Основы кинематики и динамики жидкости

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. ОСНОВЫ КИНЕМАТИКИ И ДИНАМИКИ ЖИДКОСТИ

1.1 ЗАДАЧИ КИНЕМАТИКИ И ДИНАМИКИ

Жидкая среда состоит из множества ее частиц, не связанных между собой, и при ее движении частицы перемещаются в пространстве независимо друг от друга. Жидкая среда является сплошной средой, в которой отсутствуют пустоты и разрывы. Скорость в определенной точке области, занятой жидкостью, а также плотность и давление являются функцией координат этой точки и времени.

Кинематика изучает характеристики движений жидкости и газов. Задачей кинематики является определение скоростей и ускорений в любой точке пространства жидкой среды и распределение скоростей. Для упрощения исследования движения жидкость полагают идеальной и однородной. В этом случае не учитываются силы, обусловленные вязкостью.

Динамика жидкости изучает законы движения в результате действия на нее поверхностных, массовых сил с учетом вязкости.

Основными задачами в динамике являются рассмотрение движения жидкости в трубах, открытых руслах и в гидросооружениях, а также задачи, связанные с обтеканием жидкостью твердых тел и движением тела в жидкости.

При исследовании движения реальной жидкости необходимо рассматривать возникновение и влияние касательных напряжений, т.е. сил сопротивления движению. Если скорости и давления в определенной области будут зависеть от одной из координатных осей, то такие движения называются одномерными. В случае, когда скорости зависят от двух или трех координат, движения являются двухмерными или трехмерными.

При исследовании жидкости используются следующие схемы (модели):

· струйчатая схема (модель) движения. Поток жидкости с целью упрощения рассматривается в виде движения множества отдельных элементарных струек;

· модель движения множества частиц жидкости образует сплошную среду. В этом случае рассматривается движение отдельных частиц и течение жидкости представляется в виде дифференциальных уравнений, которые отражают основные кинематические и динамические характеристики.

1.2 АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ

Существует два аналитических метода изучения движения жидкости: метод Лагранжа и метод Эйлера.

Метод Лагранжа

Метод Лагранжа изучает кинематику движения в пространстве какой-либо частицы жидкости. Координаты частицы в начальный момент времени : , , . Движущаяся частица имеет определенные текущие координаты , , , которые фиксируются относительно начальных координат , , . Кинематическая картина движения частицы определяется следующими функциональными зависимостями:

(3.1)

Зная текущие координаты частицы, можно построить ее траекторию движения в определенной области пространства. Имея траекторию движения, можно разбить ее на малые участки длиной , проходимые частицей за время . Проекции скорости в точке, где находится частица:

(3.2)

Величины , , являются проекциями пути движения частицы на участке траектории за время на соответствующие координаты.

Поток жидкости будет характеризоваться траекториями движения определенных частиц в течение определенного времени. Метод Лагранжа в технической гидромеханике из-за его сложности не получил достаточно широкого применения.

Метод Эйлера

Метод Эйлера изучает определенную область движения жидкости. В этой области пространства фиксируются точки, которые являются неподвижными при прохождении через них жидкости. В этом случае не рассматриваются траектории движения частиц, как в методе Лагранжа. Метод Эйлера позволяет исследовать изменение скоростей, ускорений в разных точках выбранной области пространства жидкости. Скорости рассматриваются относительно неподвижной системы координат. Составляющие абсолютной скорости , , зависят от нахождения точки в пространстве, т.е. от координат , , и времени .

Составляющие скорости выражаются следующими функциональными зависимостями:

(3.3)

Следует отметить, что давление в точке также является функцией координат:

 (3.4)

Метод Эйлера позволяет получить распределение скоростей в определенной области. В случае движения жидкости, когда скорости частиц, проходящих через определенную точку в пространстве, зависят не только от координат расположения точки , но и времени (формула (3.3)), такое движение называется неустановившимся (нестационарным).

Установившимся (стационарным) движением является движение, когда скорости в точке не зависят от времен. Зависимости, определяющие скорости, в этом случае выглядят так:

(3.5)

Так как абсолютная скорость является функцией координат и времени , то полный дифференциал скорости в местных производных

(3.6)

Абсолютное ускорение в точке

(3.7)

Составляющие скорости

 (3.8)

При исследовании движения жидкости по методу Эйлера ее геометрическими характеристиками являются линии тока.

Частичка жидкости при движении может изменять свою форму при сохранении своего объема и массы. Частица может двигаться поступательно или вращательно, при этом по сравнению с твердым телом она деформируется.

1.3 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ СТРУЙЧАТОЙ МОДЕЛИ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ

Как уже отмечалось ранее, пространство, заполненное жидкостью, состоит из бесконечного множества отдельных частиц жидкости, имеющих бесконечно малые размеры и массы. В определенной точке рассматриваемого пространства частица движется с определенной скоростью и на нее действует некоторое давление. При перемещении частицы в пространстве скорость и давление будут непрерывно изменяться. В определенный момент времени в рассматриваемом пространстве в разных его точках скорость имеет разное значение. Картина изменения скорости в пространстве характеризуется полем скоростей, изменение давления - полем давления.

Выделим в пространстве движущейся жидкости частицу жидкости. За определенный промежуток времени частица пройдет через ряд точек пространства с различными скоростями. След, оставленный частицей в виде кривой линии, является траекторией движения. При установившемся движении скорость в каждой точке траектории является неизменной во времени, а траектории отдельных частиц также являются во времени неизменными кривыми. При установившемся движении поле скоростей в рассматриваемом пространстве остается неизменным с течением времени.

В случае неустановившегося движения частица при прохождении точки в разное время имеет разные скорости.

Выберем в пространстве, занятом движущейся жидкостью, в некоторый момент времени т. 1, через которую пройдет частица жидкости. Построим к точке вектор скорости , который определяет направление движения частицы и ее скорость. На этом векторе, отложив малое расстояние , получим т. 2 (рис. 3.1).

Рис. 3.1 Линия тока

В т. 2 построим вектор , соответствующий скорости частицы в данной точке через промежуток времени . На векторе отметим т. 3, отстающую на расстояние . В т. 3 также построим вектор , и на нем отложим расстояние и т.д. Если расстояния между точками будут стремиться к нулю, то в пределе получим кривую вместо ломаной линии 1, 2, 3, 4,..., . Полученная кривая, начинающаяся в т. 1, является линией тока.

Кривая, проведенная через ряд точек жидкости при установившемся ее движении, в каждой точке которой в данный момент времени векторы скорости касательные, называется линией тока. Линия тока в другой промежуток времени при неустановившемся движении будет представлять другую кривую.

В случае установившегося движения частицы жидкости будут перемещаться вдоль неизменной линии тока. Следовательно, при установившемся движении линии тока и траектории частиц совпадают.

Выделим в пространстве движущейся жидкости элементарный замкнутый контур и через все его точки проведем линии тока. Образовавшаяся таким образом трубчатая поверхность называется трубкой тока. Трубка тока представляет собой как бы бесконечно тонкую непроницаемую стенку.

Частички жидкости, движущиеся внутри трубки тока, образуют элементарную струйку жидкости. В случае стремления поперечных сечений струйки жидкости к нулю она в пределе будет обращаться в линию тока.

При установившемся движении элементарной струйки отмечают следующие ее свойства:

форма элементарной струйки с изменением времени остается постоянной, так как линии тока, образующие трубку тока, не меняются во времени;

поверхность трубки тока является непроницаемой для частичек жидкости, находящихся как в пределах струйки, так и вне ее;

скорости движения частиц в разных точках малого поперечного сечения струйки считаются постоянными, как и давление в сечении.

По длине струйки форма, элементарные поперечные площади и скорости в них изменяются.

Поток жидкости в «струйчатой модели жидкости» рассматривается как совокупность элементарных струек, обладающих приведенными выше свойствами.

В потоке жидкости в связи с различием скоростей в соответствующих струйках они будут скользить относительно друг друга, при этом не будет происходить их перемешивания.

1.4 ПАРАМЕТРЫ СТРУЙКИ И ГИДРАВЛИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ НЕРАЗРЫВНОСТИ

Площадь поперечного элементарно малого сечения струйки жидкости называется живым сечением. Живое сечение нормально к линиям тока (рис. 3.2).

Рис. 3.2 Элементарная струйка

Скорость движения частиц в живом сечении - скорость струйки .

Расстояние вдоль струйки при известной скорости струйки .

За определенное время движущиеся частицы из сечения 1-1 переместятся в сечение 2-2, пройдя путь, равный .

Таким образом, за время через первое живое сечение площадью пройдет количество жидкости, равное объему элементарного цилиндра:

.

Объем жидкости, отнесенный к единице времени , - объемный расход (элементарный расход), который определяется по формуле, м³/с,

(3.9)

Количество жидкости, проходящей через живое сечение, можно представить через массу и вес жидкости.

Массовый расход струйки, кг/с,

(3.10)

Весовой расход струйки, Н/с,

(3.11)

Расходом жидкости называется количество жидкости, проходящей через живое сечение за единицу времени.

Рассмотрим элементарную струйку несжимаемой жидкости при установившемся движении (рис. 3.3). Выделим в элементарной струйке объем между двумя сечениями 1-1 и 2-2 в некоторый момент времени. Используем свойства элементарной струйки и закон сохранения вещества (массы).

Рис. 3.3 К выводу уравнения неразрывности

За время масса жидкости , находящаяся между сечениями 1-1 и 2-2, переместится в положение 1'-1' и 2'-2'.

Массы жидкости между сечениями



где и - элементарные массы жидкости, проходящие через сечения 1-1 и 2-2.

Масса жидкости остается неизменной при ее перемещении:

Следовательно, Масса жидкости, проходящая через любое сечение, равна

.

Масса жидкости, проходящая через первое и второе сечения струйки за время , составляет

где - плотность жидкости, находящейся в трубке тока.

Таким образом,

(3.12)

Аналогично можно получить соотношение скоростей и элементарных площадей для других сечений струйки.

Например,

Таким образом, для любого сечения струйки .

Уравнение неразрывности для элементарной струйки при установившемся движении утверждает, что элементарный расход во всех сечениях струйки постоянен.

Уравнение неразрывности записывается в следующем виде:

(3.13)

Скорости движения в разных сечениях струйки согласно (3.13) обратно пропорциональны элементарным площадям живых сечений струйки:

(3.14)

где - произвольное живое сечение струйки, скорость струйки в нем .

1.5 ПОТОК ЖИДКОСТИ И ЕГО ПАРАМЕТРЫ

Согласно струйчатой модели поток жидкости - совокупность элементарных струек. Сечение потока , ограниченного конечными поверхностями, равно сумме живых сечений струек . Это сечение называется живым сечением потока жидкости. Живое сечение должно быть нормальным к векторам скорости струи , т.е. нормально к линиям тока:

. (3.15)

Общий объемный расход жидкости для потока жидкости в целом будет представлять собой сумму элементарных расходов струек:

. (3.16)

Расход жидкости можно представить в виде объемной фигуры, ограниченной, например, параболой, основание которой будет площадь живого сечения (рис. 3.4).

Рис. 3.4 К определению средней скорости

Объем этой фигуры .

Чтобы определить расход, необходимо иметь аналитическую зависимость значения скорости от конечного положения элементарной площади струйки . Скорость струйки является функцией координат : . В связи с этим представляется весьма сложным произвести интегрирование уравнения расхода (3.16).

Для упрощения определения расхода потока жидкости вводится понятие о средней скорости. Принимается условие, что скорости струек по всему живому сечению потока постоянны, . Таким образом, все частицы жидкости, проходящие через площадь , имеют одинаковую скорость .

Объему фигуры, ограниченной параболой вращения, соответствует объем цилиндра, высота которого равна средней скорости:

(3.17)

Если живое сечение струек будет нормальным к вектору скорости в сечении потока жидкости, тогда элементарные струйки (линии тока) представляются в виде системы прямых параллельных друг другу линий, а живые сечения являются плоскими.

Движение жидкости, при котором имеет место некоторое расхождение линии тока (струек), что характеризуется малым углом и незначительной кривизной, называется плавно изменяющимся движением.

В случае плавно изменяющегося движения можно считать живые сечения плоскими, нормальными к вектору скорости.

На рис. 3.5 показано живое сечение цилиндрической трубы, по которому движется поток воды со средней скоростью , вектор которой нормален к поперечному сечению.

Рис. 3.5 Гидростатический напор в плоскости живого сечения

К точкам 1, 2, 3 поперечного сечения трубы присоединены пьезометры. Положение точек относительно плоскости сравнения 0-0 - , , и . Пьезометрические высоты - , , имеют разные значения.

Сумма величин и , определяющих гидростатический напор, постоянна, т.е.

Таким образом, для любой точки живого сечения гидростатический напор относительно выбранной плоскости сравнения постоянен:

Установившееся движение, при котором поперечные сечения потока и средняя скорость в них одинаковы, называется равномерным движением. Примерами равномерного движения могут служить движения воды в трубе постоянного диаметра или в канале с постоянной глубиной и формой поперечного сечения.

Неравномерным называют установившееся движение, при котором поперечное сечение и средняя скорость изменяются по длине потока. Движение воды в трубе переменного диаметра является неравномерным.

Движение потока жидкости может быть напорным или безнапорным. При напорном движении поток ограничен твердыми поверхностями и жидкость полностью заполняет поперечные сечения по его длине. Поток жидкости не имеет свободной поверхности, и движение происходит за счет перепада напоров по длине.

Безнапорным движением называют движение, когда поток частично ограничен твердой поверхностью и имеет свободную поверхность. В большинстве случаев свободная поверхность граничит с атмосферой. Давление на свободную поверхность в этом случае будет равно атмосферному - . Примером может служить движение в трубах с не полностью заполненными поперечными сечениями или поток в канале, реке.

Гидравлические элементы потока жидкости

Контур живого сечения, соприкасающегося с твердой поверхностью стенки, называется смоченным периметром . Для круглой трубы смоченный периметр равен периметру живого сечения.

Гидравлический радиус представляет собой отношение площади живого сечения к смоченному периметру :

(3.18)

Гидравлический радиус характеризует форму живого сечения потока жидкости.

Гидравлический диаметр

. (3.19)

Для круглой трубы диаметром при напорном движении

(3.20)

При напорном движении в трубе прямоугольного сечения (шириной , высотой )

 (3.21)

Для безнапорного движения жидкости в прямоугольном канале с шириной по дну , глубиной жидкости

1.6 УРАВНЕНИЕ НЕРАЗРЫВНОСТИ ДЛЯ ПОТОКА

В потоке конечных размеров (рис. 3.6) выделим сечения 1-1, 2-2 и 3-3, расположенные на некотором расстоянии друг от друга. Площади живых сечений потока будут , и . Живые сечения элементарной струйки, выделенной в потоке, соответственно равны , и .

Скорости струйки в сечениях - , , .

Согласно уравнению неразрывности для струйки жидкости

(3.23)

Рис. 3.6 К выводу уравнения неразрывности потока

Согласно струйчатой модели поток состоит из элементарных струек, поэтому, интегрируя по каждому из живых сечений 1-1, 2-2 и 3-3 уравнение (3.23), получаем

(3.24)

Интеграл - расход , проходящий через живое сечение. Через среднюю скорость расход .

Таким образом, можно записать:

(3.25)

Уравнение (3.25) для потока конечных размеров при установившемся движении жидкости является уравнением неразрывности.

Для разных сечений потока согласно (3.25) получим соотношение скоростей в живых сечениях:

(3.26)

1.7 УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ ДЛЯ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ СТРУЙКИ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ

Выделим в потоке при установившемся движении идеальной жидкости, находящейся в поле сил тяжести, элементарную струйку (рис. 3.7). Рассмотрим часть струйки, заключенную между сечениями 1-1 и 2-2, и проведем горизонтальную плоскость 0-0, называемую плоскостью сравнения. Площадь первого живого сечения струйки , скорость струйки , давление , - высота расположения центра живого сечения над плоскостью сравнения 0-0.

Рис. 3.7 К выводу уравнения Бернулли для струйки идеальной жидкости

Во втором сечении площадь , скорость , давление , высота положения сечения .

Рассмотрим элементарное перемещение за малый промежуток времени объема струйки из положения 1-1 и 2-2 в положение 1'-1' и 2'-2'. Перемещение первого сечения - расстояние между положениями 1-1', второго - между 2-2'. Выразим перемещения через скорости в сечениях:

(3.27)

Используем для вывода уравнения Бернулли теорему о кинетической энергии. Для твердого тела она формулируется следующим образом: приращение кинетической энергии тела на любом пути его движения равно сумме работ, совершаемых на этом пути внешними силами, приложенными к телу.

Это допустимо применить к элементарной струйке, так как идеальная жидкость несжимаема, плотность жидкости .

Теорему кинетической энергии можно представить в виде следующего уравнения:

(3.28)

где - приращение кинетической энергии; - сумма работ внешних сил.

Силами, действующими на выделяемый объем жидкости, являются силы давления, приложенные нормально к живым сечениям участка струйки, и силы тяжести.

Силы гидродинамического давления, действующие нормально к поверхности участка струйки, нормальны линиям тока (оси движения). Работа этих сил при перемещении струйки равна нулю.

Силы гидростатического давления в сечениях 1-1 и 2-2 равны

и (3.29)

Направление силы прямо противоположно направлению перемещения, поэтому перед силой ставится знак минус.

Работа силы давления на перемещение сечения 1-1 на расстояние равна

(3.30)

Работа силы давления для второго сечения 2-2

(3.31)

Работа сил давления на рассматриваемый объем части струйки

(3.32)

Произведения и - объемы жидкости, проходящие через сечения 1-1 и 2-2. Умножив и разделив объемы на плотность жидкости, получим относительные элементарные массы, которые будут равны согласно уравнению неразрывности

(3.33)

Отсюда работа сил давления

(3.34)

Работа силы тяжести равна изменению потенциальной энергии положения выбранного участка струйки. Из потенциальной энергии объема жидкости, заключенного между сечениями 1-1 и 2-2, нужно вычесть энергию объема между сечениями 1'-1' и 2'-2'. Потенциальные энергии участков 1-2 и 1'-2'' составят:

(3.35)

Работа сил тяжести равна разности потенциальных энергий:

(3.36)

Масса жидкости в 1-1' и 2-2'

Массы жидкости находятся на высоте , и относительно плоскости сравнения. Работа сил тяжести

(3.37)

Массы жидкости, проходящие через сечения 1-1 и 2-2, равны

Работа сил тяжести

(3.38)

Сумма работ сил давления и тяжести согласно (3.34) и (3.38)

(3.39)

Приращение кинетической энергии равно изменению энергии массы объема жидкости 1'-2' и объема 1-2. Вычитаем из кинетической энергии массы объема 1'-2' энергию первоначального объема 1-2:

В энергии массы объемов жидкости входит энергия средней части объема 1'-2:

Массы жидкости в отрезках струйки 2-2' и 1-1' равны, а скорости в сечениях - и . Таким образом, приращение кинетической энергии

(3.40)

Согласно теореме кинетической энергии (3.27) получим

(3.41)

Отнесем все члены уравнения к единице веса протекающей жидкости, т.е. разделим все члены уравнения (3.41) на :

(3.42)

Произведем перегруппировку членов уравнения (3.42) применительно к каждому из сечений 1-1 и 2-2:

(3.43)

Полученное уравнение называется уравнением Д. Бернулли для струйки идеальной жидкости.

Все члены уравнения Бернулли имеют линейную размерность. Члены уравнения , и - геометрические высоты положения центров живых сечений относительно плоскости сравнения.

Установив пьезометры в сечениях 1-1 и 2-2, уровень жидкости в них поднимается на высоты и . Члены и пьезометрические высоты, которые соответствуют гидростатическим давлениям и в сечениях 1-1 и 2-2.

Члены уравнения и - скоростные высоты.

Сумма всех трех членов уравнения вдоль струйки постоянна:

Ранее приводилось понятие удельной энергии. Энергия жидкости, отнесенная к единице веса жидкости, - удельная энергия или напор. Полная энергия струйки складывается из потенциальной и кинетической энергий.

Первых два члена уравнения Бернулли характеризуют потенциальную энергию относительно плоскости сравнения 0-0. Третий член выражает кинетическую энергию. Таким образом, сумма всех членов уравнения будет являться суммой удельных потенциальной и кинетической энергий.

Полная удельная энергия - полный напор, определяемый по формуле

(3.44)

Полная удельная механическая энергия для идеальной жидкости вдоль элементарной струйки является постоянной величиной - .

Члены уравнения Бернулли имеют следующую энергетическую интерпретацию:

- удельная энергия положения;

- удельная потенциальная энергия давления;

- удельная потенциальная энергия, гидростатический напор;

- удельная кинетическая энергия или динамический (скоростной) напор.

Удельная потенциальная или кинетическая энергия в разных сечениях по длине струйки могут изменять свои величины, однако сумма их вдоль рассматриваемой идеальной струйки жидкости остается постоянной.

Если все члены умножить на единицу веса , то получим сумму полной механической энергии, которая будет постоянна для всех сечений.

Таким образом, уравнение Бернулли для струйки идеальной жидкости при ее установившемся движении выражает закон сохранения механической энергии.

1.8 УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ ДЛЯ СТРУЙКИ РЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ

Реальная жидкость обладает вязкостью, и при ее движении возникают сопротивления движения. Сопротивления движения обусловлены появлением сил внутреннего трения. При движении струйки реальной жидкости механическая энергия, содержащаяся в струйке, вдоль нее будет уменьшаться, так как часть ее будет расходоваться на преодоление сопротивления, .

Эта энергия затрачивается на некоторую необратимую работу, т.е. на работу сил трения, и она переходит в тепло, которое рассеивается.

Чем больше длина струйки, тем больше будут затраты энергии на преодоление сопротивления движения.

Энергия, расходуемая на работу сил трения, - потери механической энергии струйки, переходящие в теплоту. Потери энергии, отнесенные к единице веса жидкости при перемещении ее вдоль элементарной струйки, называются гидравлическими потерями (потерями удельной энергии) .

Рассмотрим струйку реальной жидкости при установившемся движении (рис. 3.8).

Рис. 3.8 К уравнению Бернулли для струйки реальной жидкости

Полная удельная механическая энергия реальной струйки в ее живых сечениях 1-1 и 2-2 составит

Потери удельной механической энергии, обусловленные трением, на участке живых сечений 1-1 и 2-2

(3.45)

или

(3.46)

Таким образом, уравнение Бернулли для элементарной струйки реальной жидкости в случае установившегося движения можно представить в виде

(3.47)

Характеристикой движения жидкости является понятие пьезометрического и гидравлического уклонов.

На рис. 3.8 изображены кривые, характеризующие уравнение Бернулли. Линия, проходящая через точки, соответствующие значению пьезометрической высоты в живых сечениях 1-1 и 2-2, является пьезометрической линией.

Пьезометрическим уклоном называется изменение гидростатического напора жидкости вдоль струйки, отнесенное к единице длины. На участке струйки длиной между сечениями 1-1 и 2-2 пьезометрический уклон

(3.48)

Пьезометрический уклон, соответствующий бесконечно малой длине (при ), - уклон в точке:

(3.49)

Линия, проходящая через точки значений удельных механических энергий в живых сечениях струйки, является напорной линией (линией полного напора). Гидравлическим уклоном называется уменьшение полной удельной механической энергии вдоль струйки, отнесенное к единице длины:

(3.50)

При элементарном снижении удельной энергии на бесконечно малом участке гидравлический уклон

 (3.51)

Так как кривая полного напора убывает по длине струйки, то знак в выражении (3.51) минус [ - убывающая функция].

В случае постоянства живых сечений по длине струйки пьезометрическая линия и линия полного напора параллельны.

1.9 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ (УРАВНЕНИЕ ЭЙЛЕРА)

В пространстве, заполненном движущейся идеальной жидкостью плотностью , выделим элементарный параллелепипед, ребра которого со сторонами , , параллельны осям координат (рис. 3.9). При движении идеальной жидкости отсутствуют силы внутреннего трения. Элементарный объем, находящийся в параллелепипеде, перемещается с абсолютной скоростью . Составляющие этой скорости по осям координат будут , , .

На элементарный объем будут действовать массовые и поверхностные силы. Силы трения при движении параллелепипеда равны нулю.

Масса жидкости в элементарном объеме параллелепипеда

(3.52)



Рис. 3.9 К выводу уравнения движения Эйлера

Проекции массовых сил в направлении координатных осей:

(3.53)

где , , - компоненты единичных массовых сил относительно осей , , (проекции ускорения этих сил).

Поверхностные силы определяются давлением, приходящимся на грани параллелепипеда.

Пусть в центре тяжести параллелепипеда (т. О) гидростатическое давление равно , координаты этой точки , , . Скорость движения в этой точке . Составляющие этой скорости по осям координат равны , , .

Проведем через т. О горизонтальную линию, параллельную оси . Точки пересечения с гранями параллелепипеда А (грань 1234), В (грань 5678). Давление в этих точках по оси и .

В жидкой сплошной среде давление в точке выражается непрерывной сплошной функцией координат расположения точки в пространстве: . Гидростатическое давление изменяется непрерывно линейно, и приращение давления на единицу элементарной длины - - -

Следовательно, давления в точках А и В будут различаться на величину .

Давления в точках А и В выразим в следующем виде:

(3.54)

Из-за малости площади граней можно считать, что давления и являются средними гидростатическими давлениями, действующими на грани 1234 и 5678. Поверхностные силы давления на эти грани по оси равны произведению давления на площади граней:

(3.55)

Аналогично поверхностные силы давления на грани по оси z (грани 1478и 2365):

 (3.56)

Также можно определить поверхностные силы на грани по оси .

Рассмотрим равновесие параллелепипеда, находящегося в движущейся жидкости, используя принцип Даламбера.

Согласно принципу Даламбера уравнение движения можно рассматривать как уравнение равновесия, если ввести силы инерции. Полагаем, что параллелепипед массой перемещается со скоростью , составляющие этой скорости , , .

Сила инерции ( - ускорение).

Проекции силы инерции на соответствующие координатные оси:

(3.57)

где , , - проекции ускорении на оси , , .

Составим уравнение равновесия для сил, действующих на рассматриваемый параллелепипед жидкости, с учетом силы инерции по осям и :

(3.58)

Подставляя в (3.58) полученные ранее зависимости (3.53), (3.55), (3.56) и (3.57), получим следующие уравнения

Раскрыв скобки и разделив полученные выше уравнения на , напишем

(3.59)

Аналогично можно получить уравнение по оси у:

(3.60)

Уравнения (3.59) и (3.60) можно записать в виде системы уравнений:

 (3.61)

В общем случае величины , , являются функцией координат , , , а также времени . Следовательно, полный дифференциал скорости будет

(3.62)

Ускорение ;

Тогда

(3.64)

Аналогично можно получить дифференциалы скоростей , .

После внесения в систему уравнений (3.61) дифференциалов скоростей , и она примет вид

 (3.65)

В случае установившегося движения

; ; . (3.66)

Уравнения (3.65) представляют собой дифференциальные уравнения движения идеальной (невязкой) жидкости - уравнения Эйлера. Эти уравнения были получены Эйлером в 1775 г.

Уравнения Эйлера выражают связь между проекциями действующих сил, скоростей, давления и плотности жидкости. Уравнения Эйлера очень важны при изучении движения жидкости.

Для жидкости, находящейся в покое, имеем

Дифференциальные уравнения Эйлера приобретают следующий вид:

(3.67)

Система дифференциальных уравнений является уравнениями равновесия жидкости.

Из уравнения равновесия можно получить основное уравнение гидростатики (2.2) (см. приложение).

Интегрирование уравнения движения Эйлера. Интеграл Бернулли

Рассмотрим установившееся движение идеальной жидкости. Уравнения Эйлера представим в виде (3.61). Умножим первое из уравнений на , второе - на и третье - на , получим

(3.68)

Сложим почленно все три уравнения системы:

(3.69)

Для установившегося движения давление в точке является функцией ее координат и не зависит от времени. Поэтому дифференциал давления выражается в частных производных:

.

Так как; и , то последний член уравнения (3.69)

, (3.70)

кроме того

; ; .

Следовательно, правая часть уравнения (3.69) примет вид

. (3.71)

Полная (абсолютная) скорость и выражается через , , :

.

Тогда

. (3.72)

Уравнение (3.69) после преобразования можно переписать в следующем виде:

. (3.73)

Первые три выражения в этом уравнении является полным дифференциалом силовой (потенциальной) функции:

. (3.74)

Таким образом, уравнение (3.74) примет вид

. (3.75)

Проинтегрировав уравнение (3.75), получим

. (3.76)

Данное выражение называют интегралом Бернулли-Эйлера.

Полученный трехчлен - уравнения сохраняет неизменное значение вдоль линии тока.

В случае когда движение происходит под действием только одной массовой силы - силы тяжести, то единичные массовые силы, , (ось направлена вертикально вверх). Дифференциал силовой функции

. (3.77)

Уравнение (3.75) можно написать в следующем виде:

. (3.78)

Разделим все слагаемые уравнения на ускорение свободного падения , тогда получим

. (3 79)

Приращение суммы всех трех членов этого уравнения при перемещении вдоль линии тока равно нулю.

Проинтегрировав дифференциальное уравнение (3.79), получим

. (3.80)

Сумма всех членов вдоль линии тока жидкости - величина постоянная, а следовательно, и вдоль идеальной элементарной струйки она также постоянна.

Уравнение (3.80), полученное с помощью уравнения движения Эйлера, для установившегося движения является уравнением Бернулли. Идентичное уравнение было получено ранее иным путем с использованием теоремы кинетической энергии (3.43).

Уравнение (3.80), записанное для двух живых сечений струйки, приобретает известный ранее вид

.

1.10 УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ ДЛЯ ПОТОКА РЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ

Рассмотрим участок потока реальной жидкости, ограниченный по поверхности непроницаемыми стенками. Такой ноток называется потоком конечных размеров (рис. 3.10). Поток жидкости представляет собой совокупность множества элементарных струек. Движение струек является установившимся, т.е. скорость в любом сечении струйки по длине постоянна. На струйку действуют только силы тяжести.

В начале участка (сечение 1-1) и в конце (сечение 2-2) движение жидкости будем считать плавно изменяющимся или параллельно струйным.

Уравнение Бернулли для реальной струйки

.

Умножим все члены уравнения на единицу веса жидкости, протекающей через живое сечение струйки за время .

Рис. 3.10 К уравнению Бернулли для потока реальной жидкости

Единица веса части струйки

. (3.81)

В результате умножения получим сумму потенциальной и кинетической энергий в сечениях 1-1 и 2-2 за время , т.е. мощность струйки в сечениях:

. (1.82)

Так как поток состоит из множества струек, то можно проинтегрировать уравнение (3.82) по живым сечениям потока жидкости , и :

, (3.83)

где потенциальная энергия, отнесенная к единице времени.

Для плавно изменяющегося или параллельноструйного движения жидкости для разных точек определенного поперечного сечения гидростатический напор является постоянной величиной, тогда

, (3.84)

где ; - удельная потенциальная энергия, принимается относительно центра тяжести живого сечения потока конечных размеров; - расстояние от центра тяжести сечения до плоскости сравнения 0-0.

- кинетическая энергия, отнесенная к единице времени.

Действительная кинетическая энергия

. (3.85)

Действительная кинетическая энергия потока реальной жидкости соответствует реальному распределению местных скоростей по сечению. На рис. 3.11 изображено распределение в трубе скоростей действительного потока. Скорости в разных точках сечения трубы являются переменными величинами.

Как уже отмечалось ранее, для упрощения гидравлических расчетов используется понятие средней скорости течения жидкости V. Используя среднюю скорость при определении кинетической энергии, получим условную кинетическую энергию потока в сечении. Условная кинетическая энергия

. (3.86)

Условной кинетической энергии соответствует прямоугольная эпюра (см. рис. 3.11), где по сечению трубы. Условная кинетическая энергия меньше действительной, .

Рис. 3.11 Распределение скоростей

Разделим выражение (3.85) на (3.86), получим

, (3.87)

где - безразмерный поправочный коэффициент, коэффициент кинетической энергии.

Коэффициент учитывает неравномерность распределения скоростей в плоскости живого сечения потока. Действительная кинетическая энергия

. (3.88)

Чем больше неравномерность распределения местных скоростей по живому сечению потока, тем больше значение .

В результате проведения экспериментов было установлено, что при равномерном движении турбулентного потока .

Последний интеграл в зависимости (3.83) характеризует потери механической энергии в потоке на участке 1-2, т.е. потери энергии, утрачиваемые струйками на работу сил трения. Средняя потеря энергии на участке потока жидкости

(3.89)

где - удельные потери энергии.

С учетом вышеизложенного уравнение (3.83) можно выразить следующим образом:

. (3.90)

Разделив левую и правую части выражения (3.90) на единицу веса жидкости за время , получим

. (3.91)

Данное уравнение (3.91) является уравнением Бернулли для конечного потока реальной жидкости.

Значения и - коэффициенты кинетической энергии, зависящие от неравномерности распределения скоростей по живым сечениям 1-1 и 2-2 потока.

Сумма членов уравнения (3.91) - полная удельная механическая энергия потока; - удельная энергия положения живого сечения; - удельная энергия давления в живом сечении потока; - удельная кинетическая энергия потока, динамический (скоростной) напор; - удельная потенциальная энергия, гидростатический напор; - потери удельной энергии на участке, потери напора.

Уравнение Бернулли для потока реальной жидкости является уравнением баланса механической энергии с учетом ее потерь. Энергия, затрачиваемая на работу сил трения, превращается в тепловую, которая рассеивается в потоке и влечет за собой некоторое увеличение температуры жидкости потока.

1.11 ТЕОРЕМА ИЗМЕНЕНИЯ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ ПОТОКА ЖИДКОСТИ

жидкость движение бернулли поток

При решении некоторых гидравлических задач использования уравнения Бернулли недостаточно, и в этих случаях применяется теорема об изменении количества движения материальной точки.

Количеством движения материальной точки называется произведение ее массы на скорость ее движения . Количество движения является вектором, направление которого совпадает с направлением движения, т.е. со скоростью. Количество движения, зависящее от массы и ее скорости, является мерой механического движения. Понятие количества движения (КД) положено в основу механики Ньютона.

Тело массой под действием сил переместится в другое положение за определенное время , и скорость тела изменится до .

Изменение количества движения

. (3.92)

За этот промежуток времени на тело будет действовать импульс сил

. (3.93)

Теорема количества движения сформулирована следующим образом. Изменение количества движения материальной точки за некоторый промежуток времени равно сумме импульсов сил, приложенных к точке, за этот же промежуток времени, :

. (3.94)

Теорема количества движения называется также теоремой импульсов.

Применим данную теорему к участку потока между сечениями 1-1 и 2-2 при установившемся движении потока жидкости расходом в определенный промежуток времени (рис. 3.12). За время участок между сечениями 1-1 и 2-2 переместится в положение, определяемое сечениями 1'-1' и 2'-2'. Изменение количества движения

(3.95)

Масса элементов участков 1-1' и 2-2' на рисунке заштрихованы. Так как стенки потока непроницаемы, то согласно уравнению неразрывности массы этих элементов одинаковы:

. (3.96)

Масса, проходящая через сечения,

.

Рис. 3.12 К теореме количества движения для потоков жидкости

Если в живом сечении местные скорости в разных его точках различны, то количество движения

, (3.97)

где - скорость в определенной точке сечения, местная скорость.

При предположении, что скорости во всех точках живого сечения равны средней скорости , вводится коэффициент Буссинеска (коэффициент количества движения)

. (3.98)

Коэффициент Буссинеска - отношение фактического количества движения к условному .

Количество движения, выраженное через среднюю скорость,

. (3.99)

Для турбулентных потоков на основании опытных исследований .

На практике при решении гидравлических задач обычно коэффициент Буссинеска не учитывается, т.е. принимается .

Средние скорости в сечениях равны, и , тогда количество движений для массы элементов участков:

;

. (3.100)

Изменение количества движения

. (3.101)

Относительно оси

. (3.102)

Рассмотрим все внешние силы и импульс, действующие на объем жидкости, находящийся между сечениями 1-1 и 2-2.

* Силы давления, действующие на торцы сечений 1-1 и 2-2,определяются силами и. Проекция импульса сил давления на ось

. (3.103)

* Сила тяжести выделенного объема жидкости . Проекция импульса сил давления на ось

. (3.104)

* Силы реакции боковых стенок, ограничивающих рассматриваемый объем жидкости, равны . Проекция импульса сил реакций стенок на ось

. (3.105)

* Сила внешнего трения, воздействующая на внутренние стороны боковых стенок, - . Проекция импульса сил внешнего трения на

. (3.106)

Таким образом, импульс на ось

. (3.107)

Уравнение изменения количества движения в гидравлической форме согласно (3.102) и (3.107) имеет следующий вид:

. (3.108)

Уравнение изменения количества движения в гидравлическом виде можно сформулировать следующим образом.

Изменение количества движения потока жидкости при переходе от плоского живого сечения 1-1 к плоскому живому сечению 2-2 за единицу времени относительно выбранной координатной оси равно сумме проекции внешних сил на ось, действующих на объем жидкости между сечениями 1-1 и 2-2.

1.12 НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ УРАВНЕНИЯ БЕРНУЛЛИ

Расходомер Вентури

Расходомер Вентури представляет собой плавно суженную и расширяющуюся цилиндрическую вставку, устанавливаемую в трубе. Чтобы понять принцип его работы, рассмотрим рис. 3.13. Установим два пьезометра: один в расширенной части расходомера, другой - в сужении. Приведенные далее рассуждения должны показать, что при изменении расхода жидкости, проходящей по трубопроводу, меняется разность показаний пьезометров.

Рис. 3.13 Расходомер Вентури

Напишем уравнение Бернулли для сечений 1-1 и 2-2, полагая отсутствие потерь напора, :

. (3.109)

Поскольку, следовательно, показания пьезометра в первом сечении будут больше, чем во втором:

.

Разность показаний пьезометров составляет

. (3.110)

Подставив выражение (3.110) в уравнение (3.109), получим

. (3.111)

Поскольку площади поперечных сечений 1-1 и 2-2 известны, то, используя уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости, имеем

,

или

.

Подставив полученное выражение для , в уравнение (3.111) и решив его относительно скорости , получим

. (3.112)

Теоретический расход жидкости в трубопроводе составляет

. (3.113)

или

,

где - постоянная расходомера.

. (3.114)

Таким образом, если известны диаметр трубы и диаметр сужения и измерена разность пьезометрических высот, то можно вычислить расход жидкости, проходящей по трубопроводу по формуле (3.113).

Следует отметить, что в случае движения идеальной жидкости приведенные ранее рассуждения правильны. При движении через расходомер вязкой жидкости возникают потери напора, поэтому необходимо ввести в конечную формулу соответствующую поправку на сопротивление в виде коэффициента расхода водомера , .

Коэффициент расхода водомера Вентури, изготовленного в соответствии со стандартом по измерению расхода жидкостей, составляет .

Окончательная формула с учетом

, (3.115)

где - окончательная постоянная водомера, имеющего конкретные значения и .

Трубка полного напора, трубка Пито

Трубка полного напора служит для измерения полного напора. Пусть жидкость движется в напорном трубопроводе, в который опущена изогнутая под прямым углом трубка с наконечником. Трубка устанавливается отверстием наконечника против движения потока жидкости (рис. 3.14).

Рис. 3.14 Трубка Пито

Такую трубку использовал французский ученый Пито в 1732 г. для измерения скорости воды в реке.

Скорость движения жидкости внутри трубки после ее заполнения будет равна нулю.

Если поток жидкости обтекает какое-либо препятствие, то вблизи препятствия скорость потока замедляется и в центре области обтекания образуется критическая точка, в которой скорость равна нулю. В нашем случае критическая точка лежит на оси входного отверстия наконечника трубки и скорость на выходе отверстия .

Рассмотрим элементарную струйку жидкости, ось которой совпадает с осью трубки Пито. Сечение 1-1 струйки будет находиться на элементарном расстоянии от отверстия наконечника трубки, а сечение 2-2 - в плоскости отверстия трубки. В плоскости поперечного сечения трубы, совпадающей с живым сечением 1-1 струйки, устанавливается обычная пьезометрическая трубка.

Полагаем, что диаметр трубки достаточно мал, поэтому можно принять давление в сечении отверстия равномерным. Это давление будет соответствовать давлению в точке 2.

Напишем уравнение Бернулли для струйки на участке 1-2, приняв условие, что плоскость сравнения проходит по оси отверстия трубки Пито:

(3.116)

В пьезометрической трубке за счет гидростатического давления жидкость поднимется на высоту . В трубке Пито за счет гидростатического и динамического давлений жидкость поднимется на высоту . Скорость в точке 2 , так как в плоскости входного отверстия наконечника трубки имеем критическую точку.

Таким образом,

, (3.117)

где - скорость в живом сечении 1-1 струйки жидкости.

Разность пьезометрических высот

. (3.118)

Зная измеренную величину , определяем скорость в точке, где установлена трубка Пито:

. (3.119)

Следует отметить, что в результате обтекания трубки Пито потоком жидкости имеет место при измерении скорости некоторая погрешность. Поэтому в формулу (3.119) вводится поправочный коэффициент , учитывающий обтекание трубки:

. (3.120)

Значение коэффициента определяется путем тарировки трубки на специальном стенде, на котором известны истинные значения местной скорости в потоке жидкости, где устанавливается трубка Пито.

1.13 ПРИБОРЫ ДЛЯ ИЗМЕРЕНИЯ СКОРОСТИ И РАСХОДА ЖИДКОСТИ

Изменение скорости

В отличие от трубки Пито трубка Пито-Прандтля представляет собой трубку в трубке (рис. 3.15). Центральная трубка с плавным наконечником на входе диаметром направлена навстречу набегающему потоку жидкости и измеряет полное давление , учитывающее динамическое давление ( - плотность жидкости).

Внешняя трубка имеет на боковой поверхности отверстия, располагающиеся примерно на расстоянии от входного отверстия трубки. Плоскости сечений центральной и внешней трубок не сообщаются между собой. В своей торцевой части внешняя трубка заглушена. Отверстия внешней трубки служат для определения гидростатического давления . Концы трубок, как правило, подсоединяются к дифференциальному манометру. При применении жидкостного манометра, заполняемого жидкостью, плотность должна быть больше плотности жидкости . Это обстоятельство учитывается при определении скорости . Можно написать, что при разности показаний дифманометра

. (3.121)

Отсюда динамический (скоростной) напор

. (3.122)

Скорость в точке установки трубки Пито-Прандтля

. (3.123)

С учетом погрешности при измерении скорости трубкой

, (3.124)

где - коэффициент трубки, определяемый в результате ее тарировки.

Рис. 3.15 Трубка Пито-Прандтля

Цилиндрическая и шаровая насадки

Цилиндрическая насадка представляет собой трубку с тремя отверстиями, находящимися на некотором расстоянии от торца трубки в одной плоскости. Боковые два отверстия располагаются симметрично относительно центрального отверстия под углом (рис. 3.16). Насадка позволяет измерять скорость, давление и полный напор.



Рис. 3.16 Цилиндрическая насадка: 1,2,3 - отверстия в насадке; 4 - трубка-насадка; 5 - трубочки отверстий

Основным элементом шаровой насадки является шарик (приемник давления), размещенный на торце цилиндрической трубки (державки). Шарик диаметром мм имеет пять отверстий, находящихся в двух перпендикулярных друг другу диаметральных плоскостях. Угол между боковыми четырьмя отверстиями и центральным отверстием составляет. На конце насадки имеется пять штуцеров, которые соединяются тоненькими трубочками, проходящими внутри трубки, с отверстиями шарика насадки.

Оптический метод

Метод связан с использованием лазеров. При применении лазера не происходит возмущение потока, так как в нем отсутствует какое-либо инородное тело. Измерение скорости основано на использовании доплеровского смещения частоты света, рассеянного в потоке жидкости и содержащего неоднородности.

Установлено, что применение водопроводной воды соответствует требованиям неоднородности жидкости. Метод измеряет составляющие скорости в точке , , в определенном выбранном направлении потока с весьма высокой степенью турбулентности.

Общее название установок - лазерный измеритель скорости, ЛДИС. Например, гелий-неоновый лазер.

Точность фиксации измеряемой точки в измеряемом поле составляет менее 0,1 мм. Это позволяет исследовать пограничный слой при обтекании любых тел потоком жидкости или газа с весьма большой точностью. Следует отметить, что применение ЛДИС при исследовании распределения скоростей в потоке жидкости требует наличия специальных гидравлических стендов и оборудования.

Измерение расхода

Стандартные сужающие устройства. К сужающим устройствам, использующимся для измерения расхода жидкости и газов, относятся: стандартные диафрагмы, сегментные диафрагмы, сопла и водомеры Вентури. Измерение расхода жидкости осуществляется по перепаду (разности) давлений на сужающем устройстве. Перепад давления возникает в результате повышения средней скорости в сужающей части устройства, т.е. увеличения кинетической энергии. В итоге гидростатическое давление в пределах суженного сечения устанавливается меньше давления перед сужающим устройством. Перепад давления (напоров) будет тем больше, чем больше будет расход потока жидкости. Зависимость между расходом несжимаемого потока жидкости и разностью давлений устанавливается с помощью уравнения Бернулли (см. 3.12, расходомер Вентури).

Разность давлений в сужающем устройстве определяется с помощью дифманометров поплавкового, кольцевого сильфонного и мембранного типов. Следует отметить, что при измерении перепадов более совершенным устройством является измерительный преобразователь «Сапфир».

Например, «Сапфир 22ДД» позволяет определить перепад давлений в диапазоне от 60 Па до 16 МПа. Перепаду давлений соответствует электрический сигнал в микроамперах (мкА). Электрический сигнал передается прибору, который преобразует его в величину расхода жидкости и фиксирует текущий расход на шкале прибора или на табло. При применении в приборном оснащении микропроцессов расход записывается во временном отсчете и позволяет показать средние расходы за определенные промежутки времени.

Электромагнитные расходомеры. Принцип работы расходомера заключается в использовании явления электромагнитной индукции. Прибор состоит из первичного блока, встраиваемого в трубопровод, и измерительного передающего и показывающего блоков. Первичный блок создает магнитное поле по контуру трубы, по которой движется поток жидкости. В результате изменения средней скорости (расхода) потока изменяется ЭДС (электродвижущая сила) индукции. Величина ЭДС индукции преобразуется в электрический сигнал, соответствующий определенному расходу жидкости. Электрический сигнал в мкА передается на измерительный блок, показывающий текущий расход.

Показания прибора не зависят от плотности, вязкости жидкости, наличия взвешенных твердых частиц в потоке, давления в трубопроводе.

Турбинные расходомеры (счетчики). В корпус расходомера встроена осевая турбинка. Поток воды, проходящий по трубопроводу, куда встроен расходомер, передает кинетическую энергию рабочему колесу турбинки. В результате передачи энергии колесо вращается с определенной угловой скоростью. Частота вращения вала колеса турбинки соответствует расходу жидкости в трубопроводе. Вращение турбинного колеса через червячную передачу, находящуюся в корпусе, передается счетному устройству. Счетное устройство, располагаемое снаружи корпуса, фиксирует расход за интервал времени (час, сутки, месяц). Расходомеры такого типа предназначены для измерения расхода чистой воды.