Процессы диффузии и дрейфа в полупроводниках

Размещено на http://www.allbest.ru/

План

Введение

1. Уравнение непрерывности

2. Диффузионный и дрейфовый токи

3. Соотношение Эйнштейна

4. Диффузия и дрейф неравновесных носителей заряда в случае монополярной проводимости

5. Диффузия и дрейф неосновных избыточных носителей заряда в примесном полупроводнике

6. Диффузия и дрейф неравновесных носителей заряда в полупроводнике с проводимостью, близкой к собственной

Введение

Исторические сведения

Полупроводники как особый класс веществ, были известны еще с конца XIX века, только развитие теории твердого тела позволила понять их особенность задолго до этого были обнаружены:

1. эффект выпрямления тока на контакте металл-полупроводник

фотопроводимость.

Были построены первые приборы на их основе.

О. В. Лосев (1923) доказал возможность использования контактов полупроводник-металл для усиления и генерации колебаний (кристаллический детектор). Однако в последующие годы кристаллические детекторы были вытеснены электронными лампами и лишь в начале 50 - х годов с открытием транзисторов (США 1949 год) началось широкое применение полупроводников (главным образом германия и кремния в радиоэлектронике. Одновременно началось интенсивное изучение свойств полупроводников, чему способствовало совершенствование методов очистки кристаллов и их легированию (введение в полупроводник определенных примесей). В СССР изучение полупроводников начались в конце 20 - х годов под руководством А.Ф. Иоффе в Физико-техническом институте АН СССР. Интерес к оптическим свойствам полупроводников возрос в связи с открытием вынужденного излучения в полупроводниках, что привело к созданию полупроводниковых лазеров вначале на p - n - переходе, а затем на гетеропереходах.

В последнее время большее распространение получили приборы, основанные на действии полупроводников. Эти вещества стали изучать сравнительно недавно, однако без них уже не может обойтись ни современная электроника, ни медицина, ни многие другие науки.

Свойства полупроводников

Полупроводники - широкий класс веществ, характеризующийся значениями удельной электропроводности , лежащей в диапазоне между удельной электропроводностью металлов и хороших диэлектриков, то есть эти вещества не могут быть отнесены как к диэлектрикам (так как не являются хорошими изоляторами), так и к металлам (не являются хорошими проводниками электрического тока). К полупроводникам, например, относят такие вещества как германий, кремний, селен, теллур, а также некоторые оксиды, сульфиды и сплавы металлов. Полупроводники долгое время не привлекали особого внимания ученых и инженеров. Одним из первых начал систематические исследования физических свойств полупроводников выдающийся советский физик Абрам Федорович Иоффе. Он выяснил что полупроводники - особый класс кристаллов со многими замечательными свойствами:

1) С повышением температуры удельное сопротивление полупроводников уменьшается, в отличие от металлов, у которых удельное сопротивление с повышением температуры увеличивается. Причем как правило в широком интервале температур возрастание это происходит экспоненционально:

= _оexp (-a / kT )

где а - так называемая энергия активации проводимости,

_о - коэффициент зависящий от температуры

Удельное сопротивление полупроводниковых кристаллов может также уменьшатся при воздействии света или сильных электронных полей.

2) Свойство односторонней проводимости контакта двух полупроводников. Именно это свойство используется при создании разнообразных полупроводниковых приборов: диодов, транзисторов, тиристоров и др.

3) Контакты различных полупроводников в определенных условиях при освещении или нагревании являются источниками фото -э.д.с. или, соответственно, термо -э.д.с.

Строение полупроводников и принцип их действия.

Как было уже сказано, полупроводники представляют собой особый класс кристаллов. Валентные электроны образуют правильные ковалентные связи. Такой идеальный полупроводник совершенно не проводит электрического тока (при отсутствии освещения и радиационного облучения). Так же как и в непроводниках электроны в полупроводниках связаны с атомами, однако данная связь очень непрочная. При повышении температуры ( T > 0 K) ,освещении или облучении электронные связи могут разрываться, что приведет к отрыву электрона от атома. Такой электрон является носителем тока. Чем выше температура полупроводника, тем выше концентрация электронов проводимости, следовательно, тем меньше удельное сопротивление. Таким образом, уменьшение сопротивления полупроводников при нагревании обусловлено увеличением концентрации носителей тока в нем. В отличии от проводников носителями тока в полупроводниковых веществах могут быть не только электроны , но и «дырки» . При потере электрона одним из атомов полупроводника на его орбите остается пустое место-«дырка» при воздействии электрическим поле на кристалл «дырка » как положительный заряд перемещается в сторону вектора E, что фактически происходит благодаря разрыву одних связей и восстановление других. «Дырку» условно можно считать частицей , несущей положительный заряд. полупроводник диффузия дрейф заряд

Примесная проводимость.

Один и тот же полупроводник обладает либо электронной ,либо дырочной проводимостью - это зависит от химического состава введенных примесей. Примеси оказывают сильное воздействие на электропроводимость полупроводников: так, например , тысячные доли процентов примесей могут в сотни тысяч раз уменьшить их сопротивление . Этот факт, с одной стороны , указывает на возможность изменение свойств полупроводников, с другой стороны, он свидетельствует о трудностях технологии при изготовлении полупроводниковых материалов с заданными характеристиками.

Рассматривая механизм влияния примесей на электропроводимость полупроводников, следует рассматривать два случая:

Электронная проводимость .

Добавка в германий примесей, богатых электронами , например мышьяка или сурьмы , позволяет получить полупроводник с электронной проводимостью или полупроводник n - типа ( от латинского слова «негативус» - «отрицательный»).

Примеси создающие такую электропроводимсть называют донорнями.

Дырочная проводимость

Добавка в тот же германий алюминия, галлия или индия создает в кристалле избыток дырок. Тогда полупроводник будет обладать дырочной проводимостью - полупроводник p - типа.

Дырочная примесная электропроводимость создется атомами имеющими меньшее количество валентных электронов, чем основные атомы. Подобные примеси называются акцепторными.

Жидкие полупроводники

Плавление многих кристалических полупроводников сопроводается резким увеличением их электропроводности Q до значений типичныхдля металлов. Однако для ряда полупроводников (например HgSe, HgTe и. т. д.) характерно сохранение или уменьшение Q при плавлении и сохранение полупроводниками характера температурной зависимости Q. Некоторые Жидкие полупроводники при дальнейшем повышении температуры теряют полупроводниковые свойства и приобретают металлические (например сплавы Te - Se, ботатые Te). Сплавы же Te - Se, богатые Se ведут себя иначе, их электропроводность имеет чисто полупроводниковый характер.

В Жидких полупроводниках роль запрещенной зоны играет область энергии вблизи минимума плотности состояний в энергетическом спектре электронов.

При достаточно глубоком минимуме в его окрестности появляется зона почти локализованных состояний носителей зарядов с малой подвижностью (псевдощель). Если при повышении температуры происходит «схлопывание» псевдощелей, жидкий полупроводник превращается в металл.

Использование полупроводников.

Наиболее важные для техники полупроводниковые приборы - диоды, транзисторы, тиристоры основаны на использовании замечательных материалов с электронной или дырочной проводимостью.

Широкое применение полупроводников началось сравнительно недавно, а сейчас они получили очень широкое применение. Они преобразуют световую и тепловую энергию в электрическую и, наоборот, с помощью электричества создают тепло и холод. Полупроводниковые приборы можно встретить в обычном радиоприемнике и в квантовом генераторе - лазере, в крошечной атомной батарее и в микропроцессорах.

Инженеры не могут обходиться без полупроводниковых выпрямителей, переключателей и усилителей. Замена ламповой аппаратуры полупроводниковой позволила в десятки раз уменьшить габариты и массу электронных устройств, снизить потребляемую ими мощность и резко увеличить надежность.

1. Уравнение непрерывности

Рассмотрим полупроводник, в котором в результате воздействия каких-либо внешних возбуждающих факторов возникли неравновесные носители заряда. В этом случае концентрации неравновесных электронов и дырок являются функциями пространственных координат и времени п (х, у, z, t) и р (х, у, z, t) и скорости их изменения могут быть выражены с помощью уравнения непрерывности.

Вывод уравнения непрерывности проведем для одномерного однородного образца, в котором концентрация электронов изменяется только в направлении оси х, как это представлено на рис.1. Выделим в полупроводнике слой толщиной dx и сечением 1 см². Объем этого слоя будет численно равен dx. Допустим, что в момент времени t концентрация электронов была п (х, t), в объеме dx соответственно п (х, t) dx, а в момент времени t + dt будет п (х, t + dt) dx и изменение концентрации электронов за время dt в объеме dx составит:

п(х, t + dt)dx -- n(x, t)dx=dxdt.

Это изменение концентрации электронов может происходить в результате процессов генерации, рекомбинации, диффузии и дрейфа носителей заряда. Рассмотрим эти процессы.

1. Под процессами генерации понимаются все

механизмы, посредством которых электроны,

находящиеся в валентной зоне, на уровнях примеси

или уровнях прилипания, могут

быть переведены в зону проводимости.

Во всех этих случаях нужно учитывать генерацию

свободных носителей заряда в результате, как

тепловых процессов, так и внешних воздействий. К внешним воздействиям относятся: действие света, ядерных частиц неравновесного излучения, испускаемого самим полупроводником, в его объеме, и т.п. Обозначим скорость этих двух

типов генерации соответственно через G₀ и G. Тогда полная скорость генерации носителей заряда будет равна G₀ + G.

Будем считать, что в рассматриваемом случае возбуждение электронов происходит за счет поглощения света полупроводником и в 1 см³ за 1 с возникает G пар электрон--дырка. Тогда в объеме dx за время dt будет создано электронов в количестве Gdxdt.

2. Изменение концентрации носителей заряда в объеме dx происходит также и в результате рекомбинации. Полную скорость рекомбинации можно представить в виде R₀ + R, где R₀ -- скорость рекомбинации при тепловом равновесии, R -- скорость рекомбинации при наличии внешнего воздействия. В случае линейной рекомбинации, когда время жизни неравновесных электронов t_n не зависит от концентрации электронов, изменение количества электронов вследствие рекомбинации R в объеме dx за время dt составит:

Rdxdt = -()_r dxdt=dxdt

3. Изменение количества носителей заряда в объеме dx может быть обусловлено, кроме того, процессами диффузии и дрейфа. Если I_п (х, t) -- поток электронов, проходящих через 1 см² поверхности за 1 с, то за время dt через границу слоя х в объем dx войдут электроны в количестве I_n (х, t) dt, a через границу х + dx выйдет I_n (х + dx, t) dt электронов. Следовательно, изменение числа электронов за время dt в объеме dx вследствие разности этих потоков будет

I_п (х, t) dt -- I_n(x + dx, t)dt =-- dx dt

Полное изменение концентрации электронов в объеме dx за время dt составит величину

dxdt=Gdxdt - dxdt - dxdt

Откуда имеем:

=G - - (1)

Уравнение (1) называют уравнением непрерывности для электронов.

Аналогично уравнение непрерывности для дырок запишется в виде

= G - -

Потоки электронов I_n и дырок I_Р можно выразить через плотности тока, которые с учетом знака носителя равны:

J_n = -eI_n

J_p = eI_p

Когда концентрации носителей заряда являются функциями координат (х, у, z), уравнения непрерывности запишутся через соответствующие плотности токов следующим образом:

= G + div J_n -

= G - div J_p - , где

div J = + +

Пусть в точке х = 0 имеется источник неравновесных носителей заряда. Рассмотрим стационарный случай. Поскольку концентрации электронов п и дырок р не изменяются во времени, т. е. dn/dt = dp/dt = 0, то уравнения непрерывности в одномерном случае принимают вид:

- = G - (2)

= G - (3)

Уравнения (2) и (3) выражают собой условия сохранения количества носителей заряда. Следовательно, в стационарном состоянии поток носителей заряда, вытекающих из объема, равен количеству носителей заряда, созданных внешним возбуждением, за вычетом носителей заряда, прорекомбинировавших в этом объеме.

2. Диффузионный и дрейфовый токи

Рассмотрим теперь неоднородный полупроводник, в котором концентрации электронов п(r) и дырок р(r) изменяются от точки к точке. По этой причине в неоднородном полупроводнике должен возникнуть диффузионный ток электронов и дырок, который будет определяться диффузией носителей заряда из областей, где их концентрация больше, в области с меньшей концентрацией. Предположим, что в полупроводнике концентрация носителей заряда возрастает в направлении оси х, как это изображено на рис. 2. Проведем через точку х плоскость, перпендикулярную оси х, и рассмотрим движение носителей заряда в слоях 1 и 2 толщиной dx, расположенных - справа и слева от этой плоскости. В результате хаотического движения носители заряда уйдут из слоя 1, но поскольку каждый электрон может с равной вероятностью двигаться вправо и влево, половина их уйдет из слоя 1 в слой 2. Однако за это время в слой 1 придут носители заряда из слоя 2. Так как их количество в слое 2 больше, чем в 1, то обратный поток электронов будет больше прямого. Если п(х - dx/2) -- средняя концентрация электронов в слое 1, а п(x + dx/2) в слое 2, то разность концентрации электронов в этих слоях будет равна:

n(x - dx/2) - n(x + dx/2) = - dx (4)

Согласно (4) разность концентраций электронов пропорциональна градиенту их концентрации, поэтому и поток электронов I_n возникающий в результате их диффузии в направлении х, будет пропорционален градиенту концентрации электронов в этом направлении. Его можно записать

I_n = - D_n (5)

где D_n -- коэффициент диффузии электронов.

Аналогично диффузионный поток дырок

I_p = - D_p (6)

где D_p -- коэффициент диффузии дырок.

Потоки электронов и дырок, как следует из уравнений (5) и (6), текут в сторону меньших концентраций носителей заряда.

Диффузионным потоком носителей заряда соответствуют диффузионные токи электронов J_{n диф} и дырок J_{p диф}

J_{n диф} = eD_n

J_{p диф} = eD_p

В том случае, если пир являются функциями координат (х, у, z), диффузионный ток в векторной форме имеет вид для электронов

J_{n диф} = eD_ngrad n(r)

и для дырок:

J_{p диф} = - eD_pgrad p(r)

Диффузионный ток, возникший из-за наличия градиента концентрации носителей заряда, приведет к пространственному разделению зарядов, что вызовет появление статического электрического поля, которое создаст дрейфовые токи электронов и дырок. При термодинамическом равновесии в каждой точке полупроводника дрейфовый ток будет уравновешивать диффузионный ток, поэтому суммарный ток будет равен нулю.

Допустим, что неоднородный полупроводник находится во внешнем постоянном электрическом поле напряженностью E. Под действием этого поля электроны и дырки приобретут направленное движение, в результате чего появятся электронные и дырочные токи проводимости. Если внешнее электрическое поле слабое и не изменяет характера движения носителей заряда, то дрейфовые составляющие плотности тока запишутся на основании закона Ома в виде

J_{n др} = enm_nE

J_{n др} = enm_nE

Полный ток будет складываться из диффузионного и дрейфового токов. Для электронов и дырок он будет равен:

J_n = J_{n др} + J_{n диф} = enm_nE +eD_n (7)

J_p = J_{p др} + J_{p диф} = epm_pE - eD_p (8)

Таким образом, плотность общего тока J в любой точке не однородного полупроводника в любой момент времени будет определяться уравнением

J = J _n + J _p = e(nm_n + pm_p)E + e(D_n - D_p)

Необходимо отметить, что диффузионный ток существенен только в полупроводниках. Это происходит потому, что в полупроводниках концентрации электронов и дырок могут изменяться в широких пределах при постоянной суммарной концентрации зарядов. В металлах концентрация электронов практически постоянна.

3. Соотношение Эйнштейна

В неоднородном полупроводнике при термодинамическом равновесии ток равен нулю, т. е. J = J_n + J_p = 0. В этом случае токи проводимости уравновешивают диффузионные токи и на основании (7) для электронов можно записать:

nm_nE_ст = - D_n (9)

Поскольку в полупроводнике имеется статическое электрическое поле E_СТ, то электроны, находящиеся в, этом поле, будут обладать потенциальной энергией U = -ef. Поэтому при отсутствии вырождения концентрация электронов в зоне проводимости будет удовлетворять соотношению Больцмана вида.

n = N_ce ^{- (Eс + U - F)/kT} = n₀e^{ef / kT}

где n₀ = N_ce ^{- (Eс + U - F)/kT} -- равновесная концентрация электронов; f -- электростатический потенциал.

Учитывая, что E_ст = - , и подставляя значения п и в уравнение (9), получаем:

- m_nn₀e ^{ef / kT} = -D_n e ^{ef / kT}

откуда для электронов будем иметь:

=

аналогично для дырок

=

Уравнение, связывающее коэффициент диффузии носителей заряда, подчиняющихся статистике Максвелла, с их дрейфовой подвижностью в условиях термодинамического равновесия носит название соотношения Эйнштейна.

Как показал эксперимент, соотношение Эйнштейна применимо и к неравновесным носителям заряда. Это вполне закономерно, так как неравновесные носители заряда за малое время, намного меньше их времени жизни, обмениваясь энергией с решеткой, приходят в тепловое равновесие с решеткой, и их распределение по энергиям при отсутствии вырождения не отличается oт распределения равновесных носителей заряда.

4. Диффузия и дрейф неравновесных носителей заряда в случае монополярной проводимости

Рассмотрим диффузию и дрейф неравновесных носителей заряда в случае монополярной проводимости, когда свободные носители заряда возникают только в результате возбуждения их с уровней примеси. Предположим, что часть достаточно длинного однородного полупроводника, например n-типа, освещается слабопоглощающимся светом. В освещенной части, полупроводника при х < 0 (рис. 3, а) имеет место однородная генерация электронов, в результате перевода их светом с донорных уровней в зону проводимости. В этом случае концентрация неравновесных электронов n определяется концентрацией равновесных n₀ и избыточных электронов n, возбужденных с уровней донорной примеси. И если нет центров захвата, то число избыточных электронов Dn равно количеству положительных ионов донорной примеси DN⁺_d, т. е.

Dn = DN⁺_d.

Это равенство выражает собой условие электронейтральности в случае монополярной проводимости.

Поскольку концентрация электронов в освещенной части образца больше, чем в неосвещенной, то неравновесные электроны из освещенной части образца будут диффундировать в неосвещенную (рис. 3, б). Вследствие этого нарушится электронейтральность в некоторой области полупроводника и возникнет объемный заряд, а, следовательно, и электрическое поле. В неосвещенной части образца, куда в результате диффузии пришли избыточные электроны, объемный заряд r будет отрицательным, а в освещенной области, откуда они ушли, -- положительным, обусловленным ионами донорной примеси (рис. 3, в). Эти заряды создадут статическое электрическое поле напряженностью E_ст, направленное так, что оно будет препятствовать диффузии неравновесных электронов (рис.3,г). Таким образом, возникновение диффузионного тока J_диф=eD_ndn/dx приводит к появлению статического электрического поля напряженностью E_ст, а следовательно, и тока проводимости J_пр=enm_nE_CT, направленного против тока диффузии. В стационарном состоянии плотность полного тока равна нулю:

J = J _др + J _диф = enm_nE _ст + eD_n =0 (10)

Из (10) можно определить напряженность статического электрического поля. Расчет E_ст проведем для случая малого уровня оптического возбуждения, когда концентрация избыточных электронов мала по сравнению с равновесной, т. е. Dn n n₀. Используя соотношение Эйнштейна, будем иметь:

E _ст = - = - - (11)

Продифференцировав (11), получим:

dE_ст /dx = - (12)

Величину dE_ст /dx можно найти, воспользовавшись уравнением Пуассона:

dE_ст /dx = (13)

где r = - еDn -- объемный заряд в неосвещенной части образца. Из равенств (12) и (13) следует, что

(14)

если ввести величину

(15)

то (13) запишется следующим образом:

Общее решение этого уравнения имеет вид:

Dn = C₁e^a1x + C₂e^a2x

где С₁ и С₂ -- постоянные, определяемые из граничных условий; a₁, a₂ -- корни характеристического уравнения, равные:

;

Для неосвещенной области полупроводника, в которой концентрация избыточных электронов уменьшается по мере удаления от освещенной части образца, имеет смысл только член решения с отрицательным показателем степени, поэтому

Dn = Dn(0)e^{-x / lэ} (16)

Таким образом, в случае монополярной проводимости концентрация избыточных носителей заряда в неосвещенной части образца по мере удаления от освещенной области уменьшается по экспоненциальному закону с постоянной спада l_э, называемой радиусом (длиной) экранирования или дебаевским радиусом. Длина экранирования, как следует из (15), зависит от концентрации основных носителей заряда, поэтому ее значение может изменяться в широких пределах в зависимости от удельной проводимости полупроводника. Например, для невырожденных полупроводников, таких как германий и кремний, радиус экранирования в зависимости от степени легирования может составлять 10^-4 -- 10^-6 см.

Объемный заряд, введенный в полупроводник, после выключения возбуждающего света в результате тока проводимости существует в среднем в течение времени t_m , т. е.

r=r₀e-^t/tm

Если плотность объемного заряда поделить на единичный заряд, то получим изменение концентрации избыточных носителей заряда во времени:

Dn = Dn(0)e-^t/tm (17)

Из сравнения (16) и (17) следует, что распространение носителей заряда в монополярном случае на расстояние длины экранирования l_э осуществляется в течение максвелловского времени релаксации t_m, которое в данном случае является эффективным временем установления диффузионно-дрейфового равновесия.

5. Диффузия и дрейф неосновных избыточных носителей заряда в примесном полупроводнике

Рассмотрим диффузию и дрейф неосновных избыточных носителей заряда в примесном полупроводнике при наличии внешнего однородного электрического поля напряженностью E.

Допустим, что имеется полупроводник n-типа (р₀ n n₀), поперечные размеры которого значительно меньше его длины. Очень узкая область полупроводника

(-l m х m 0) освещается светом, так что во всем объеме освещенной области образца происходит равномерная генерация электронов и дырок (рис. 4). Пусть концентрация основных носителей заряда n₀ велика по сравнению с избыточной концентрацией неосновных носителей заряда Dr, время жизни которых t_p . В освещенной области электронного полупроводника, где возбуждаются в равном количестве избыточные электроны и дырки Dn=Dр, концентрация неравновесных дырок р=р₀+Dр будет значительно больше, чем их концентрация р₀ в неосвещенной части образца. Благодаря наличию градиента концентрации дырок возникает их диффузия. В неосвещенной части образца, куда продиффундируют дырки, появится объемный положительный заряд и электронейтральность образца нарушится. Этот объемный заряд создает статическое электрическое поле, которое вызовет перераспределение носителей заряда, так что в эту область из освещенной части образца в течение максвелловского времени релаксации будут подтянуты электроны, и заряд избыточных дырок будет скомпенсирован. Полная компенсация объемного заряда будет в том случае, если концентрация избыточных электронов будет равна концентрации избыточных дырок в любой точке образца. Таким образом, избыточные неосновные носители заряда--дырки, диффундируя в глубь электронного полупроводника, увлекают за собой равное количество основных носителей заряда -- электронов, так что объемный заряд не создается, а их диффузия происходит как диффузия квазинейтрального облака неравновесных носителей, заряд в котором Dn = Dр. По мере продвижения в глубь полупроводника избыточные дырки и электроны будут рекомбинировать и их концентрации с расстоянием будут убывать.

Если к такому полупроводнику приложить однородное электрическое поле E, то при ускоряющем поле дырки будут затягивать за собой и электроны в равном количестве, а если поле будет замедлять движение дырок, то соответствующим образом произойдет и перераспределение основных носителей заряда. Следовательно, и во внешнем электрическом поле в n-материале квазинейтральное облако неравновесных носителей заряда движется в направлении движения избыточных дырок со скоростью дрейфа неосновных носителей.

(18)

Проведем решение этого уравнения для стационарного случая, когда dp/dt = 0 в неосвещенной части полупроводника (G = 0). Для этого, продифференцировав выражение для плотности дырочного тока (8) и подставив его в (18), получим:

E (19)

Это равенство справедливо для такого внешнего электрического поля, когда D_p, m_p и t_р не зависят от поля.

Разделив обе части (19) на D_p и введя обозначения

L_p = L_E = t_pm_pE , (20)

преобразуем (19) к виду

L_E/L_p²

Общим решением этого уравнения будет:

Dp = C₁e^a1x + C₂e^a2x,

где C₁ и С₂ -- постоянные, определяемые из граничных условий;

Размещено на http://www.allbest.ru/

,

а при х;T р 0; a₁, a₂ -- корни характеристического уравнения:

L_E/L_p² - 1/ L_p² = 0

a_1,2 = (LE(L_E² + 4L_p²))/2 L_p²

Учитывая уменьшение концентрации неосновных неравновесных носителей заряда по мере удаления от освещенной области образца, окончательно получаем: при х l 0

,

где L₁ = 2 L_p² /((L_E² + 4L_p²) - L_E) (21)

а при х m -l

Dp = C₂e^{x / L2} = Dp(0)e ^{x / L2} (22)

где

L₂ = 2 L_p² /((L_E² + 4L_p²) + L_E)

Таким образом, по обе стороны от освещенной области образца концентрация избыточных неосновных носителей заряда снижается по экспоненциальному закону с постоянными спада L₁ и L₂, которые называют длиной затягивания.

Проведем анализ полученных выражений. Пусть внешнее электрическое поле отсутствует (E = 0). В отсутствие внешнего электрического поля имеет место только диффузия избыточных дырок.

Так как L_E = t_pm_pE = 0, то избыточная концентрация неосновных носителей заряда -- дырок в результате рекомбинации будет изменяться с расстоянием по закону

Dр = Dр(0)е^{-х /Lр}. (23)

Из этого выражения следует, что экспоненциальный спад концентрации избыточных неосновных носителей заряда, обусловленный рекомбинацией, будет симметричным по обе стороны от освещенной части образца (рис. 5, а) и

определяется величиной L_p, называемой диффузионной длиной неосновных носителей заряда -- в данном случае дырок. L_p -- это то среднее расстояние, на которое смещаются неравновесные дырки при диффузии за время жизни. Следовательно, в отсутствие внешнего электрического поля избыточная концентрация дырок в результате рекомбинации будет изменяться с расстоянием по экспоненциальному закону (23). Это распределение справедливо и для неравновесных электронов, так как при решении задачи предполагалось выполнение электронейтральности, по которому Dn = Dp.

Поскольку имеет место только диффузия избыточных носителей заряда, то ток является диффузионным током, для которого будем иметь:

J_{p диф} = -eD_pJ_{p диф} (0)e^-x/Lp

т. е. диффузионный ток избыточных носителей заряда изменяется с координатой по тому же закону, по которому изменяется избыточная концентрация дырок. Величину v_d, равную:

v_D = L_p/t_p = D_p/L_p, (24)

называют диффузионной скоростью. Численно она равна скорости, с которой неравновесные дырки за время жизни проходят путь, равный диффузионной длине.

Рассмотрим теперь случай, когда E 0. Если L_E n 2L_P, или eL_pEn2kT , то L₁ = L₂ = L_P, Следовательно, в слабом электрическом поле, когда E n E_с, где E_с = 2kT/eL_p -- критическое поле, распределение избыточной концентрации неосновных носителей заряда определяется диффузией и описывается уравнением (23). При наличии сильного внешнего электрического поля, когда | L_E | > 2L_P, постоянные спада L₁ и L₂ отличаются от диффузионной длины L_p. В зависимости от направления электрического поля (E > 0 и E <0) они будут больше или меньше L_p. Например, при E > 0 в неосвещенной части для областей

х < --l и x > 0

L₁ = 2 L_p² /((L_E² + 4L_p²) + L_E) < L_p < L₁ = 2 L_p² /((L_E² + 4L_p²) - L_E)

Отсюда следует, что внешнее электрическое поле искажает симметрию в распределении избыточной концентрации носителей заряда.

Рассмотрим теперь случай таких больших полей E.E_c, для которых выполняется неравенство L²_E . 4L²_p .Это условие согласно (20) и (24) можно записать следующим образом:

L²_E / 4L²_p = (t_pm_pE) / 4L²_p = t²_pv² / 4L²_p = v² /4v²_D,

где v = m_pE -- скорость дрейфа,

Величина L_E численно равная пути, проходимому неравновесным носителем заряда во время жизни со скоростью дрейфа, называется длиной дрейфа. Следовательно, напряженность поля E будет большой, если длина дрейфа намного превосходит диффузионную длину.

Определим длины затягивания L₁ и L₂ в случае, когда E > 0. Для области х > 0 из выражения (21) можно записать:

L₁ = 2 L_p² / L_E ((1 + 4L_p²/ L_E²) - 1) 2 L_p² / (2L_E L_p²/ L_E²) = L_E

т. е. длина затягивания равна длине дрейфа

L₁ = L_E = t_pm_pE =t_pv

и распределение избыточной концентрации дырок определяется выражением

Dp1 = Dp(0)e ^{-x / L1} = Dp(0)e-^{x / tpmpE} (25)

т. е. так же, как и в случае только диффузии, избыточная концентрация дырок спадает с ростом х экспоненциально, но только теперь с постоянной спада L₁ = L_E. Поскольку постоянная спада L₁ > L_p то L₁ называется также «диффузионной длиной по пол ю».

Из сравнений (23) и (25) следует, что при L_E ² . 4L²_p в области полупроводника при х > 0 избыточная концентрация носителей заряда больше (правая часть рис. 5, б), чем в отсутствие внешнего электрического поля. Следовательно, при прохождении тока, вызванного сильным электрическим полем, т. е. когда скорость дрейфа намного больше диффузионной скорости (v . v_d), при E > 0 избыточные дырки в электронном полупроводнике затягиваются полем в область полупроводника х > 0 и полупроводник обогащается неосновными носителями заряда в большем количестве, чём при наличии только диффузии в отсутствие внешнего электрического поля (E =0). Это явление носит название инжекции неосновных носителей заряда.

Для дырочного полупроводника инжекция электронов будет наблюдаться при E < 0.

Рассмотрим теперь распределение избыточных дырок для области х < --l в случае E > 0. Теперь длина затягивания

L₂ = 2 L_p² / L_E ((1 + 4L_p²/ L_E²) + 1) 2 L_p² / L_E(2+2L_p²/ L_E²) 2L_p²/ L_E

и на основании (22) получим:

Dр₂ = Dр (0)e ^{-x / L1} = Dр (0) e^{-LE / L2P}.

Очевидно, что с ростом напряженности поля L_E увеличивается, a L₂ уменьшается. Поскольку L₂ < L_Р, то L₂ называют «диффузионной длиной против поля» и для области х < -- l во всех точках полупроводника, например, на расстоянии

2L_P Dр₂ < Dр . Это значит, что при E > 0 с ростом напряженности электрического поля объем электронного полупроводника для области х < -- l обедняется неосновными носителями заряда (левая часть рис. 5, б). Это явление носит название эксклюзии неосновных носителей заряда.

Для дырочного полупроводника эксклюзия электронов будет иметь место при E <0.

При изменении направления внешнего электрического поля E < 0 в области полупроводника х > 0 будет иметь место уменьшение концентрации избыточных носителей заряда, а в области х <-l -- их увеличение (рис. 5, в). Эти явления соответственно называются экстракцией и аккумуляцией неравновесных носителей заряда. В дырочном полупроводнике они будут наблюдаться при E > 0.

6. Диффузия и дрейф неравновесных носителей заряда в полупроводнике с проводимостью, близкой к собственной

Рассмотрим теперь диффузию и дрейф неравновесных носителей заряда в полупроводнике, в котором имеется сравнимое количество равновесных электронов и дырок, т. е. в полупроводнике с проводимостью, близкой к собственной. Будем считать, что неравновесные носители заряда возбуждаются в результате переходов «зона -- зона». И если нет захвата ловушками электронов и дырок, то Dn = Dр.

Допустим, что в таком однородном полупроводнике существует неоднородное вдоль оси х распределение неравновесных носителей заряда n(х) = n₀ + Dn(x) и р(х) = р₀ + Dр(х), вызванное, например, локальным освещением образца. Будем считать, что уровень возбуждения низкий, так что Dn = Dр n (n₀ + р₀). Благодаря наличию внешнего электрического поля и градиента концентраций носителей заряда возникнут диффузионные и дрейфовые токи электронов и дырок, которые будут описываться (7) и (8), и плотность тока будет равна

J = J_n + J_p = e(nm_n + pm_p)E + e(D_n - D_p) (26)

В изолированном полупроводнике в стационарном состоянии полный ток равен нулю (J=0). При этом в каждой точке образца диффузионные токи уравновешиваются дрейфовыми токами, обусловленными статическим электрическим полем напряженностью E_ст, которую найдем из (26), если положить J = 0:

E_ст= (27)

Из (27) следует, что при отсутствии электрического тока (J = 0) возникающее в результате диффузии носителей заряда статическое электрическое поле E_ст будет тем меньше, чем больше равновесные концентрации электронов n₀ и дырок р₀. Если удельная электрическая проводимость полупроводника достаточно велика и концентрации избыточных носителей заряда Dn и Dр значительно меньше концентрации равновесных носителей заряда, т.е. Dn n n₀ и Dр n p₀, то в первом приближении можно считать, что статическое электрическое поле отсутствует и имеет место условие электронейтральности, которое обеспечивается тем, что в каждой точке полупроводника Dn = Dр. Это значит, что диффундирующие носители заряда увлекают с собой в процессе диффузии и носители заряда противоположного знака в равном количестве. В этом случае процесс диффузии избыточных электронов и дырок происходит свободно, как диффузия избыточных нейтральных пар электрон--дырка, характеризующихся одним временем жизни t.

Предположим, что образец, в котором созданы неравновесные электронно-дырочные пары, находится во внешнем однородном электрическом поле E, значительно превосходящем внутреннее статическое поле, т. е. E . E_ст. Для простоты ограничимся одномерным случаем и будем считать, что градиент концентрации и внешнее электрическое поле направлены вдоль оси х. Тогда уравнения непрерывности и уравнение для плотности токов должны быть записаны как для электронов, так и для дырок:

; (28)

E (29)

E

где s_п = enm_n и s_р = ерm_р -- электронная и дырочная составляющие удельной проводимости.

Под воздействием внешнего электрического поля пары электрон-дырка будут дрейфовать с постоянной скоростью. При этом совместная диффузия и дрейф электронов и дырок при условии электронейтральности образца будут характеризоваться эффективной дрейфовой подвижностью m_E и эффективным коэффициентом диффузии D, одинаковым для электронов и дырок. Величины m_E и D называют также амбиполярной дрейфовой подвижностью и коэффициентом амбиполярной диффузии.

Для того чтобы определить m_E и D, запишем уравнения непрерывности (28), подставив в них значения J_n и J_p из (29):

E (30)

E

Умножим (30) соответственно на _р и _п и сложим оба уравнения. В результате, учитывая, что Dn = Dp, и используя соотношение Эйнштейна, получаем:

E (31)

Для стационарного случая, когда , (31) запишется в виде

E (32)

Уравнение (32) по форме совпадает с выражением (19) для диффузии и дрейфа неосновных избыточных носителей заряда. Разница между ними лишь в том, что вместо коэффициента диффузии при второй производной и подвижности при первой производной в (32) стоят сложные величины, которые соответственно могут быть обозначены через D и m_E .

Учитывая, что при n d n₀ р d р₀, а это справедливо, когда Dn n n₀ и Dp n p₀, и используя соотношение Эйнштейна для электронов, и дырок (m_n/D_n = m_р/D_р = e/kT), коэффициент амбиполярной диффузии можно записать в виде

(33)

а амбиполярную дрейфовую подвижность в виде

m_E (34)

Если воспользоваться соотношением Эйнштейна, то коэффициент амбиполярной диффузии D можно представить в виде

(35)

Из сопоставления с равенством (35) следует, что в (33) роль подвижности играет величина, равная:

и называемая амбиполярной диффузионной подвижностью.

Из (34) следует, что m_E может изменять знак в зависимости от соотношения n₀ и р₀. Это определяется тем, что во внешнем электрическом поле m_E характеризует скорость дрейфа квазинейтрального облака неравновесных носителей заряда, которое движется в направлении движения неосновных носителей. В электронном полупроводнике m_E > 0 и облако движется в направлении движения дырок, а в p-материале облако движется в противоположном направлении -- в направлении движения электронов.

Для собственного полупроводника, у которого n₀ =р₀ = n_i имеем:

(36)

m_E = 0 (37)

Из (36) и (37) следует, что для собственного полупроводника величина коэффициента амбиполярной диффузии зависит только от коэффициентов диффузии (или подвижностей) электронов и дырок. Равенство нулю амбиполярной дрейфовой подвижности свидетельствует о том, что внешнее электрическое поле в собственном полупроводнике, когда Dn = Dр, не влияет на пространственное распределение носителей заряда.

Для примесных полупроводников, у которых концентрация основных носителей заряда значительно превышает концентрацию неосновных носителей заряда (n₀ . р₀ или р₀ . n₀), коэффициент амбиполярной диффузии D, амбиполярная диффузионная подвижность m_D и амбиполярная дрейфовая подвижность m_E равны соответственно коэффициенту диффузии и подвижности неосновных носителей заряда. Например, для полупроводника п-типа (n₀ . р₀)

D =D_P,

m_D = |m_E| = m_p

Следовательно, в примесном полупроводнике диффузия и дрейф избыточных носителей заряда определяются соответственно коэффициентом диффузии и подвижностью неосновных носителей заряда.

Список литературы

1.Шалимова К.В. Физика полупроводников.- М.: Энергоатомиздат, 1985

2.Ансельм А.И. Введение в теорию полупроводнтков.- М.: Наука, 1978

3.Бонч-Бруевич В.Л., Калашников С.Г. Физика полупроводников. - М.: Наука, 1977

Размещено на Allbest.ru