Расчет линейных электрических цепей постоянного тока

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Расчет линейных электрических цепей постоянного тока



Рисунок 1

В машинной распечатке индивидуального задания сопротивления резисторов R указаны в омах [Ом], величины источников ЭДС E ? в вольтах [B], а источников тока J ? в амперах [A].

Система уравнений по первому и второму законам Кирхгофа

Рисунок 2

Определяем количество необходимых уравнений по первому и второму законам Кирхгофа:

n_I = У - 1 = 4 - 1 = 3;

n_II = B - BJ - (У-1) = 7 - 1 - 4 + 1 = 3.

I₆ - I₂ - I₁ - I_k1 = 0;

I₅ - I₆ + I_k1 + I₄ = 0;

I₂ - I₃ - I₅ = 0;

I₁R₁ - I₃R₃ - I₂R₂ = - E_2;

I₃R₃ + I₄R₄ - I₅R₅ = - E₅;

I₂R₂ + I₅R₅ + I₆R₆ = E₂ + E₅.

Расчет цепи методом контурных токов

Проведем эквивалентные преобразование источника тока в источники ЭДС

Рисунок 3

Определяем количество необходимых уравнений по первому и второму законам Кирхгофа:

n_I = У - 1 = 4 - 1 = 3;

n_II = B - BJ - (У-1) = 7 - 1 - 4 + 1 = 3.

Введем контурные токи I11, I22, I33:

I1 = I11 - Jk1;

I2 = I33 - I11;

I3 = I22 - I11;

I4 = I22 - Jk1;

I5 = I33 - I22;

I6 = I33.

Запишем уравнения по методу контурных токов:

I11R11 - I22R12 - I33R13 = E11;

- I11R21 + I22R22 - I33R23 = E22;

- I11R31 - I22R32 + I33R33 = E33.

Определим собственные и взаимные сопротивления:

R11 = R1+R2+R3 = 40+50+90=180, Ом;

R22 = R4+R5+R3 = 70+10+90=170, Ом;

R33 = R2+R5+R6 = 50+10+30=90, Ом;

R12 = R21 = - R3 = - 90, Ом;

R13 = R31= - R2 = - 50, Ом;

R32 =R23= - R5 = - 10, Ом;

Определим контурные ЭДС:

E11 = - E₂+Jk1R1 = - 200 +1Ч--40 = -160, B;

E22 = - E5+Jk1R4 = - (-150) + 1Ч70 = 220, B;

E33 = E2+E5 = 200 -150 = 50, B.

Составим матрицу сопротивлений, матрицу-столбец контурных ЭДС и найдем контурные токи:

80 -90 -50 -160 I11 =-0,047, А;

-90 170 -10 220 I22 = 1,309, А;

-50 -10 90, 50, I33 = 0,675, А.

Находим реальные токи:

I1 = I11 - Jk1 = - 0,047 - 1 = -1,047, A;

I2 = I33 - I11 = 0,675 - (-0,047) = 0,722, A;

I3 = I22 - I11 = 1,309 - (-0,047) = 1,356, A;

I4 = I22 - Jk1 = 1,309 - 1 = 0,309, A;

I5 = I33 - I22 = 0,675 - 1,309 = - 0,634, A;

I6 = I33 = 0,675, A.

Расчет цепи методом узловых потенциалов

Рисунок 4

Определяем количество необходимых уравнений

n₁ = Y ? 1=3

Запишем систему уравнений:

G₁₁j_11-----G₁₂j_22-----G₁₃j₃₃--=--J₁₁

---G₂₁j_11----+--G₂₂j_22-----G₂₃j_33--= J₂₂

---G₃₁j_11-------G₃₂j_22--+--G₃₃j₃₃ = J₃₃

Определяем взаимную и собственную проводимости:

G₁₁ = 1/R₁+1/R₄+1/R₃=1/40+1/70+1/90= 0,05040, См;

G₂₂ = 1/R₆+1/R₄+1/R₅=1/30+1/70+1/10= 0,14762, См;

G₃₃ = 1/R₂+1/R₅+1/R₃=1/50+1/10+1/90= 0,13111, См;

G₁₂ = G₂₁ = 1/R₄ = 1/70 = 0,01429, См;

G₁₃ = G₃₁ = 1/R₃ = 1/90 = 0,01111, См;

G₂₃ = G₃₂ = 1/R₅ = 1/10 = 0,10000, См.

Определяем узловые токи.

J₁₁ = 0, A;

J₂₂ = J_k1 + E₅/R₅ = 1 + (-150)/10 = -14, A;

J₃₃ = E₂/R₂ - E₅/R₅ = 200/50 - (-150)/10 = 19, A.

Составим матрицу проводимостей и матрицу-столбец узловых токов, и найдем потенциалы узлов.

0,05040 - 0,01429 - 0,01111 0

- 0,01429 0,14762 - 0,10000 -14

- 0,01111 - 0,10000 0,13111, 19,

j₁₁ = 41,874 В, j₂₂ = 20,251 В, j₃₃ = 163,910 В.

Пользуясь обобщенным законом Ома определяем токи во всех ветвях.

I₁ = (j₄₄-----j₁₁)/R₁ = (0 - 41,874)/40 =-1,047, A;

I₂ = (E₂ - (j₃₃ - j₄₄))/R₂ = (200 - (163,910 - 0))/50 =0,722, A;

I₃ = (j₃₃ - j₁₁)/R₃ = (163,910 - 41,874)/90 =1,356, A;

I₄ = (j₁₁ - j₂₂)/R₄ = (41,874 - 20,251)/70 =0,309, A;

I₅ = (E₅ - (j₂₂ - j₃₃))/R₅ = ((-150) - (20,251 - 163,910))/10 =-0,634, A;

I₆ = (j₂₂ - j₄₄)/R₆ = (20,251 - 0)/30 =0,675, A.

Таблица токов

	I1 [A]	I2 [A]	I3 [A]	I4 [A]	I5 [A]	I6 [A]
МКТ	-1,047	0,722	1,356	0,309	-0,634	0,675
МУП	-1,047	0,722	1,356	0,309	-0,634	0,675

Метод эквивалентного генератора

1. Определение U_XX

Рисунок 5

По методу узловых потенциалов определяем:

G₁₁j_11-----G₁₂j_22-----G₁₃j₃₃--=--J₁₁

---G₂₁j₁₁--+--G₂₂j_22-----G₂₃j_33--= J₂₂

---G₃₁j_11-----G₃₂j_22--+--G₃₃j₃₃ = J₃₃

G₁₁ = 1/R₃+1/R₄=1/90+1/70=, См;

G₂₂ = 1/R₄+1/R₅+1/R₆=1/70+1/10+1/30= 0,147619, См;

G₃₃ = 1/R₂+1/R₃+1/R₅=1/50+1/90+1/10= 0,131111, См;

G₁₂ = G₂₁ = 1/R₄ = 1/70 = 0,014286, См;

G₁₃ = G₃₁ = 1/R₃ = 1/90 = 0,011111, См;

G₂₃ = G₃₂ = 1/R₅ = 1/10 = 0,100000, См;

J₁₁ =0, A;

J₂₂ = J_k1 + E₅/R₅ = 1 + (-150)/10 = -14, A;

J₃₃ = E₂/R₂ - E₅/R₅ = 200/50 - (-150)/10 = 19, A.

Составим матрицу проводимостей и матрицу-столбец узловых токов и найдем потенциалы узлов.

- 0,01429 - 0,01111 0

- 0,01429 0,14762 - 0,10000 -14

- 0,01111 - 0,10000 0,13111, 19,

j₁₁ = В, j₂₂ = В, j₃₃ = В.

Напряжение холостого хода

U_XX = - j₁₁ = - В.

2. Расчет эквивалентного сопротивления

Последовательность преобразования сопротивлений



Рисунок 6

R₈ = R₄R₅/(R₄+R₅+R₃) = 70Ч10/(70+10+90) = 700/170 = 4,118 Ом;

R₉ = R₃R₅/(R₄+R₅+R₃) = 90Ч10/(70+10+90) = 900/170 = 5,294 Ом;

R₇ = R₄R₃/(R₄+R₅+R₃) = 70Ч90/(70+10+90) = 6300/170 = 37,06 Ом;

R₁₀ = R₈+R₆ = 4,118 + 30 = 34,118 Ом;

R₁₁ = R₉+R₂ = 50 + 5,294 = 55,294 Ом;

R_ЭКВ = R₁₀R₁₁/(R₁₀+R₁₁) + R₇ = 34,118Ч55,294/(34,118+55,294) + 37,06 = =58,159 Ом;

Определим ток I₁ по методу эквивалентного генератора.

I₁ = U_XX/(R_ЭКВ +R₁) = -/(58,159 +40) = -, A.

Потенциальная диаграмма

Для построения потенциальной диаграммы найдем потенциалы всех указанных узлов

Рисунок 7

j_5--=--j₄ - I₂R₂ = 0 - (-1,047Ч50) = 52,35, В;

j_3--=--j₅ + E₂ = 52,35 + 200 = 252,35, В;

j_6--=--j₃ - I₅R₅ = 252,35 - (-0,634Ч10) = 258,69, В;

j_2--=--j₆ + E₅ = 258,69 - 150 = 108,69, В;

j_1--=--j₂ + I₄R₄ = 108,69 + (0,309Ч70) = 130,32, В;

Баланс мощностей

кирхгоф ток контурный генератор

_{n n}

P_{i потребит.} = P_{i ист.}

^{i=1 i=1}

I₁²R₁ + I₂²R₂ + I₃²R₃ + I₄²R₄ + I₅²R₅ + I₆²R₆ = E₂I₂ + E₅I₅ + J_k1?₂₂;

(-1,047)²Ч40 + 0,722²Ч50 + 1,356²Ч90 + 0,309²Ч70 +(-0,634)²Ч10 + 0,675²Ч30 = =200Ч0,722 +(-150)Ч(-0,634) + 1Ч20,251;

259,7708 Вт @ 259,751 Вт.

Баланс выполняется.

Размещено на Allbest.ru