где g -- ускорение свободного падения g = 9,81 м/с².

Для определения расхода сплошной среды через замкнутую поверхность удобно пользоваться формулой Гаусса-Остроградского:

где V -- объем пространства, ограниченный замкнутой поверхностью S.

Для определения потока вихря скорости через некоторую поверхность сплошной среды необходимо вычислить циркуляцию Г вектора скорости по замкнутому контуру, используя формулу Стокса:

где S -- поверхность, ограниченная замкнутым контуром I_ABCD (см. рис. 2.2), a dl -- элемент замкнутого контура с заданным направлением обхода.

7. Определение наличия источников и стоков

Одной из важных моделей сплошной среды является абсолютно-упругое тело Гука, т.е. среда, которая полностью восстанавливает свою форму после снятия внешних нагрузок. Под действием внешних сил такое тело деформируется и в нем возникает внутреннее напряжение. Для реальных тел при больших внешних нагрузках возникают такие внутренние напряжения и, соответственно, деформации, при которых начинается разрушение материала. Предель-ные напряжения или допустимые напряжения для различных материалов задаются в справочниках. Поэтому при исследовании механических характеристик упругих тел под воздействием внешних нагрузок важно уметь определять величины максимальных напряжений и деформаций.

Постановка задачи

1 .Упругие постоянные материала -- модуль упругости Е (Н/м²) и коэффициент Пуассона V.

2.Поле перемещений для любой точки U(x,y,z), V(x,y,z), W(x,y,z) (миллиметры).

3. Точка М, положение которой задано единичным вектором

где I, т, п -- направляющие косинусы вектора ОМ или, поскольку

\ОМ\ = 1, координаты точки М.

Необходимо определить деформационное и напряженное состояние материала в точке М и графически изобразить деформации и вектор полного напряжения по наклонной площадке. Данные взять из таблицы 2.2.

Исследование деформированного состояния в точке абсолютного упругого тела

Для определения напряженного состояния тела необходимо по величинам уже известных деформаций определить компоненты тензора напряжений Р и построить вектор полного напряжения, действующего по наклонной площадке, задаваемой единичным вектором ОМ. Компоненты тензора Р вычисляются по формулам обобщенного закона Гука с использованием уже рассчитанных относительных деформаций.

-- нормальные напряжения, действующие перпендикулярно координатным плоскостям yOz, xOz, xOy соответственно. Индекс при о показывает ту координатную ось, которой это напряжение параллельно; вектор положительного нормального напряжения совпадает с положительным направлением внешней нормали к площадке, вектор отрицательного нормального напряжения направлен против внешней нормали;

--касательные к площадке напряжения. Первый индекс в обозначении касательного напряжения соответствует оси, которая является нормалью к плоскости, по которой действует напряжение. Второй индекс обозначает ось, параллельно которой действует касательное напряжение. Размерность напряжений -- Н/м².

Тензорное поле напряжений записывается в виде матрицы с численными значениями элементов:

Компоненты тензора имеют рассчитанные по формулам (2.5), (2.6) числовые значения в точке М.

Наклонная площадка проходит через точку М перпендикулярно вектору

единичной нормали ОМ с направляющими косинусами 1, т, п. Поэтому эта площадка отстоит от начала координат на расстоянии единицы длины и отсекает на координатных осях отрезки соответственно а, Ь, с, которые могут быть вычислены через 1, т, п

следующим образом: а = 1/1 на оси Ox, b = 1/m на оси Оу, с=1/л на оси Oz (рис. 2.2,а).

Если какая-либо из компонент 1, т, п равна нулю, то это означает, что площадка соответствующую ось не пересекает, то есть параллельна ей. Чертеж наклонной площадки выполняется так, как

показано на рис. 2. 2, б. Найдем вектор полного напряжения р_п в точке М на данной наклонной площадке. Для этого вычислим проекции этого вектора через компоненты тензора напряжения (2.7) по формуле:

Вектор полного напряжения а точке М на наклонной поверхности равен:

На чертеже выполнить построение вектора полного напряжения в точке М по его проекциям на оси так, как показано на рис. 2.2. При этом положительные проекции откладываются в выбранном масштабе, в положительном направлении оси отточки М, а отрицательные -- в отрицательном направлении.

Произведем разложение вектора полного напряжения р_п ,в точке М на наклонной площадке на нормальное и касательное напряжения.

Нормальное напряжение о_п равно:

Величина касательного напряжения т_п определяется по формуле:

На рис. 2.3 откладываем в выбранном масштабе положительное нормальное напряжение а_п от точки М в положительную сторону

нормали ОМ , если отрицательно нормальное напряжение о_п -- то

против нормали ОМ . Затем с рис. 2.2 на рис. 2.3 переносится вектор р_n и достраивается параллелограмм напряжений

Таким образом изображается на рисунке вектор касательного напряжения т_n, действующий на наклонной площадке, задаваемой п.

Примечание. Можно координатные оси, наклонную площадку, вектора п, т_n, а_п и р_n выполнять разными цветами или линиями различной толщины. Все построения можно выполнить и на одном чертеже.

Задача №3(2.3)

Заданы проекции вектора напряжения в точке М по наклонной площадке, направляющие косинусы 1, m, n углов единичного вектора внешней нормали к этой площадке .

Требуется:

2. Записать тензор напряжения, если известно, что

1. Найти нормальное и касательное напряжения, действующие по этой площадке. Найти угол между векторами и . Графически изобразить наклонную площадку и векторы , , и .

3. Записать и построить на нужных гранях единичного куба вектор: р_х (для вариантов 61-70), Р_у (для вариантов 71-80), p_z (для вариантов 81-90).

кинематика градиент гидравлический

Тензор напряжения равен:

Обобщенный закон Гука

Теория упругости устанавливает и определяет связь между напряжениями и деформациями, возникающими в материале под действием внешних сил. Эта связь осуществляется с помощью закона Гука.

Для изотропного упругого тела зависимость между деформациями и напряжениями имеет более простую форму.

Пусть прямоугольный параллелепипед вещества с ребрами, равными единице, находится под действием нормальных растягивающих напряжений (см. рис. 5.2)

Опыт показывает, что в области упругих свойств напряжение и деформация пропорциональны между собой, т.е.

(5.12)

где Е -- коэффициент пропорциональности, называемый модулем упругости и являющийся физической характеристикой упругих свойств материала,

Однако, вместе с тем, эксперименты показывают, что удлинение под действием напряжения вдоль оси z приводит к пропорциональному укорочению вдоль двух других осей, т.е. (см. рис. 5.2)

(5.13)

где v -- коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом Пуассона и являющийся физической характеристикой упругих свойств материала, причем 0 < v < 0,5.

Таким образом, при действии нормальных напряжений существуют два коэффициента пропорциональности Е и V.

Рассмотрим суммарную деформацию вдоль оси z от одновременного действия сразу трех нормальных напряжений. Суммарная деформация будет складываться из трех деформаций, получаемых от действия сразу трех напряжений (см. рис. 5.2):

(5.14)

где нижний индекс показывает, вдоль какой оси деформация, а верхний -- от какого напряжения.

От действия напряжения получим деформацию вдоль оси z,

; от напряжения получим; от напряжения получим .

Складывая все составляющие деформации е_г, в (5.14) получим формулу для Ј_ги, рассматривая аналогично для осей х и у, запишем:

Хорошо доказана экспериментально пропорциональность между касательными напряжениями и угловыми деформациями:

где G = -- модуль упругости при сдвиге, он, как минимум в 2 раза меньше, чем Е.

Формулы (5.16) выражают закон Гука при сдвиге.

Все шесть выражений (5.15) и (5.16), определяющих связь между напряжениями и деформациями, носят название обобщенного закона Гука.

Примечание.

1) Из формул (5.15) и (5.16) легко можно выразить величины напряжений через деформации.

2) Формулы закона Гука применимы только в области упругих свойств материала.

Полная система уравнений теории упругости

Для решения задач теории упругости имеется полная система уравнений, которая включает в себя:

1. Три уравнения равновесия, получаемые из уравнений движения сплошной среды (см. (3.26)) при

где F_x об -- проекция объемной силы на ось х.

2. Шесть уравнений Коши связи перемещений и деформаций:

3. Шесть уравнений обобщенного закона Гука связи напряжений и деформаций:

Всего имеем 15 уравнений, при заданных объемных силах, Е и v с пятнадцатью неизвестными:

Для однозначного решения системы в дополнение к системе должны задаваться граничные условия на поверхности тела:

-- на всей поверхности тела заданы поверхностные силы или заданы перемещения;

-- на части поверхности заданы поверхностные силы, а на остальной перемещения.

Примечание. Система уравнений при заданных граничных условиях имеет единственное решение.

Задача 5(4.1)

Тензор напряжений равен:

Тензор деформаций равен:

Задача 6(5)

9.Динамика идеальной и вязкой жидкости

Гидромеханикой называется наука о законах движения жидкости и о применении этих законов для решения технических задач.

Жидкость представляет собой сплошную среду, обладающую свойством текучести.

Текучесть -- свойство сплошной среды изменять свою форму под действием сколь угодно малых сил.

Под действием собственного веса жидкость течет, если ей предоставляется возможность. Ее текучесть ограничивается вязкостью. Все реальные жидкости являются вязкими.

Вязкость -- свойство жидкости сопротивляться сдвигу или скольжению ее слоев относительно друг друга.

В механическом смысле вязкость отвечает за трение в жидкости, т.е. приводит к безвозвратной потере, запасенной в движущейся жидкости механической энергии.

Рассмотрим движение слоя вязкой жидкости в направлении X относительно неподвижной стенки, лежащей в плоскости ZOX

Если построить в масштабе вектора скоростей частиц жидкости, двигающихся в слоях через точки 1+5, и соединить концы векторов плавной линией, то мы получим эпюру скоростей. Согласно гипотезе Ньютона, которая блестяще была подтверждена опытами Кулона, а в 1883 году теоретически обоснована Н.П. Петровым, величина касательного напряжения между слоями пропорциональна градиенту скорости в поперечном направлении:

, где - градиент скорости (элемент тензора скоростей деформаций);

- динамический коэффициент вязкости, являющейся физической характеристикой жидкости.

Динамический коэффициент вязкости имеет следующие размерности: в системе

СИ -; в СГС - или Пуаз (Пз).

Широко используется кинематический коэффициент вязкости:

,

где - плотность жидкости.

Размерность : в системе СИ - ; в СГС - или сток (ст).

Соотношение между единицами вязкости следующее:

Вязкость жидкостей уменьшается с ростом температуры согласно формуле:

где и - вязкость жидкости при температуре Т и Т₀ соответственно; - коэффициент, значение которого для масел колеблется в пределах 0,020,03

Жидкость выдерживает без существенного изменения ее физических свойств большие сжимающие усилия, но неспособна сопротивляться растягивающим усилиям.

Интеграл Бернулли для идеальной жидкости

Для получения уравнения, позволяющего решать технические задачи гидромеханики, получим выражение интеграла Бернулли для элементарной струйки невязкой жидкости. Интеграл Бернулли выражает закон сохранения механической энергии. Рассмотрим следующую модель идеальной жидкости:

Жидкость идеальная, поэтому = 0.

Движение жидкости установившееся:

.

Объемные силы принадлежат потенциальному полю сил, т.е. F_об = grad U, где U -- потенциал поля объемных сил.

Жидкость баротропна, т.е. плотность является функцией давления и существует функция давления, дифференциал которой равен:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рассмотрим линию тока, по которой движется частица жидкости. Перемещение частицы за промежуток времени dt будет равно отрезку

или

Уравнение движения частицы при сделанных выше допущениях будет уравнением Эйлера:

Домножим скалярно левую и правую части уравнения (7.18) на перемещение dl:

Подставив полученные выражения в уравнение, получим:

или

откуда следует, что сумма

является величиной постоянной на данной линии тока, на другой линии тока величина постоянной будет уже другой.

Выражение является интегралом Бернулли. Уравнение представляет собой соотношения между приведенными силами, но, умножив их скалярно на перемещение dl, получили значения приведенных энергий или работ этих сил, сумма которых на линии тока остается постоянной при движении идеальной жидкости по данной линии тока.

Пусть жидкость движется в поле сил тяжести земли, т.е. U = -- gz, где g -- ускорение свободного падения и ось Z направлена от центра земли, а плотность р = const, тогда

Умножив (7.21) на элемент массы dm = pdV, получим:

Выражение в явном виде показывает сумму энергий: кинетическая - энергия сил давления - pdV; энергия поля сил тяжести - dm g я

Уравнение Бернулли в напорах

В гидравлике принято удельную энергию выражать в напорах. Так, разделив на единицу веса частицы dm-g, получим соотношение энергий в метрах, которое называется полным напором в струе:

где - скоростной напор (м), мера кинетической энергии; - пьезометрический напор (м) -- мера энергии сил давления; z -- геометрический напор (м) -- мера энергии поля сил тяжести.

Рассматривая течение идеальной жидкости в трубопроводе, можно записать равенство полных напоров для двух сечений движущейся струи идеальной несжимаемой жидкости:

Выражение представляет собой уравнение Бернулли для идеальной жидкости.

Величины Z, и Z₂ в выражении есть расстояния от центров сечений струи до произвольно выбираемой плоскости, параллельной поверхности земли и называемой плоскостью сравнения.

Добавляя к уравнению Бернулли уравнение неразрывности для неразветвленных трубопроводов:

или

где -- скорости жидкости в сечениях 1 -- 1 и 2 -- 2 соответственно; d,, d₂ -- диаметры сечений трубопровода; Q -- объемный расход жидкости в трубопроводе, мы получаем систему из двух необходимых уравнений для решения задач гидравлики при течении идеальной баротропной жидкости.

Режимы течения. Число рейнолдса

Как уже было сказано ранее, для реальных жидкостей вязкость v Ф О, т.е. имеет место трение, поэтому происходит потеря механической энергии потока при движении жидкости по трубопроводу. Следовательно, использовать уравнение для реальных жидкостей неправомерно.

В 1887 году О. Рейнольдс в опубликованной работе «Вихревое движение жидкости» показал, что существуют два принципиально различных режима течения жидкости. Подкрашивая струи жидкости, Рейнольдс показал, что существует режим движения жидкости (см. рис. а), когда она движется слоями, не перемешиваясь между собой.

Такой режим получил название ламинарного (от латинского слова lamina -- слой).

В другом режиме течения (см. рис. б) подкрашенная струйка двигается по причудливой траектории, дробясь на отдельные части. Этот режим получил название турбулентного (от латинского слова turbulentus -- беспорядочный). Рейнольдсом была введена безразмерная величина, впоследствии получившая его имя. Эта величина является критерием, с помощью которого можно определить характер течения жидкости. Например, для труб круглого сечения

или

где -- средняя скорость потока, определяемая по расходу; d -- диаметр трубы; -- кинематический коэффициент вязкости; -- динамический коэффициент вязкости.

Теоретическое значение числа Рейнольдса, которое соответствует переходу ламинарного потока в турбулентный, равно:

Re_кр=2320.

Так, при Re < Re_Kp -- течение ламинарное, при Re > Re_Kp -- поток турбулентный. Каждый из режимов течения имеет свою эпюру скоростей в сечении потока.

Для ламинарного потока эпюра скоростей представляет собой параболу Пуазейля (см. рис. а)

Для круглой трубы концентрические тонкие слои движутся не перемешиваясь, причем скорость в центре трубы максимальная.

Турбулентный поток (см. рис. б) состоит из тонкого пристеночного слоя, называемого ламинарным подслоем, где скорости движения малы.

Так же из турбулентного ядра, где при хаотичном движении частиц жидкости линейная скорость достаточно велика, а эпюра скоростей близка к прямолинейной, что сближает ее с эпюрой для идеальной жидкости.

Задача №7

Задано установившееся течение идеальной несжимаемой жидкости плотностью р из закрытого бака в атмосферу по горизонтальному трубопроводу переменного сечения (геометрические размеры бака и трубопровода известны). Уровень жидкости h в баке считать постоянным. Абсолютное давление Р_м воздуха над поверхностью жидкости в баке измеряется манометром.

Требуется:

1. Изобразить трубу согласно данным варианта.

2. Построить пьезометрическую линию трубы и определить расход жидкости в трубопроводе.

3. Рассчитать потери напора по длине в участках трубопровода с постоянным сечением, считая жидкость вязкой при скоростях движения жидкости, рассчитанных в п. 2.

4. Сравнить суммарные потери напора с полным напором.

Дано:

, где и

,следовательно, жидкость нельзя считать идеальной, то есть необходимо вести расчеты с учетом вязкости жидкости.

10.Вязкоупругие жидкости

Основными объектами в науке реологии являются вязкоупругие и вязкопластичные материалы, которые обладают одновременно комбинацией вязких, упругих и пластичных свойств. Процессы, протекающие в таких материалах, при механическом воздействии связаны с необратимыми остаточными деформациями вследствие течения материала и упругого последействия. Реологией называется раздел механики сплошных сред, который занимает промежуточное положение между гидродинамикой и теорией упругости. Большое количество полиграфических материалов, таких, как декель, смолы, полимеры, клей и др., относятся к вязкоупругим материалам и являются объектами изучения науки реологии.

Удобно вязкоупругие свойства материала трактовать при помощи наглядных механических моделей. Эти модели строятся из механических элементов, отражающих определенные свойства материала.

Свойство упругости материала моделируется с помощью пружины с модулем упругости Е (см. рис. а), подчиняющейся строго закону Гука.

а) б)

Вязкие свойства материала моделируются с помощью демпфера (см. рис. б) с коэффициентом вязкости, который строго подчиняется законам вязкого трения Ньютона:

где - напряжение на концах модели; - относительное удлинение модели, которое много меньше единицы; - скорость относительной деформации модели; - вязкость материала.

Мы ограничимся лишь одномерными реологическими моделями сплошных сред. Одномерность модели означает, что все упругие и вязкие элементы модели двигаются на схемах параллельно одной оси. Это означает, в частности, что концы произвольных узлов, соединенных между собой параллельно, должны двигаться одинаково, т.е. все вертикальные линии на схемах в процессе движения упругих и вязких элементов будут оставаться вертикальными, а сами элементы, соединенные параллельно, могут располагаться в любом порядке.

Ниже будут получены математические уравнения, описывающие поведение той или иной модели сплошной среды. Хотя решение реологических уравнений и не составляет большой проблемы в век компьютеров, имеется возможность обойтись вообще без решения уравнений. Для этого используется метод механической аналогии: подбираются механические элементы, поведение которых описывается уравнениями, аналогичными уравнениям для упругости и вязкости. Подбирая из механических элементов нужную модель и измеряя прямо на опыте удлинения и силы, делают вывод о поведении сплошных сред в рамках выбранной модели.

Поскольку длина модели в направлении движения может быть произвольной, то для достаточно длинных моделей за некоторый промежуток времени часть упругих и вязких элементов уже сдвинется под действием сил, а другие останутся в прежнем положении, так как волна деформаций до них еще не дошла из-за конечности скорости распространения волн деформации. Поэтому ограничимся рассмотрением случая коротких моделей, т.е. таких моделей, для которых выполняется условие:

где -- время распространения упругих волн деформации вдоль всей длины модели; -- скорость распространения упругих волн деформации вдоль участка модели длины ; -- характерное время для данной модели (если модель характеризуется несколькими характерными временами, то в этом условии будет наименьшее из них).

Физическим следствием этого условия будет то, что для коротких одномерных моделей на все элементы и узлы, соединенные между собой последовательно, будут действовать одинаковые напряжения в один и тот же момент времени. Поэтому порядок расположения элементов и узлов, соединенных последовательно, может быть любым, так как такие «соседи» двигаются независимо друг от друга и смещение одного из них никак не влияет на смещение других.

При изучении составных моделей будем использовать следующие принципы:

При параллельном соединении любых элементов очевидно, что деформации всех элементов одинаковы, а напряжение на концах такой составной модели равно сумме напряжений каждого из элементов (модели одномерные).

При последовательном соединении любых элементов напряжения на элементах одинаковы (модели короткие), а деформация такой составной модели равна сумме деформаций всех элементов.

Основными экспериментами испытания вязкоупругих материалов являются испытания на ползучесть и релаксацию. Эксперимент на ползучесть состоит в мгновенном приложении к образцу напряжения , которое затем остается постоянным, и исследуется деформация модели, как функция времени.

В экспериментах на релаксацию образец подвергается мгновенной деформации , которая затем остается постоянной, в то время как измеряется изменение напряжения, как функция времени.

Модель Максвелла

Последовательное соединение пружины и демпфера

Запишем систему уравнений, отражающую функциональную зависимость деформаций и напряжений в модели Максвелла, считая, что и -- напряжение и деформация в упругом элементе, и ---- в вязком элементе, и -- на всей модели:

Дифференцируя по времени второе и третье уравнение в и подставляя производные деформаций во второе продифференцированное уравнение, с учетом первого, получим дифференциальное уравнение:

которое является реологическим уравнением модели Максвелла. Испытание модели Максвелла на ползучесть.

Начальные условия следующие : при t > 0; а = а₀. Решение дифференциального уравнения при данных начальных условиях будет:

Следовательно, графически вид отклика модели на воздействие будет таким, как показано на графике e(t):

Как видно из рисунка, модель мгновенно реагирует на воздействие, т.е. растягивается на величину , проявляя упругие свойства, и далее монотонно растягивается, причем угол наклона прямой равен .

Видно, что при модель Максвелла превращается в ньютоновскую жидкость, т.е. в чисто вязкий материал, а при в чисто упругий материал.

При испытании модели Максвелла на релаксацию начальными условиями воздействия будут: при t > 0, . Тогда решением уравнения является выражение:

где - постоянная модель Максвелла, имеющая размерность времени (сек).

Постоянная 0 называется временем релаксации, которая показывает, за какое время величина отклика уменьшится в е раз.

Графики воздействия и отклика модели показаны на рисунке.

Задача №8

Дано:

1.)

Модель Фойгта

Параллельное соединение вязкого и упругого элементов.

Система уравнений связи деформаций и напряжений для модели Фойгта имеет вид:

Подставляя третье и четвертое уравнения во второе, с учетом первого уравнения, получим:

Выражение есть дифференциальное уравнение связи деформаций и напряжений в модели Фойгта. Материал, подчиняющийся данной модели, ведет себя совсем иначе, чем модель Максвелла.

При испытании на ползучесть, т.е. при задании воздействия t > 0, , решением уравнения будет:

где -постоянная модель Фойгта, имеющая размерность времени.

Однако в данном случае, являясь физической характеристикой модели, характеризует время запаздывания модели на внешнее воздействие. Графики воздействия и отклика модели Фойгта при испытании на ползучесть представлены на рисунке:

При испытании модели Фойгта на релаксацию напряжений в начальный момент времени необходимо мгновенно растянуть модель на величину е₀. Однако воссоздать такой режим воздействия невозможно, т.к. слагаемое в уравнении при ступенчатом воздействии должно принимать бесконечно большое значение. Поэтому в модели Фойгта напряжение не релаксирует

Задача №9

Дано:

Пусть , где , тогда

Модель Кельвина

Приведенные выше модели можно усложнить, добавив третий элемент -- упругий элемент к модели Фойгта. Такая модель вязко-упругой среды называется моделью Кельвина

Система уравнений связи деформаций и напряжений на концах модели Кельвина имеет следующий вид:

где-- деформация и напряжение на модели Фойгта. Исключая из уравнений получим

Уравнение можно привести к виду:

Решением реологического уравнения модели Кельвина при испытании на ползучесть, т.е. при t > 0, , будет:

Решением при испытании на релаксацию напряжений, т.е. при t > 0, е = е₀, является:

Графики воздействия и откликов модели Кельвина представлены на рисунках.

Как видно из анализа вышеприведенных простейших моделей Максвелла, Фойгта и Кельвина, различные комбинации упругого и вязкого элементов позволяют по разному смоделировать истинное поведение вязкоупругих материалов, и варьируя в дальнейшем вязкими и упругими Е -- свойствами, подобрать их оптимальными для требуемых условий. Например, получив из экспериментов постоянную времени релаксации материала бумаги, можно оценить скорость печати, чтобы материал бумаги успевал полностью восстановить свою форму перед новым циклом печати.

Задача №10

Дано: ;

Размещено на Allbest.ru