Переходные процессы в цепях с сосредоточенными параметрами

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Переходные процессы в цепях с сосредоточенными параметрами

Задание

Найти переходный ток на входе цепи второго порядка, изображенной на схеме, и построить график его изменения в функции времени. ЭДС источника задана в виде

Примечание:

Принужденную составляющую тока рекомендуется найти методом комплексных амплитуд (т.е. символическим методом), а свободную - операторным.

Если наибольшее значение свободной составляющей окажется несоизмеримо малым по сравнению с амплитудой принужденной составляющей, то допускается раздельное построение этих составляющих на чертеже в разных масштабах (без суммирования).

Исходные данные

n=1 - порядковый номер в группе;

k=1 - номер группы (без первой цифры);

ENT(x) - целая часть числа x;

- номер схемы;

- номер строки параметров;

Параметры:

1. Расчет принужденной составляющей

В соответствии с рекомендациями расчет принужденной составляющей входного тока будем осуществлять методом комплексных амплитуд.

Комплексная схема замещения для момента времени будет иметь вид:

Принуждённую составляющую входного тока можно определить следующим образом:

По правилу делителя токов:

Тогда ток найдём по 1-му закону Кирхгофа:

Напряжение на конденсаторe

Мгновенные значения токов:

Мгновенное значение напряжения на конденсаторе:

2. Расчёт режима работы цепи до коммутации

Комплексная схема замещения для момента времени будет иметь вид:

Напряжение на конденсаторе:

Mгновенные значения:

3. Определение независимых начальных условий

В соответствии с 1-ым законом коммутации ток через индуктивный элемент L непосредственно до коммутации равен току через этот же индуктивный элемент непосредственно после коммутации .

Из этого следует:

В соответствии со 2-ым законом коммутации напряжение на конденсаторе C непосредственно до коммутации равно напряжению на этом же конденсаторе непосредственно после коммутации . Из этого следует:

ток коммутация амплитуда переходный

4. Определение свободных составляющих независимых начальных условий

Напряжение на конденсаторе в любой момент времени переходного процесса представляет собой сумму принужденной и свободной составляющих. В частности в момент времени :

:

Аналогично для тока через индуктивный элемент:

Значение свободной составляющей тока в момент времени равно:

5. Определение свободных составляющих операторным методом

Для определения свободной составляющей перейдём к операторной схеме замещения. Катушка индуктивности заменяется последовательно соединенными сопротивлением и источником ЭДС, значение которого равно . Конденсатор заменяется последовательно соединёнными сопротивлением и источником ЭДС, значение которого равно . Источник переменного напряжения заменим на его внутреннее сопротивление, т.е. закоротим.

Таким образом, операторная схема замещения имеет вид:

Рассчитаем схему методом узловых потенциалов.

Примем потенциал узла 0 за ноль: . Тогда:

Согласно закону Ома изображение входного тока равно:

6. Определение оригинала свободной составляющей входного тока

Согласно теореме разложения, если операторную функцию можно представить в виде отношения двух многочленов (причём многочлен имеет больший порядок, чем многочлен ), то изображение для этой функции можно определить следующим образом:

Где - корни уравнения .

В нашем случае:

Так как многочлен второго порядка, то свободная составляющая входного тока будет представлять особую сумму двух затухающих экспонент (при условии действительных разных корней уравнения ).

В результате решения уравнения получаем:

Найдём производную многочлена в знаменателе:

Вычислим:

Тогда оригинал свободной составляющей входного тока имеет вид:

7. Графики переходного тока

Входной ток можно представить как сумму принуждённой и свободной составляющих:

Построим графики каждой из составляющих и полного тока:

8. Проверка решения

1) Найдём входное сопротивление операторной схемы замещения. Предварительно заменим источники питания в схеме на их внутреннее сопротивление, которое равно 0. В этом случае выражение для входного сопротивления будет иметь вид:

Решив уравнение , получаем:

Как видно эти значения полностью соответствуют значениям, полученным в пункте 5 для уравнения .

2) Значение входного тока в момент коммутации совпадает со значением полного тока при t=0:

Размещено на Allbest.ru