Резонансы в электрических цепях

Размещено на http://www.allbest.ru//

40

Размещено на http://www.allbest.ru//

Резонансы в электрических цепях

Общие и методические замечания

Реактивные сопротивления (или проводимости) отдельных участков цепи могут иметь как положительное, так и отрицательное значение. В некоторых случаях происходит взаимная компенсация этих величин, и тогда говорят, что в рассматриваемой цепи наступил режим резонанса.

Резонансные явления в электрической цепи возникают при наличии в ней катушек индуктивности и конденсаторов.

Резонансом называется такой режим пассивной цепи, содержащей реактивные элементы, при котором реактивная составляющая ее входного сопротивления (входной проводимости) равна нулю. Ток на выходе цепи (если он не равен нулю) совпадает по фазе с напряжением на входе цепи.

При последовательном соединении конденсатора и катушки может возникнуть резонанс напряжений, при параллельном - резонанс токов.

Резонанс может наступить при изменении частоты источника питания или параметров элементов цепи.

При резонансе напряжений ток на участке цепи максимальный, на конденсаторе и на катушке могут возникнуть напряжения во много раз превышающие напряжение источника питания. Это превышение напряжения в одних случаях является нежелательным, так как может привести к пробою изоляции, т. е. к аварии в электротехнических установках. В других случаях повышение напряжения является полезным и нужным, что широко используется, например, в радиотехнике.

При параллельном соединении двух ветвей, в одну из которых включена катушка индуктивности, а в другую - конденсатор, может возникнуть резонанс токов. В идеальном случае (когда отсутствуют резисторы в параллельных ветвях) общий ток на .входе этих двух ветвей при резонансе равен нулю. В то же время токи ветвей, равные между собой по модулю и противоположные по фазе, могут быть весьма большими. Следует отметить, что в общем случае ток на входе цепи в случае резонанса токов не будет минимальным. Явление резонанса токов широко используется, в технике; в частности, в сталеплавильных печах.

При изменении частоты источника питания, последовательный резонансный контур беспрепятственно пропускает ток резонансной частоты, а параллельный контур, наоборот, препятствует прохождению тока резонансной частоты, т. е. эти контуры обладают фильтрующими свойствами. В технике существуют понятия: добротность и полоса пропускания колебательного контура.

При изучении настоящей главы необходимо обратить внимание на определение условий резонанса контура, его добротности и полосы пропускания. Следует отметить, что при изложении материала о резонансных явлениях широко используются сведения, изложенные в 4, 5, 6 главах. При всех затруднениях советуем обратиться к ним.

Частотные характеристики реактивных двухполюсников

Изучение резонансов в электрических цепях начнем с рассмотрения частотных характеристик идеальных реактивных двухполюсников, т. е. двухполюсников, состоящих из чисто реактивных элементов.

На рис. 7.1. показаны зависимости реактивного сопротивления индуктивности и проводимости от частоты .

На рис. 7.2 приведены зависимости реактивного сопротивления конденсатора и проводимости от частоты .

На рис. 7.3 приведены частотные характеристики последовательно соединенных катушки индуктивности и конденсатора. При этом показана зависимость сопротивления х от частоты и зависимость проводимости b от частоты. Очевидно,

На рис. 7.3 отмечено, что в точке, где = 0, наступает резонанс напряжений. При этом соблюдается условие резонанса напряжения

Из этого условия резонанса напряжения определим резонансную частоту

На рис. 7.4 а приведена схема параллельного соединения L и С, а на рис. 7.4 б показаны частотные характеристики для этой схемы. В данной цепи возможен резонанс токов. Общая проводимость цепи

Здесь реактивная проводимость

реактивное сопротивление .

В точке, где b = 0, наступает резонанс токов. При этом .и резонансная частота .

Реактивные двухполюсники могут состоять из произвольного числа последовательно-параллельных соединений реактивных элементов.

На рис. 7.5 а показана схема последовательно-параллельного соединения четырех реактивных элементов, а на рис. 7.5 б показана частотная характеристика данного двухполюсника.

Из построенной частотной характеристики следует, что при частотах 1 и3 наступят резонансы напряжений, а при частоте 2 будет резонанс токов в параллельной схеме. Следует заметить: частоты резонанса напряжений и резонанса токов, т. е. нули и полюса входного сопротивления, чередуются.

Резонанс напряжений в цепи R, L, С

В цепи три последовательном соединении R, L, С возможен резонанс напряжений. Такую цель называют последовательным колебательным контуром.

На рис. 7.6 а представлена эта цепь, а на рис. 7.6 б приведена векторная диаграмма цеди для случая резонанса напряжений.

Входное комплексное сопротивление данной цепи

где - реактивное сопротивление контура; R - активное и

- полное сопротивление (по модулю).

Угол сдвига фаз между приложенным напряжением, и токов запишется в виде

.

Условие резонанса напряжений: х =0 при , .

Угловая резонансная частота .

Отметим, сто режим резонанса может наступит и при изменении или индуктивности катушки или ёмкости конденсатора; в этом случае ; .

Условимся, что будем рассматривать случай изменения частоты источника питания.

Модуль тока в цепи при заданном напряжений С:

В режиме резонанса ток наибольший и равен

При резонансе ток совпадает по фазе с приложенным напряжением и это отмечено на векторной диаграмме (рис. 7.6 б).

Характеристическое сопротивление контура равно сопротивлению катушки индуктивности при резонансе или сопротивлению конденсатора при резонансе

(учтем, что ):

;

.

На рис. 7.7 приведены частотные характеристики последовательного контура, кривые построены по формулам

; ; ; .

Кривая тока имеет максимум при резонансной частоте . Если (постоянная ЭДС), ток равен нулю, так как постоянный ток через конденсатор не проходит. Если , тогда и ток в цепи также стремится к нулю.

Напряжение на конденсаторе UС при равно напряжению генератора UГ. Затем, по мере возрастания тока, напряжение UС вначале увеличивается, достигает максимума при частоте , а затем начинает уменьшаться. Максимум напряжения на конденсаторе наступает на частоте, которая меньше резонансной. Это можно показать и аналитически, для этого нужно определить максимум функции UС = UС() из уравнения dUС/d = 0. При этом оказывается, что частота максимального напряжения на конденсаторе рассчитывается пo формуле

Напряжение на катушке индуктивности вначале возрастает, становится равным напряжению на конденсаторе при резонансе, затем достигает максимума на частоте более высокой, чем резонансная частота. Это же можно доказать аналитически, определив максимум функция UL = UL() из уравнения dUL/d = 0.

Частота максимального напряжения на катушке индуктивности может быть рассчитана по формуле

Следует иметь в виду, что .

При неограниченном увеличении частоты UL стремится к напряжению UR.

Кривая определяет сдвиг по фазе между током и приложенным напряжением. При частотах, меньших резонансной, в цепи преобладает емкостное сопротивление и поэтому угол отрицательный, а после резонанса сопротивление L, больше, чем , и поэтому угол станет положительным.

Энергетические соотношения при резонансе

Пусть в последовательном колебательном контуре R, L, С при резонансе ток равен

.

Тогда напряжение на конденсаторе равно

.

Суммарная энергия электрического поля конденсатора и магнитного поля

катушки индуктивности равна

При выводе этих формул учитывалось следующее (при ):

При резонансе суммарный запас энергии магнитного поля и электрического поля не меняется. Происходит перекачка энергии от одного накопителя энергии в другой. Уменьшение энергии электрического поля конденсатора сопровождается увеличением энергии магнитного поля катушки индуктивности и наоборот. Энергия, поступающая от источника питания в любой промежуток времени, целиком переходит в тепло. Поэтому относительно источника питания цепь эквивалентна одному активному сопротивлению. При этом ; .

Добротность. Влияние добротности на резонансные кривые последовательного контура R ,L, С

Любой резонансный контур, в том числе и последовательный принято характеризовать добротностью Q и характеристическим сопротивлением .

Напомним, что в данном случае будем рассматривать определение добротности контура при изменении частоты источника питания.

При резонансе .

Добротность контура определяет кратность превышения напряжения на зажимах индуктивного или емкостного элемента сопротивления при резонансе над напряжением всей цепи U = UR.

В электротехнических и радиотехнических установках добротности могут быть любого порядка, вплоть до десятков тысяч. При больших добротностях (50-500) UL0 >> UR, UR = UВХ = U, т. е. напряжение на индуктивности (или на емкости) во много раз больше приложенного напряжения.

Выясним влияние добротности на резонансные кривые при последовательном соединении

R, L, С. Ток в цепи равен

Относительное значение тока: , т.е. .

Пои выводе этой формулы учитывалось, что .

Иногда вводят понятие относительной частоты .

Тогда предыдущая формула запишется так

Построим резонансные кривые в относительных (по току) единицах (рис. 7.8) для трех добротностей. Рассматривая три резонансные кривые, видим, что чем больше добротность, тем острее получается резонансная кривая. Полоса пропускания контура определяется разностью частот, которые получатся при пересечении резонансной кривой горизонтальной линией на уровне .

Из рис. 7.8 видно, что чем меньше добротность, тем шире полоса пропускания. В радиоприемниках колебательные контуры имеют большие добротности (500-1000), поэтому эти контуры обладают достаточно узкими полосами пропускания, что способствует избирательному радиоприему только одной станции.

Определение добротности по резонансной кривой

На практике резонансные частотные характеристики реальных контуров можно получать, изменяя частоту генератора в определенных пределах и снимая показания вольтаметра, подключенного параллельно резистору (см. рис. 7.9 а). Строят экспериментальную резонансную кривую и по этой кривой определяют полосу пропускания. Выведем соответствующую формулу для расчета добротности по резонансной кривой, снятой экспериментально.

Из рис. 7.9 б следует:

.

В этом равенстве знаменатели равны, поэтому

Отсюда .

Запишем дважды: при и такие выражения; .

После сложения последних выражений получим

или

Отсюда

И далее .

Очень важно: добротность обратно пропорциональна .

Для последовательного контура R, L, С построена резонансная кривая тока при изменении емкости С (рис. 7.10).

Пользуясь этой кривой, определим добротность контура. Выражение для тока

Выполним ряд преобразований последней формулы

;

.

Проведем горизонтальную прямую на уровне .

Отметим значения емкости C1 и С2.

Далее сделаем ряд очевидных выкладок. Выразим добротность Q через значения емкости С1 и С2. Запишем

Найдем сумму и разность ємкостей

Запишем отношение .

Напомним, что добротность контура определяется превышением напряжения на индуктивном (или емкостном) сопротивлении при резонансе над напряжением всей цепи (или напряжением на активном сопротивлении), т. е.

Таким образом,

Кроме этого результата, представляется возможным получить значения параметров катушки индуктивности (L и R)

.

Откуда ; .

Откуда .

Величина емкости С0, при которой наступает резонанс, определится так:

; ; ; .

Откуда .

Резонанс напряжений может наблюдаться в схеме, показанной на рис. 7.11.

Входное сопротивление такой схемы

При резонансе реактивная составляющая входного сопротивления должна быть равна нулю, т. е.

Резонанс в цепи с двумя параллельными ветвями

На рис. 7.12 а (показана схема параллельного соединения двух ветвей R1, L и R2, С. В такой схеме возможен резонанс токов. На рис. 7.12 б показана векторная диаграмма данной схемы в режиме резонанса токов. На диаграмме отмечено, что вектор общего тока совпадает по направлению с вектором приложенного напряжения , т. е. эти векторы совпадают по фазе, что и свойственно режиму резонанса. Входная комплексная проводимость

.

При резонансе токов b = 0, т. е. .

Как видно из последней формулы, резонанс может быть достигнут изменением одной из величин , L, С, R1, R2. Однако этот режим не всегда может быть получен, а именно, когда значение изменяемой величины (при заданных остальные четырех величинах) получается при решении последнего уравнения мнимым или комплексным. Для L и С могут быть получены и по два вещественных значения. В таком случае могут быть получены два резонансных режима.

Решая последнее уравнение относительно а, найдем следующее значение для резонансной частоты

Для получения вещественного значения необходимо, чтобы сопротивления R1 и R2 были оба или меньше или оба больше, чем .

Если R1 = R2 = 0, то (идеальный контур).

Если , то резонанс будет иметь место при любой частоте, так как в этом случае получается неопределённость .

Резонансные кривые параллельного контура

идеального параллельного контура (когда R1 = R2 = 0) резонансная кривая показана на рис. 7.13. При этом и резонансная частота .

Входное сопротивление идеального параллельного контура при резонансе равно бесконечности, , поэтому при резонансной частоте общий ток равен нулю. Однако токи в ветвях и существуют, они одинаковые по модулю и противоположны по фазе (см. рис. 7.12 б).

На рис. 7.14 приведена резонансная кривая реального контура. Эта кривая может быть рассчитала по формуле

А.

Пример 7.1. Для последовательного контура рис. 7.6 а найти: 1) резонансную частоту,

2) -значение тока при резонансе, 3) частоту , при которой будет ,

4) частоту , при которой будет , 5) значение , 6) значение ,

7) добротность контура - Q, 8) полосу пропускания .

Дано: R = 100 Ом, L = 0,2 Гн, C = 1 мкФ, U = 100 мВ.

Решение

Используем результаты § 7.3.

1. .

2. .

3. .

4. .

Находим максимальные значения напряжений на конденсаторе и катушке при частотах и соответственно.

5.

В.

6.

В.

7. По определению добротность контура: .

8. Полосу пропускания найдем, если решим систему

После подстановки численных данных

Подставим это в предыдущее уравнение.

Откуда .

Получим .

Полоса пропускания

Пример 7.2. Для параллельного контура рис. 7.12 а дано:

R1 = 100 Ом; R2 = 200 Ом; L = 0,2 мГн; С = 1 мкФ; Е = 100 В.

Найти: 1) резонансную частоту; 2) реактивные сопротивления xL и xС;

3) токи в ветвях и общий ток при резонансной частоте.

Решение

В начале рассчитаем частоту резонанса по результатам

.

Реактивные сопротивления Ом; Ом

Полные сопротивления ветвей Ом;

Ом.

Токи ветвей А;

А.

Общий ток .

Реактивная составляющая общего тока при резонансе равна нулю.

Пример 7.3. Последовательно-параллельная схема рис. 7.15 находится в режиме резонанса напряжения. Известно, что входное сопротивление цепи на постоянном токе равно 200 Ом. Входное сопротивление цепи при резонансе равно 100 Ом.

1. Найти реактивные сопротивления хL и хC для резонансного режима.

2. Рассчитать комплексные значения всех токов при Е = 200 В.

Решение

Комплексное входное сопротивление

.

Здесь RВХ = 100 Ом, xВХ = 0.

При постоянной ЭДС входное сопротивление - это есть сопротивление резистора.

Стало быть, R = 200 Ом.

1. Имеем два равенства с двумя неизвестными

а) или . Отсюда находим XС = 200 Ом.

б) ; Ом.

2. Общий ток равен А.

По формуле «разброса» токов

А;

А.

Задачи для самостоятельного решения (к главе 7)

1. Для схемы рис. 7.16 в режиме резонанса известны показания приборов: А, А.

Определить показание третьего амперметра.

Ответ: А.

цепь резонанс контур

2. Для схемы рис. 7.17 известны параметры R = 20 Ом; xL = 20 Ом; В.

Схема находится в режиме резонанса.

Определить: xС,., и токи всех ветвях схемы.

Ответ: xС = 10 Ом, Ом, В; А; А; А.

Размещено на Allbest.ru/