Застосування подвійних інтегралів до геометричних і фізичних задач. Обчислення інтеграла Пуассона
Застосування подвійних інтегралів до задач механіки. Визначення маси пластинки. Статичні моменти і центр ваги, її моменти інерції. Обчислення маси неоднорідної пластинки, обмеженої різними лініями. Інтеграл Пуассона, його аналіз та характеристика.
Рубрика | Физика и энергетика |
Вид | лекция |
Язык | украинский |
Дата добавления | 08.11.2017 |
Размер файла | 90,5 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Пошукова робота на тему:
Застосування подвійних інтегралів до геометричних і фізичних задач. Обчислення інтеграла Пуассона
План
1. Застосування подвійних інтегралів до задач механіки
2. Статичні моменти і центр ваги пластинки
3. Моменти інерції пластинки
4. Інтеграл Пуассона
1. Застосування подвійних інтегралів до задач механіки
інтеграл механіка пластинка пуассон
Визначення маси пластинки. Нехай тонка пластинка розміщена в площині і займає область . Товщину пластинки вважаємо настільки малою, що зміною густини та товщиною можна знехтувати.
Поверхневою густиною такої пластинки в даній точці називається границя відношення маси площадки до її площі за умови, що площадка стягується до даної точки.
Означена таким чином поверхнева густина залежатиме тільки від розміщення точки, тобто вона буде функцією її координат: . Знайдемо масу неоднорідної пластинки. Для цього розіб'ємо область , яку займає пластинка, на частинні області з площадками (рис. 11.16). Вибираємо в кожній області довільну точку і вважаємо, що густина в усіх точках елементарної області стала і дорівнює густині у вибраній точці. Тоді для маси пластинки можна скласти приблизний вираз у вигляді інтегральної суми.
.
Переходячи до границі за умови, що і кожна елементарна область стягується в точку, дістаємо формулу для обчислення маси пластинки:
. (11.29)
Рис.11.16
2. Статичні моменти і центр ваги пластинки
Перейдемо до обчислення статичних моментів пластинки відносно осей координат. Якщо зосередити в точках маси відповідних елементарних областей, то статичні моменти отриманої системи матеріальних точок можна записати так:
, .
Переходячи до границі за звичайних умов і замінюючи інтегральні суми інтегралами, матимемо
,
. (11.30)
Як і у випадку означеного інтеграла, знаходимо координати центра ваги пластинки:
,
. (11.31)
3. Моменти інерції пластинки
Моментом інерції матеріальної точки масою відносно якої-небудь осі називається добуток маси на квадрат відстані точки від цієї осі.
Метод складання виразів для моментів інерції пластинки відносно осей координат такий самий , як і для обчислення статичних моментів. Тому наведемо лише формули для моментів інерції відносно координатних осей:
, (11.32)
Рис.11.17 Рис.11.18
Зазначимо, що інтеграл називається центробіжним моментом інерції; він позначається .
У механіці розглядається полярний момент інерції точки, що дорівнює добутку маси точки на квадрат її відстані до даної точки -полюса. Полярний момент інерції пластинки відносно початку координат визначається за формулою
. (11.33)
Отже , очевидно,.
Приклад 1. Обчислити масу неоднорідної пластинки, обмеженої лініями якщо поверхнева густина розподілу мас
Р о з в ` я з о к. За формулою (11.29) знаходимо (рис. 11.17):
Приклад 2. Знайти момент інерції площі, обмеженої параболою, прямою і віссю (11.18).
Р о з в ` я з о к. Центральний момент інерції обчислюємо за формулою (11.33)
.
4. Інтеграл Пуассона
Обчислимо інтеграл Цей інтеграл називається інтегралом Пуассона.
Розглянемо подвійний інтеграл
де область інтегрування є круг
Перейшовши до полярних координат одержимо
Якщо тепер необмежено збільшувати радіус тобто необмежено розширяти область інтегрування, то одержимо невласний подвійний інтеграл:
Можна показати, що інтеграл прямує до границі якщо область довільної форми розширюється на всю площину.
Якщо , зокрема, область квадрат зі стороною і центром в початку координат, то
Тоді
і
(11.34)
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Особливості застосування систем координат при розв'язувані фізичних задач. Електричні заряди як фізичні джерела електричного поля. Способи обчислення довжин, площ та об'ємів. Аналіз та характеристика видів систем координат: циліндрична, сферична.
дипломная работа [679,2 K], добавлен 16.12.2012Апробація нової навчальної програми. Класифікація фізичних задач. Розв’язування задач на побудову зображень, що дає тонка лінза, застосування формули тонкої лінзи, використання алгоритмів, навчальних фізичних парадоксів, експериментальних задач.
научная работа [28,9 K], добавлен 29.11.2008Експериментальні й теоретичні дослідження, винаходи, найвидатніші досягнення українських фізиків в галузі квантової механіки та інших напрямів. Застосування понять цієї науки для з’ясування природи різних фізичних механізмів. Основні наукові праці вчених.
презентация [173,7 K], добавлен 20.03.2014Принцип можливих переміщень і загальне рівняння механіки. Принцип Даламбера і методика розв’язування задач. Розв’язування задач за принципом можливих переміщень. Приклади розв’язування задач. Система матеріальних точок або тіл. Число степенів вільності.
курсовая работа [179,6 K], добавлен 12.03.2009Сложение двух когерентных световых волн, поляризованных в двух взаимноперпендикулярных направлениях. Рассмотрение частного случая поляризации света. Обнаружение эллиптически- и циркулярно-поляризованного света. Пластинки для компенсации разности фаз.
курсовая работа [1,2 M], добавлен 13.04.2012Золоте правило механіки, плоскість похилої, важіль і їх використання в машинах. Застосування клина для з'єднання окремих деталей і частин механізму в єдине ціле. Коефіцієнт корисної дії. Опір жорсткості канатів і ланцюгів в передачах з гнучкими ланками.
реферат [4,0 M], добавлен 29.03.2011Фізична сутність консервативних і неконсервативних сил в макроскопічній механіці. Обчислення роботи сили тяжіння. Природа гіроскопічних сил. Наслідки дії Коріолісової сили інерції. Модель деформації жорсткої штанги. Прецесійний рух осі гіроскопа.
курсовая работа [1,8 M], добавлен 24.09.2012Експериментальна перевірка законів кінематики й динаміки поступального руху. Головне призначення та функції машини Атвуда. Виведення формули для шляху при довільному русі. Визначення натягу нитки при рівноприскореному русі. Розрахунки маси і ваги тіла.
лабораторная работа [71,6 K], добавлен 29.09.2011Закон збереження імпульсу, робота сили та потужність. Кінетична та потенціальна енергія, закон збереження механічної енергії. Елементи кінематики обертового руху та його динаміка. Моменти сили, інерції, імпульсу. Поняття про гіроскопічний ефект.
курс лекций [837,7 K], добавлен 23.01.2010Особенности определения плотности материала пластинки, анализ расчета погрешности прямых и косвенных измерений. Основные виды погрешностей: систематические, случайные, погрешности округления и промахи. Погрешности при прямых и косвенных измерениях.
контрольная работа [119,5 K], добавлен 14.04.2014