Контурные токи

Размещено на http://allbest.ru

Исходные данные

Дано

R1 = 5 Ом
R2 = 6 Ом
R3 = 7 Ом
R4 = 3 Ом
R5 = 4 Ом
R6 = 5 Ом
Е1 = 50 В
Е2 = 30 В
ЕЗ = 40 В
Е4 = 20 В
Е5 = 10 В

Задание

1. В заданной схеме включить два источника тока I_k1 и I_k2 параллельно ветви, содержащей источник ЭДС, (произвольно). I_k1 = № схемы. I_k2 = 2*I_k1.

2. По законам Кирхгофа составить систему уравнений для определения неизвестных токов в ветвях схемы (расчет производить не надо).

3. Для указанной схемы найти токи во всех ветвях:

-Методом контурных токов.

-Методом узловых потенциалов.

4. Используя направленный граф схемы, получить контурные уравнения, применяя топологическую матрицу контуров В.

5. Используя направленный граф схемы, получить узловые уравнения, применяя топологическую матрицу соединений А.

6. Составить уравнение баланса мощностей для каждого метода.

7. Найти ток в третьей ветви (где R₃ и E₃) методом эквивалентного генератора.

Расчет токораспределения в схеме при определении U_хх выполнить методом наложения.

Входное сопротивление эквивалентного генератора определить методом преобразования схем.

8. Построить потенциальную диаграмму для внешнего контура схемы.

9. Определить входную проводимость третьей ветви (g₃) и взаимную проводимость третьей и второй ветви (g₃₂).

10. Найти уравнение, выражающее зависимость тока во второй ветви от сопротивления третьей при постоянстве всех остальных параметров схемы.

Решение

1. В заданной схеме включить два источника тока параллельно ветви, содержащей источник ЭДС

I_k1 = 12A,

I_k2 = 24 А.

2. По законам Кирхгофа составим систему уравнений для определения неизвестных токов в ветвях схемы

По первому закону Кирхгофа:

Узел А:

Узел В:

УзелС:

Узел D:

По второму закону Кирхгофа:

I контур:

II контур:

III контур:

3. Найти токи во всех ветвях

- Методом контурных токов

Решаю систему в программе MathCAD:

I₁₁ = - 3,007 А

I₂₂ = - 7,28 А

I₃₃ = - 6,141 А

Найду действующие токи:

I1 = Ik1 - I11	I1 = 15,007 А
I2 = I11 - I22	I2 = 4,272 А
I3 = I33 - I22	I3 = 1,138 А
I4 = I33 - I11	I4 = - 3,134А
I5 = I33 + Ik2	I5 = 17,859 А
I6 = - I22	I6 = 7,28 A

Отрицательное значение тока означает, что этот ток направлен в сторону, противоположную указанной на схеме.

- Методом узловых потенциалов

Заменю источники напряжения источниками тока:



Найду проводимости:

Узел A:

Узел B:

Узел C:

Получаю систему уравнений:

Решаю систему в MathCAD:

Найду узловые потенциалы.

Найду значения действующих токов:

Значения токов полностью совпадают со значениями, найденными методом контурных токов.

4. Используя направленный граф схемы, получим контурные уравнения, применяя топологическую матрицу контуров В

Упрощу схему, преобразуя источники тока в источники ЭДС, тогда

Пронумерую ветви графа и поставлю на них стрелки. Стрелки указывают положительное направление для отсчета тока и напряжения для ветви. Дерево выделено жирной линией.

Главные контуры 1, 5, 6.

Составлю топологическую матрицу В для главных контуров, строки которой соответствуют номеру главного контура, а столбцы - номеру ветви. Главные контуры обходим в направлении стрелки на ветви связи соответствующего контура. Если при таком обходе контура направление стрелки на какой-либо ветви дерева, входящей в этот контур, совпадает с направлением обхода контура, то в соответствующею ячейку ставлю 1, если не совпадает, то -1, если ветвь не обходится, то 0.

	1	2	3	4	5	6
I	1	-1	0	1	0	0
V	0	0	1	1	1	0
VI	0	1	1	0	0	1

кирхгоф мощность контурный ток

Полученные контурные уравнения совпадают с уравнениями, полученными ранее по второму закону Кирхгофа.

5. Используя направленный граф схемы, получим узловые уравнения, применяя топологическую матрицу соединений А

Узловую матрицу А составляю для всех узлов графа, кроме одного. В этой матрицы номер строки соответствует номеру узла, а номер столбца - номеру ветви.

Если стрелка ветви направлена к узлу, то в соответствующую ячейку матрицы ставлю -1, если от узла, то 1, если ветвь не входит в рассматриваемый узел.

Составлю топологическую матрицу А:

	1	2	3	4	5	6
A	1	1	0	0	0	-1
B	0	0	-1	0	1	1
C	-1	0	0	1	-1	0

Полученные узловые уравнения совпадают с уравнениями, полученными ранее по первому закону Кирхгофа.

6. Составлю баланс мощностей

Мощность источника:

Мощность потребителя:

Д = 0.

Достаточно произвести расчет баланса мощностей только для одного метода, так как значения токов в пунктах 2 и 3 полностью совпали, и уравнения в пунктах 4 и 5 совпадают с уравнениями, полученными в предыдущих пунктах.

7. Найду ток в третьей ветви методом эквивалентного генератора

Упрощу схему преобразуя источники тока в источники ЭДС, тогда

Отключаю элементы третьей цепи:

Тогда на основании второго закона Кирхгофа напряжение холостого хода будет равно:

.

Токи холостого хода найду методом наложения.

Токи от источников ЭДС цепи тока I1:

Найду общее сопротивление.

Ro1 = R5624 + R1 = 4,5 + 5 = 9,5 Ом

Найду токи:

Проверка:

Токи от источников ЭДС цепи тока I2:

Найду общее сопротивление.

Ro2 = R615 + R2 + R4 = 12,214 Ом

Найду токи:

Проверка:

Токи от источников ЭДС цепи тока I5:

Найду общее сопротивление.

Найду токи:

Проверка:

Токи в исходной схеме найду алгебраическим сложением токов в подсхемах

Тогда напряжение холостого хода будет равно:

Входное сопротивление эквивалентного генератора определю методом преобразования схем.

Чтобы найти внутренне сопротивление эквивалентного генератора преобразую схему.

Заменяю треугольник сопротивлений R2 R1 R4 на звезду с сопротивлениями R12, R24 и R41.

Сопротивления R6, R12 и R41, R5 соединены последовательно:

R612 = R6 + R12 = 7,143 Ом

R541 = R5 + R41 = 5,071 Ом

Тогда внутреннее сопротивление эквивалентного генератора будет равно

По закону Ома искомый ток может быть найден по формуле:

Найденное значение тока совпадает со значением тока I3 найденного другим методом.

8. Построю потенциальную диаграмму для внешнего контура схемы

Токи в схеме равны:

Потенциальная диаграмма внешнего контура

9. Определить входную проводимость третьей ветви (g₃) и взаимную проводимость третьей и второй ветви (g₃₂):

Определитель матрицы:

Алгебраические дополнения:

Входная проводимость третьей ветви:

Взаимная проводимость третьей и второй ветви:

10. Найду уравнение, выражающее зависимость тока во второй ветви от сопротивления третьей при постоянстве всех остальных параметров схемы

	;

Построю график зависимости в программе Microsoft Excel:



Размещено на Allbest.ru