:

«Алгебраическая сумма токов в узле равняется нулю»

(13)

Недостающее число уравнении составляется по второму закону Кирхгофа. Оно равно числу независимых контуров

k = b - ( y - 1 ).

Уравнения по второму закону Кирхгофа составляются для независимых контуров. Независимым контуром называется контур, который отличается от предыдущих, хотя бы одной новой ветвью.

Второй закон Кирхгофа формулируется так:

«В любом контуре алгебраическая сумма ЭДС равна алгебраической сумме падений напряжений на сопротивлениях, входящих в этот контур»

 (14)

В этом уравнении положительные значения ЭДС и токов берутся для тех слагаемых, у которых выбранные положительные направления совпадают с произвольно выбранным направлением обхода контура.

Следует отметить, что ветвь с источником тока не может образовывать независимый контур.

Если известны все элементы схемы и ее конфигурация, то, как правило, задача сводится к определению токов в ветвях.

Рекомендуется следующий порядок расчета цепи с использованием законов Кирхгофа.

1. Выбрать положительные направления токов в ветвях.

2. Пронумеровать узлы схемы.

3. Определить независимые контуры схемы.

4. Произвольно выбрать направление обходов независимых контуров.

5. Если число узлов у, то но первому закону Кирхгофа составить для узлов у - 1 уравнения.

6. Если число ветвей b, то по второму закону Кирхгофа составить для независимых контуров k = b - (у - 1) уравнения.

Для иллюстрации сказанного рассмотрим подробно расчет разветвленной электрической цепи.

Пример 3. Конфигурация схемы приведена на рис. 21. Параметры ее элементов следующие: E₁ =10 В; E₂ = 15 В; E₃ = 10 В; E₄ = 5 В; E₅ = 20 В; J = 2 А; R₁ = R₃ = R₅ = 5 Ом; R₂ = R₄ = 4 Ом. Необходимо определить токи ветвей.

Решение

1. Выбираем положительные направления токов во всех b = 5 ветвях схемы. На рис. 1.18 они обозначены стрелками.

2. В схеме у = 4 узла. Нумерация их показана на рисунке.



Рис. 21

3. В рассматриваемой цепи два независимых контура. 0ни обозначены соответственно 1к и 2к.

4. Выбираем произвольно направления обхода независимых контуров. Например, в первом контуре по часовой стрелке; во втором контуре - против. На рис. 1.21 эти направления показаны круглыми стрелками.

5. По первому закону Кирхгофа составляем уравнения для у - 1 = 4 - 1 = 3 узлов. Это узлы 1, 2, 3 (см. рис. 21).

6. По второму закону Кирхгофа составляем уравнения для k = b - (у - 1) = 5 - (4 -1) = 2 независимых контуров. Это контуры 1к и 2к.

Уравнения для цепи, изображённой на рис. 21, выглядят так:

Узел 1. I₄ - J - I₁ = 0; R₁I₁ + R₄I₄ + R₃I₃ = E₁ + E₄ + E₃;

Узел 2. I₃ + I₅ - I₄ = 0; R₂I₂ + R₅I₅ + R₃I₃ = E₂ + E₃ - E₅;.

Узел 3. J - I₅ - I₂ = 0;

Подставим числовые значения

-I₁+I₄=2; 5I₁+5I₃ + 5I₄ = 25; I₃ - I₅ - I₄ = 0; 4I₂ + 5I₃ - 5I₅ = 5; - I₂ - I₅ = - 2;

Решая полученную систему из пяти уравнений, определяем токи в ветвях:

I₁ = 0,95 А; I₄ = 2,95 А; I₂ = 0,73 А; I₅ = 1,27 А, I₃ = 1,68 А.

Все токи получились со знаком «+». Это значит, что произвольно заданные положительные направления токов совпали с действительными. Если бы получился знак «-», то это значило бы, что действительное направление тока противоположно выбранному положительному направлению.

6. Баланс мощности в электрической цепи

Энергетические соотношения в электрической цепи определяются равенством суммарной мощности, развиваемой всеми источниками, и суммарной мощности всех потребителей:

, или. (15)

где m - количество источников ЭДС; n - количество источников тока; k - количество резисторов в цепи; I, U - положительные направления токов источников ЭДС и напряжений источников тока.

В левой части уравнения (15) члены вида EI берутся со знаком «+» (плюс), если положительные направления тока и ЭДС совпадают; знак произведений вида JU зависит от знака U, т. е. положительного направления напряжения источника тока.

Напряжение источника тока равно разности потенциалов точки, в которую ток источника тока входит, и точки, из которой он выходит (см. рис. 1.21, напряжение U₁₃).

Следует подчеркнуть, что положительные значения токов и напряжений берутся с теми знаками, которые получились в результате расчета. Все сказанное проиллюстрируем на примере.

Пример 4. Составить баланс мощности для схемы рис. 21, используя результаты предыдущего расчета.

Решение

Общее выражение для расчета

.

Для исследуемой цепи

Определяем напряжение U₁₃. Воспользуемся вторым законом Кирхгофа для определения напряжения между точками 1 и 3. В этом случае в правую часть уравнения (1.14) следует ввести искомое напряжение U₁₃ вдоль пути, как бы дополняющего контур до замкнутого (см. пунктир рис. 1.21). В соответствии со сказанным, можно записать

- E₄- E₅ = U₁₃ - R₅I₅ - R₄I₄;

U₁₃ = - E₄ - E₅ + R₅I₅ + R₄I₄ = - 5 - 20 + 51,27 + 42,95 = - 6,84 B.

Теперь 'есть все данные для расчета баланса. Получаем

100,95 + 150,73 + 101,68 + 52,95 + 201,27 + 2(-6,84) =

= (0,95)²5 + (0,73)²4 + (1,68)²5 + (2,95)²4 + (1,27)²5;

63,8 Вт = 63,8 Вт.

Итак, мы познакомились с одним из методов расчета электрических цепей, основанным на применении законов Кирхгофа. Существенный недостаток этого метода - рост числа уравнений с ростом числа ветвей схемы. Все другие методы расчета и преобразования электрических цепей, которые будут изложены ниже, имеют перед собой основную задачу: сократить число решаемых уравнений и кратчайшим путем получить нужный результат. Все методы будут иллюстрироваться примерами и сравниваться друг с другом.

Хотелось бы еще раз подчеркнуть, что в основе всех методов расчета электрических цепей лежат законы Ома и Кирхгофа, имеющие фундаментальное значение.

7. Метод узловых потенциалов

Метод узловых потенциалов является одним из основных расчетных методов. Суть метода заключается в том, что при использовании законов Кирхгофа и Ома определяются потенциалы узлов схемы, а затем и токи ветвей. Число решаемых уравнений сокращается до величины (у - 1) (см. п. 5).

Если в схеме «у» узлов, то потенциал одного (базового) узла можно выбрать произвольно, приравняв его значение, например, нулю. Уравнения для нахождения потенциалов других узлов составляются по определенным правилам. Лучше всего это показать на примере.

Рассмотрим схему рис. 21. Число узлов у = 4; примем потенциал 0-го узла равным нулю (₀ = 0).

Для остальных узлов запишем уравнения по первому затону Кирхгофа.

Для 1-го узла: I₄ + J - I₁ = 0;

Для 2-го узла: I₃ + I₅ - I₄ = 0;

Для 3-го узла: J - I₂ - I₅ = 0.

Используя закон Ома, выразим токи через потенциалы узлов и параметры ветвей.



Проведя несложные математические преобразования и учитывая, что ₀ = 0, получим

Используем выражение g =. Кроме этого, введем дополнительные обозначения

g₁₁ = g₁ + g₂; g₂₂ = g₄ + g₅+ g₃;

g₃₃ = g₅ + g₂; g₁₂ = g₂₁ = g₄; g₂₃ = g₃₂ = g₅,

где g₁₁, g₂₂, g₃₃ - сумма проводимостей ветвей, присоединённых соответственно к 1, 2 и 3 узлам, т. е. к узлам, потенциалы которых подлежат определению; g₁₂ = g₂₁ - сумма проводимостей ветвей, соединяющих два соседних узла 1 и 2; g₂₃ = g₃₂ - сумма проводимостей ветвей, соединяющих два соседних узла 2 и 3.

В правой части уравнений находится алгебраическая сумма произведений ЭДС на проводимости соответствующих ветвей и токов источников тока. Причем, произведение или ток источника берутся со знаком «+» (плюс), если ЭДС или источник тока действуют к узлу, и со знаком «-» (минус) - если наоборот.

Следуя по пути дальнейшей формализации, можно обозначить правые части уравнений как узловые токи

(16)

Окончательно система узловых уравнений выглядит так:

(17)

Для определения потенциалов исследуемой цепи нужно решить только три уравнения (вместо пяти - по законам Кирхгофа), т. е. число уравнений системы значительно сократилось.

После определения потенциалов узлов но закону Ома определяются токи во всех ветвях схемы.

(18)

Рекомендуется следующий порядок расчета электрической цепи по методу узловых потенциалов.

1. Определить число у узлов схемы; пронумеровать узлы.

2. Один из узлов схемы принять за базовый, положив его потенциал равным нулю.

3. Подсчитать проводимости ветвей, если даны их сопротивления.

4. Подсчитать сумму проводимостей всех ветвей, присоединенных к каждому узлу, потенциал которого подлежит определению (это проводимости с одинаковыми индексами, например, g₁₁, g₂₂ и т. д.).

5. Определить сумму проводимостей ветвей между каждой парой соседних узлов, потенциалы которых подлежат определению (это проводимости с разными индексами, например g₁₂, g₂₃ и т.д.).

6. Для записи правой части уравнений системы (17) необходимо определить узловые токи и т. д., согласно правилу, изложенному в начале параграфа.

7. Записать систему уравнении (17), причем, например, для первого узла: потенциал берется со знаком «+» (плюс), остальные со знаком «-» (минус) и т. д.

8. Решить систему (17).

9. По (18) определять токи в ветвях.

Пример 5. Определить токи в ветвях схемы, изображенной на рис. 21. Параметры схемы те же, что в примере 3.

Решение

1. Определяем число узлов схемы (у = 4); нумеруем узлы.

2. Принимаем потенциал 0 узла за нуль .

3. Определяем проводимости ветвей.

g₁ = g₃ = g₅ = 0,2 См; g₂ = g₄ =0,25 См.

4. Подсчитываем сумму проводимостей всех ветвей, присоединенных соответственно к 1, 2 и 3 узлам

g₁₁ =g₁ + g₄ = 0,45 См; g₂₂ =g₄ + g₃ + g₅ = 0,65 См; g₃₃ = g₅+ g₂ = 0,45 См.

5. Определяем сумму проводимостей ветвей между каждой парой соседних узлов, потенциалы которых подлежат определению.

g₁₂ = g₂₁ = g₄ =0,25 См; g₂₃ = g₃₂ = g₅ =0,2 См.

6. Определяем узловые токи.

Для 1 узла А.

Для 2 узла А.

Для 3 узла А.

7. Записываем систему узловых уравнений (17)

8. Решая полученную систему, находим

9. По (1.18) определяем токи

А; А;

А; А;

А.

8. Метод контурных токов

Другим важным методом является метод контурных токов, в основе которого также лежат уравнения Кирхгофа.

В расчет вводятся контурные токи, замыкающиеся по независимым контурам. Для них составляются уравнения по второму закону Кирхгофа. Действительные токи в ветвях схемы определяются как алгебраическая сумма контурных токов. При этом первый закон Кирхгофа удовлетворяется автоматически. Число решаемых уравнений сокращается до числа независимых контуров «k» (см. п. 5).

Лучше всего переход от уравнений, составленных по законам Кирхгофа, к контурным уравнениям можно показать на примере. Рассмотрим снова схему рис. 21. Перерисуем её ещё раз (см. рис. 24). Это нужно для того, чтобы не затемнять чертеж.

Для схемы рис. 24 составляем уравнения по законам Кирхгофа. По первому затону - для узлов 1, 2, 3; по второму закону - для 1-го и 2-го независимых контуров (см. рис. 24). Направление обхода контуров указано там же

I₄ - J - I₁ = 0; R₁I₁ + R₄I₄ + R₃I₃ = E₁ + E₄ - E₃;

I₃ + I₅ - I₄ = 0; R₂I₂ - R₅I₅ + R₃I₃ = E₂ + E₃ - E₅;

J - I₅ - I₂ = 0.

Выразим из первых трех уравнении токи I₃, I₄, I₅ через I₁, I₂ и J:

I₄ = J + I₁; I₅ = J - I₂; I₃ = I₄ - I₅ = I₁ + I₂.

Полученные значения I₃, I₄, I₅ подставим в два последних уравнения, которые составлены для независимых контуров. После несложных преобразований имеем

(R₁ + R₄ + R₃)I₁ + R₃I₂ + JR₃ = E₁ + E₄ + E₃;

R₃I₁ + (R₃ + R₂ + R₅)I₂ - JR₅ = E₂ + E₃ - E₅.

Из последних уравнений видно, что ток I₁ замыкается только по первому независимому контуру; ток I₂ - только по второму независимому контуру; по сопротивлению R₃ (общему для обоих независимых контуров) протекает как ток I₁, так и ток I₂; ток источника тока J замыкается по 4-ой и 5-й ветвям схемы (см. рис. 1.24), и слагаемые JR₄ и - JR₅ представляют собой падения напряжения на сопротивлениях R₄ и R₅ от тока J источника тока.

Введем обозначения

- первый контурный ток;

- второй контурный ток.

Члены JR₄ и - JR₅ можно записать в правой части уравнений. Тогда уравнения для контурных токов можно записать в более компактном виде

(19)

где R₁₁ = R₁ + R₄ + R₃ - собственное сопротивление 1-гo контура;

R₂₂ = R₃ + R₂ + R₅ - собственное сопротивление 2-го контура;

R₁₂ = R₂₁ = R₅ - общее сопротивление 1-го и 2-го контуров;

E₁₁ = E₁ + E₄ + E₃ -JR₄ - контурная ЭДС 1-го контура;

E₂₂ = E₂ + E₃ - E₅ + JR₅ - контурная ЭДС 2-го контура.

Общее решение системы уравнений (1.19) относительно контурных токов будет таково:

 (20)

где - определитель системы.

Алгебраическое дополнение _mn получено из определителя путем вычеркивания «m»-ой строки и «n»-го столбца и умножения полученного определителя на (-1)^m+n.

Определитель системы обладает симметрией относительно гласной диагонали (R₁₂ = R₂₁ = R₅) и в силу этого _mn = _nm.

В рассматриваемом примере число независимых контуров равно двум, однако это не умаляет общности всех рассуждений. т. е. все выкладки могут быть распространены на любое число независимых контуров.

По методу контурных токов составляются уравнения только по второму закону Кирхгофа. Это приводит к уменьшению числа решаемых уравнений.

Рекомендуется следующий порядок расчета цепи по методу контурных токов.

1. Определить независимые контуры рассматриваемой цепи. Пронумеровать их.

2. Выбрать произвольно направление обхода независимых контуров. Направление контурного тока и направление обхода контура совпадают.

3. Если в схеме есть источник тока, то надо, считая ток источника за контурный ток, наметить произвольный путь, по которому он будет замыкаться.

4. Составить уравнения по второму закону Кирхгофа для всех независимых контуров. При этом надо учесть падение напряжения от тока источника тока.

5. Определить контурные токи.

6. Определить действительные токи в ветвях.

Пример 6. Пользуясь методом контурных токов определить токи в схеме рис. 24. Параметры схемы по примеру 3.

Решение

1. Определяем независимые контуры. Их два. Это 1 контур и 2 контур.

2. Выбираем направление обхода независимых контуров (см. рис. 24). Направления контурных токов и указаны там же.

3. Ток источника J считаем замыкающимся через сопротивления R₄ и R₅, (см. пунктир на рис. 24).

4. Составляем уравнения для 1-го и 2-го контуров по второму закону Кирхгофа.

R₁₁ = R₁ + R₄ + R₃ = 14 Ом;

R₂₂ = R₃ + R₂ + R₅ = 14 Ом;

R₁₂ = R₂₁ = R₃ = 5 Ом;

E₁₁ = E₁ + E₄ + E₃ - JR₄ = 17 В;

E₂₂ = E₂ + E₃ - E₅ + JR₅ = 15 В.

5. Записываем и решаем систему уравнений (1.19)

Решение определителя по (1-20)

; ₁₁ = 14; ₂₂ = 14; ₁₂ = ₁₂ = - 5;

А;

А

6. Определяем токи в ветвях схемы

А;

А;

А;

А;

А.

9. Сравнение различных методов расчета электрических схем

В предыдущих параграфах приводились примеры расчета одной и той же схемы (рис. 21) тремя различными методами. Это позволяет сделать некоторые сравнения.

Для решения поставленной: задачи следовало определить пять токов (по числу ветвей).

По законам Кирхгофа необходимо было решить 5 уравнений; но методу узловых потенциалов - 3; по методу контурных токов - 2. Совершенно ясно, что метод узловых потенциалов и метод контурных токов значительно выигрывают в сравнении с законом Кирхгофа.

Самым эффективным оказался метод контурных токов. Пришлось решать только два уравнения (в схеме только два независимых контура).

Вывод: для каждой схемы существует наиболее рациональный метод расчета.

Следует отметить, что упрощение расчета электрической цепи может быть достигнуто также за счет перехода от одной эквивалентной схемы источника энергии к другой.

В § 4 рассматривались вопросы перехода от одной схемы источника к другой. Указывалось, что в части схемы, не подвергшейся преобразованию, токи остаются неизменными. Кроме того, было сказано, что в этом случае мощности, развиваемые источниками тока и источниками ЭДС, оказываются разными. Все эти вопросы рассмотрим на примере расчета схемы рис. 21.

Пример 7. Рассчитать схему рис. 21, преобразовав источник тока в источники ЭДС. Составить баланс мощностей для преобразованной схемы. Параметры схемы по примеру 3.

Решение

1. Переход от источника тока к источникам ЭДС осуществляется согласно pис. 22.

Рис. 22

Следует отметить, что для узла 2 не нарушается первый закон Кирхгофа. Подсчитываем эквивалентные ЭДС

E_Э1 = R₄J = 42 = 8 В; E_Э2 = R₅J = 52 = 10 В.

2. Включение этих ЭДС и схема для расчета показаны на рис. 23.

3. Выбираем метод расчета схемы рис. 23. По методу законов Кирхгофа нужно решить 3 уравнения: по методу контурных токов - 2; по методу узловых потенциалов - 1 уравнение, так как схема рис. 23 имеет только 2 узла и потенциал одного из них может считаться известным. Положим = 0.

Итак, по методу узловых потенциалов согласно ( 16) имеем

g₂₂=

Откуда после подстановки цифровых данных получаем В.

Рис. 23

Токи в ветвях схемы рис. 23

 А;

А;

А.

Токи в ветвях схемы рис. 1.21 определяем по первому закону Кирхгофа

I₄ = I₁ + J = 0,95 + 2 = 2,95 А;

I₅ = J - I₂ = 2 - 0,73 = 1,27 А.

При решении этой задачи (рис. 1.23) мы использовали широко известную формулу «двух узлов»

В общем случае число ветвей может быть любым. Кроме того, между узлами 0 и 2 могут действовать источники тока, поэтому предыдущую формулу можно записать в более общем виде

(21)

Формулой (21) мы будем часто пользоваться в дальнейшем

4. Составляем баланс мощности для преобразованной схемы

;

После подстановки числовых данных:

100,95 + 150,73 + 101,68 - 80,95 + 50,95 + 100,73 - 200,73 =

= (0,95)²9 + (0,73)²9 + (1,68)²5;

27,1 Вт = 27,1 Вт.

Сравните с результатом примера 4.

Рис. 24

Рис. 25

10. Принцип наложения и метод наложения

Принцип наложения относится к линейным системам независимо от их физической природы и применительно к электрическим цепям формулируется следующим образом: «Ток в любой ветви электрической схемы равен алгебраической сумме токов, создаваемых каждым источником электрической энергии в отдельности».

Если в цепи действуют несколько источников ЭДС и источников тока, то математическая запись этого принципа относительно тока в k-й ветви такова

(22)

где - взаимная проводимость между k-й и n-й ветвями;

- собственная входная проводимость k-й ветви;

- коэффициент передачи по току между k-й и i-й ветвями.

Выражение (22) легко получается из (19), если контурный ток одновременно является и током k-й ветви. Это всегда можно сделать, выбрав соответствующим образом k-й контур.

Метод наложения заключается в том, что схема рассчитывается при действии каждого источника в отдельности. При этом остальные источники удаляются, однако их внутренние сопротивления сохраняются. Определенные таким образом частичные токи алгебраически суммируются, т. е. учитывается направление каждого из них относительно положительного направления тока в рассматриваемой ветви.

Для определения взаимной проводимости, например, в выражении (22) следует величины всех источников положить равными нулю, кроме Е₁. В соответствии с этим выражение (22) запишем так откуда.

Это хорошо понятно из рис. 25, на котором изображена скелетная схема цепи; показаны только ветви и узлы; в каждой ветви есть сопротивление. Для определения в первую ветвь надо включить ЭДС Е₁, а в k-й ветви рассчитать (замерить) ток . Затем взять отношение к E₁:

Что касается собственных проводимостей ветвей, т. е. проводимостей с одинаковыми индексами, то они являются входными проводимостями относительно зажимов рассматриваемой ветви.

Используя выражение (22), следует записать для k-й ветви , откуда . И далее .

Входные проводимости имеют всегда положительный знак. Взаимные проводимости могут иметь как положительный, так и отрицательный знак в зависимости от знака частичного тока, полученного в результате расчета. Это поясняется ниже.

Рис. 26

При расчете цепи от каждого источника отдельно получаются несложные схемы, определение токов в которых не вызывает затруднения.

Метод наложения широко применяется при вариациях величин ЭДС или токов источников тока.

Пример 8. Для схемы рис. 26 известны параметры R₂ = 12 Ом; R₅ = 20 Ом; E₃ = 50 В; R₃ = 10 Ом; J₁ = 2 А; R₄ = 40 Ом; E₂ = 20 В.

Определить все входные и взаимные проводимости и передаточные коэффициенты (то току). Записать выражения для токов I₂, I₃, I₄, I₅.

Рис. 27

1. Рассчитываем схему от воздействия только источника тока J₁ (рис. 27). Направление частичных токов сохраняем в соответствии с их положительными направлениями в исходной схеме рис. 26.

Ом; R₅ = 20 Ом.

Следовательно, частичные токи:

Определяем передаточные коэффициенты (пo току):

Аналогично

Рис. 28

Рассчитываем токи только от E₂ (рис. 28):

;

Определяем входную и взаимные проводимости:

 См; или См;

См.

Аналогично См; См.

2. Рассчитываем токи только от Е₃ (рис. 29):

Рис. 29

Ом; ;

;

.

Определяем входную и взаимные проводимости:

См; См.

Аналогично См; См.

4. Записываем выражения для токов I₂, I₃, I₄, I₅.

Пример 9. Используя условия и результаты расчета примера 8, определить токи I₄ и I₅.

Решение

А;

А.

Пример 10. В условиях примера 1.8 Е₂ принимает значения: а) 40 В; б) 80 В. Определить токи I₄ и I₅.

Решение

а)Е₂=40В; А;

А.

б) Е₂=80В; А;

А.

11. Принцип взаимности

Он формулируется так: «В любой линейной цепи ток I_k в k-й ветви, вызванный включением в n-ю ветвь ЭДС E_n, равен току I_n в n-й ветви, вызванному включением в k-ю ветвь ЭДС E_k = E_n».

Пусть в рассматриваемой цепи ЭДС действуют сначала только в n-й ветви, а затем только в k-й ветви, причем E_k = E_n. Другие ЭДС отсутствуют. По методу контурных токов

Известно, что _kn = _nk (§8). Следовательно:

Это и есть общее доказательство принципа взаимности.

В частности, на примере 8 это можно показать наглядно.

При расчете цепи от ЭДС Е₂:

При расчете цепи от ЭДС Е₃:

Если положить Е₂ = Е₃, то . Кроме того, получаем другое очень важное выражение принципа взаимности

g₂₃ = g₃₂ или g_kn = g_nk. (1.23)

Рис. 30

Экспериментальное определение взаимных проводимостей иллюстрируется схемами рис. 25 и 30.

12. Теорема о компенсации

Она формулируется так: «В электрической цепи любое сопротивление с током можно заменить ЭДС, равной падению напряжения на этом сопротивлении и направленной навстречу току в этом сопротивлении».

Рис. 31

Для доказательства этого обратимся к рис. 31 а, б, в. Падение напряжения на сопротивлении R будет равно U = RI (pиc. 31 а). Включим последовательно с сопротивлением две ЭДС, каждая из которых равна по величине падению напряжения на сопротивлении R, т.е. RI. Причем эти ЭДС направлены навстречу друг другу. Очевидно, что в этом случае токораспределение в схеме не изменится.

Проследим изменение потенциала вдоль участка цепи от точки «а» до точки «d». Считаем потенциал точки а известным; тогда для потенциала точки d можно записать Так как потенциалы точек d и а оказались одинаковы, то эти точки можно соединить проводом, т. е. закоротить. Схема рис. 31 б переходит в схему рис. 31 в, что и требовалось доказать.

13. Линейные соотношения в линейных электрических цепях

Если в линейной электрической цепи изменяется ЭДС или сопротивление в какой-либо одной ветви, то два тока в любых двух ветвях (или напряжения на элементах этих ветвей) связаны друг с другом линейным соотношением:

Докажем это. Согласно принципу наложения можно записать

Пусть в схеме меняется только ЭДС Е_m. Тогда

Из второго уравнения

Полученное выражение подставим в первое уравнение

Откуда

(24)

Коэффициенты а и b определяют экспериментально или расчетным путем по двум режимам.

Пример 11. Используя результаты решения примера 10, определить коэффициенты линейного соотношения

Решение

При E₂ = 40 В имеем: I₄ = 0,8 А; I₅ = 1 A.

При E₂ = 60 В имеем: I₄ = 1,0 А; I₅ = 2 A.

Получаем два уравнения

откуда

Итак

Проверка. В примере 8 при Е₂ = 20 В было получено I₄ = 0,7 А и I₅ = 0,5 A. Это удовлетворяет предыдущему уравнению

0,7 = 0,6+0,20,5; 0,7 А = 0,7 А.

Рис. 32

Задачи для самостоятельного решения (к главе 1)

1. В схеме рис. 32 определить токи, используя методы: узловых потенциалов, контурных токов, наложения.

Ответ: I₁ = 2 А; I₂ = 5 А; I₃ = 15 А.

2. Для схемы рис. 32 определить собственные и взаимные проводимости ветвей и коэффициенты передачи по току.

Ответы: g₁₁ = 0,4 См; g₂₂ = 0,15 См; g₃₃ = 0,345 См;

g₁₂ = g₂₁ = 0,1 См; g₃₁ = g₁₃ = 0,3 См,

; ; .

3. Для схемы рис. 1.32 найти линейную зависимость токов I₂ и I₃.

Ответ: I₂ = 0,05 + 0,033I₃.

Размещено на Allbest.ru