Расчет на прочность балки при изгибе
Построение эпюры поперечной силы и изгибающего момента при изгибе балки. Определение реакций опор. Подбор сечений балки из условий прочности по напряжениям. Проверка на прочность конструкции двутаврового профиля. Расчет линейных и угловых перемещений.
Рубрика | Физика и энергетика |
Вид | курсовая работа |
Язык | русский |
Дата добавления | 31.10.2017 |
Размер файла | 460,5 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Расчетно-проектировочная работа
на тему: "Расчет на прочность балки при изгибе"
Введение
Исходные данные:
q = 18 кН/м;
[]= 160 МПа (сталь);
Е = 2•105 МПа;
[]р = 20 МПа (чугун);
[]сж = 80 МПа (чугун);
a = 1 м.
Исходная схема нагружения изображена на рисунке 1.
Рисунок 1 - Исходная схема нагружения
Решение задачи
1. Вычерчиваем расчетную схему балки (рисунок 2). Определяем реакции опор и строим эпюры поперечной силы и изгибающего момента.
Направив реакции опор в точке B вверх и в точке С вверх (горизонтальная реакция НС заведомо равна нулю), составим уравнения моментов относительно опор B и С
(1)
Отсюда находим RВ
Аналогично уравнение моментов относительно опоры В:
(2)
Отсюда находим VС
Для проверки составим уравнение равновесия относительно оси y:
y = 0: Vc + Rв - q • 3а - F = 0. (3)
2,3qa + 1,7qa - 3qa - qa;
4qa + 4qa = 0:
Условие проверки выполняется, значит проведенные выше вычисления верны.
Разбиваем балку на три силовых участка CD, АC, ВС; для каждого участка применяем метод сечений и составляем уравнения поперечной силы и изгибающего момента.
Определяем характерные ординаты поперечной силы и изгибающего момента и строим их эпюры (рисунок 2).
Рассмотрим участок CD:
; (4)
;
; (5)
Аналогично рассмотрим участок AС:
; (6)
(7)
Аналогично рассмотрим участок AB:
0 ? z3 < 2a;
(8)
(9)
(10)
Эпюра изгибающих моментов построена на растянутом волокне (рисунок 2).
Рисунок 2 - Расчетная схема балки
2. Производим подбор сечений балок из условия прочности по нормальным напряжениям:
(11)
Ми мах = ;
Ми мах = = 24,8 кН•м.
Отсюда находим расчетный осевой момент сопротивления сечения:
(12)
Выполняем подбор сечений стальной балки в следующих вариантах.
а) Стальное двутавровое по ГОСТ 8239-89 (рисунок 3).
По сортаменту выбираем двутавр №18a, для которого Wx = 159 см 3.
Площадь сечения двутавра Aдв = 25,4 см 2.
Так как расчетный момент сопротивления меньше, чем момент сопротивления для двутавра по сортаменту, следовательно, считаем процент недогрузки двутавра
б) стальное прямоугольное, (рисунок 4).
Размещено на http://www.allbest.ru/
Рисунок 3 - Двутавровое сечение
Осевой момент сопротивления находим по формуле:
(13)
Откуда ширина b равна:
(14)
Принимаем b кратное двум, т.е. b = 62 мм, тогда h = 124 мм.
Площадь прямоугольного сечения:
(15)
Размещено на http://www.allbest.ru/
Рисунок 4 - Прямоугольное сечение
в) стальное круглое (рисунок 5).
Осевой момент сопротивления:
(16)
Откуда диаметр d:
(17)
Принимаем d = 118 мм.
Площадь круглого сечения определяется по формуле:
(18)
Размещено на http://www.allbest.ru/
Рисунок 5 - Круглое сечение
Выполняем сравнение экономичности сечений стальной балки по их площадям:
Таким образом, можно сделать вывод о том, что самым целесообразным является двутавровое сечение.
г) чугунное тавровое сечение (рисунок 6)
Предварительно найдем геометрические характеристики сечения.
Определяем координаты центра тяжести.
Рисунок 6 - Чугунное сечение
Выбираем оси (x, y) начальной системы координат, относительно которых определяем координаты (xi, yi) составных частей сечения:
xi = 0;
yi = 0;
х 2 = 0;
.
Находим площади составных частей сечения:
(19)
А = A1 + A2; (20)
А = 8b2 + 8b2 = 16b2.
Определяем координаты центров тяжести. Так как сечение симметричное, то ось у и совпадают:
;
; (21)
,
где - ординаты центра тяжести элементов сечения относительно оси x.
.
Определяем центральный осевой момент инерции сечения на основании теоремы сложения. Через найденный центр тяжести сечения проводим новые вспомогательные оси хс и ус, параллельные осям х и у, и вычисляем осевой момент инерции сечения относительно этих осей, пользуясь формулами перехода к параллельным осям:
(22)
(23)
(24)
где - осевые моменты инерции сечения,
- ординаты центра тяжести элементов сечения относительно оси .
равны:
равны:
Подставляя найденные числовые значения в формулы (23) и (24), получим:
Подставляем найденные значения в формулу (22):
Располагаем заданное сечение рационально, учитывая, что чугун хуже сопротивляется растяжению, чем сжатию. Для этого, глядя на эпюру изгибающих моментов, сечение переворачиваем так, чтобы в растянутой зоне напряжения были меньше по модулю, чем в сжатой зоне (рисунок 7).
Рисунок 7 - Расположение сечения оптимальным образом
Определяем осевые моменты сопротивлений для растянутых и сжатых слоев сечения балки:
(25)
(26)
Подставляем числовые значения, получим:
Определим размеры сечения чугунной балки по сжимающим и растягивающим волокнам:
(27)
(28)
Откуда получим:
Подставляем числовые значения, получим
Найдем площадь сечения:
Анализируя выше рассмотренные сечения, видим, что наиболее экономичным является двутавровое сечение, т.к. в этом случае будет меньший расход материала; это показывает следующее соотношение площадей
Построим все сечения в одном масштабе с эпюрами нормальных напряжений (рисунок 8). Для чего найдем нормальные напряжения для всех сечений по формуле:
(29)
Результаты вычислений приведены в таблице 1.
Таблица 1 - Результаты расчета нормальных напряжений
Двутавр |
Прямоугольник |
Круг |
Тавровое сечение |
||
159 |
158,9 |
161,2 |
|||
155,9 |
156 |
153,76 |
20,3 |
||
155,9 |
156 |
153,76 |
46,15 |
Рисунок 8 - Сечения стальной, чугунной балки с эпюрами нормальных напряжений
3. Проводим полную проверку прочности для балки двутаврового профиля. Выполняем проверку прочности по опасным точкам второго типа (т. С), используя следующие данные и формулы: h=180мм; b = 100 мм; b0 = d = 5,1 мм; t = 8,3 мм; Ix = 1430 см 4; Sx = 89,8 см 3;
Qmax = 1,3qa.
(30)
Допускаемое касательное напряжение найдем по III теории прочности:
ф = 0,5 • [у]; (31)
ф = 0,5 • 160 = 80 МПа.
Подставляем числовые значения, получим:
Отсюда следует, что условие прочности выполняется.
Определяем нормальные , касательные и главные напряжения в опасных точках сечения балки (т. А), где одновременно возникает неблагоприятное сочетание большого изгибающего момента и поперечной силы:
по формулам:
(32)
(33)
(34)
где
- площадь отсеченной части сечения, см 2;
Sxотс - статический момент отсеченной части сечения, см 3; bi - ширина сечения, см; изгиб балка прочность эпюра
Ix - момент инерции сечения, см 4.
Полученные данные сводим в таблицу 2.
Таблица 2 - Результаты расчета напряжений двутавровой балки
уi, см |
, МПа |
см 2 |
см |
см 3 |
см |
МПа |
МПа |
МПа |
||
1 |
-9 |
-147,3 |
0 |
- |
0 |
- |
0 |
0 |
-147,3 |
|
2 |
-8,17 |
-133,7 |
8,3 |
8,58 |
71,2 |
10 |
0,27 |
0,0005 |
-133,7 |
|
2| |
0,51 |
5,27 |
0,2074 |
-133,9 |
||||||
3 |
0 |
0 |
- |
- |
89,8 |
0,51 |
6,65 |
6,65 |
-6,65 |
|
4| |
8,17 |
133,7 |
8,3 |
8,58 |
71,2 |
0,51 |
5,27 |
133,9 |
-0,2074 |
|
4 |
10 |
0,27 |
133,7 |
-0,0005 |
||||||
5 |
9 |
147,3 |
0 |
- |
0 |
- |
0 |
147,3 |
0 |
Статический момент отсеченной части сечения определяется по формуле:
. (35)
По полученным значениям напряжений строим эпюры нормальных , касательных и главных напряжений (рисунок 9).
Рисунок 9 - Эпюры нормальных, касательных и главных напряжений для двутавровой балки
Для опасной точки третьего типа определяем графически главные напряжения, для чего строим круг Мора (рисунок 10). Опасными точками 3-го типа являются точки 4| и 2|, выбираем точку 4|, для которой = -0,2074 МПа.
Проверяем прочность в точке 4| по четвертой теории прочности согласно неравенству:
Таким образом, сечение прочно по главным напряжениям.
Рисунок 10 - Расчетная схема напряженного состояния
4. Пользуясь универсальным уравнением метода начальных параметров, определим линейные и угловые перемещения.
Составляем универсальное уравнение упругой линии балки (УУУЛБ), используя универсальное уравнение:
(37)
где y(z) - прогиб на последнем участке заданной балки, мм;
y0 - геометрический начальный параметр, прогиб, мм;
- угол поворота в начале координат, град;
- статический начальный параметр, момент,
Q0 - поперечная сила в начале координат,
- действующий внешний момент,
Fi - внешняя сила, Н;
qi - внешняя равномерно распределенная нагрузка, Н/м;
- абсциссы точек приложения внешних нагрузок, м.
Выбираем начало координат в крайнем левом сечении балки и считаем его общим для всех участков. До этого переворачиваем балку точкой опоры В влево в начало координат (рисунок 11).
Рисунок 11 - Схема нагружения для определения прогиба и угла поворота
Для последнего правого участка заданной балки составляем УУУЛБ:
(38)
Находим начальные параметры у 0 и из граничных условий
М 0 = 0;
Q0 = RB = 1,7qa.
Граничные условия:
- при z = 0; yB = 0;
- при z = 3а;
yС = 0 = у(z=3a) = 0 +
Отсюда получим:
Подставив числовые значения, получим:
град.
Подставляем полученное значение начального угла поворота в УУУЛБ:
Прогиб в точке A равен:
Прогиб в точке D равен:
Подставляя числовые значения, получим:
Найдем выражение для вычисления углов поворота:
Найдем угол поворота в точке A:
Угол поворота в точке С равен:
Угол поворота в точке D равен:
По перемещениям вычерчиваем упругую линию балки (рисунок 12).
Рисунок 12 - Расчетная схема балки
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Определение равнодействующей системы сил геометрическим способом. Расчет нормальных сил и напряжений в поперечных сечениях по всей длине бруса и балки. Построение эпюры изгибающих и крутящих моментов. Подбор условий прочности. Вычисление диаметра вала.
контрольная работа [652,6 K], добавлен 09.01.2015Расчет статически определимого стержня переменного сечения. Определение геометрических характеристик плоских сечений с горизонтальной осью симметрии. Расчет на прочность статически определимой балки при изгибе, валов переменного сечения при кручении.
курсовая работа [1,2 M], добавлен 25.05.2015Сущность дифференциальных зависимостей при поперечном изгибе, расчет касательного напряжения. Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки. Теорема о взаимности работ и перемещений. Графоаналитический способ определения перемещения при изгибе.
контрольная работа [1,9 M], добавлен 11.10.2013Построение эпюры продольных сил, напряжений, перемещений. Проверка прочности стержня. Определение диаметра вала, построение эпюры крутящих моментов. Вычисление положения центра тяжести. Описание схемы деревянной балки круглого поперечного сечения.
контрольная работа [646,4 K], добавлен 02.05.2015Определение продольной силы в стержнях, поддерживающих жёсткий брус. Построение эпюры продольных усилий, нормальных напряжений и перемещений. Расчет изгибающих моментов и поперечных сил, действующих на балку. Эпюра крутящего момента и углов закручивания.
контрольная работа [190,3 K], добавлен 17.02.2015Вычисление прогиба и угла поворота балки; перерезывающих сил и изгибающих моментов. Расчет статически неопределимой плоской рамы и пространственного ломаного бруса. Построение эпюр внутренних силовых факторов. Подбор двутаврового профиля по ГОСТ 8239-72.
курсовая работа [2,8 M], добавлен 09.09.2012Методическое указание по вопросам расчётов на прочность при различных нагрузках и видах деформации. Определение напряжения при растяжении (сжатии), определение деформации. Расчеты на прочность при изгибе, кручении. Расчетно-графические работы, задачи.
контрольная работа [2,8 M], добавлен 15.03.2010Анализ прочности и жесткости несущей конструкции при растяжении (сжатии). Определение частота собственных колебаний печатного узла. Анализ статической, динамической прочности, а также жесткости печатного узла при изгибе, при воздействии вибрации и ударов.
курсовая работа [146,3 K], добавлен 11.12.2012Описание решения стержневых систем. Построение эпюр перерезывающих сил и изгибающих моментов. Расчет площади поперечных сечений стержней, исходя из прочности, при одновременном действии на конструкцию нагрузки, монтажных и температурных напряжений.
курсовая работа [2,2 M], добавлен 23.11.2014Методика проведения испытаний древесного образца на статический изгиб и разрушение. Вид его излома. Расчет максимальной нагрузки. Определение пределов прочности образцов с поправкой на влажность и относительной точности определения среднего выборочного.
лабораторная работа [884,3 K], добавлен 17.01.2015